0 引言

在本文中, 我们考虑边界充分光滑的有界域$\Omega\subset\mathbb{R}^{n}~(n\geqslant3)$上的记忆型抽象发展方程:

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \varepsilon(t)u_{tt}+k(0)A^{\theta}u+ \int_{0}^{\infty }{{}}k^{\prime}(s)A^{\theta} u(t-s)\text{d}s+g(u)=f, & (x, t) \in\Omega\times\mathbb{R}, \\[8pt] u(x, t)=0, & x\in\partial\Omega, ~t\in\mathbb{R}, \\[8pt] u(x, t)=u^{\tau}(x, t), ~u_{t}(x, t)=u^{\tau}_{t}(x, t), & x\in\Omega, ~t\leqslant\tau, \end{array} \right. \end{equation} $

(0.1)

其中$\theta\in[\frac{n}{3}, \frac{n}{2}-\frac{1}{3})$, $k(\infty)=1$, 且$k^{\prime}(s) < 0$, $\forall s\in\mathbb{R^{+}}$, $u(x, t)$为未知函数.设$\varepsilon(t)$和$g(u)$分别满足下列条件.

(1) $\varepsilon(t)\in C^{1}(\mathbb{R})$是单调递减的正函数, 且满足

$ \begin{align} \lim\limits_{t\to +\infty}\varepsilon(t)=0; \end{align} $

(0.2)

特别地, 存在常数$L>0$, 使得

$ \begin{align} \sup\limits_{t\in \mathbb{R}}(|\varepsilon(t)|+\left|\varepsilon'(t)\right|) \leqslant L. \end{align} $

(0.3)

(2) 函数$ g\in C^{2}(\mathbb{R})$, $g(0)=0, $且满足:

$ \begin{align} \left|g''(y)\right| &\leqslant C(1+|y|), \quad \forall y \in \mathbb{R}; \end{align} $

(0.4)

$ \begin{align} &\liminf\limits_{|s| \to +\infty} \frac{g(s)}{s}>-\lambda_{1}^{\theta}, \end{align} $

(0.5)

其中$\lambda_{1}$为算子$-\Delta$在空间$H_{0}^{1}(\Omega)$中的第一特征值.令

$ \begin{align*} G(u)=\int_{0}^{u}{{}}g(y)\text{d}y. \end{align*} $

此外, 我们假设

$ \begin{eqnarray} 2\langle g(u), u\rangle \geqslant 2\langle G(u), 1\rangle-(1-\nu)\|u\|^{2}_{\theta}-C. \end{eqnarray} $

(0.6)

关于时间依赖吸引子, 前人在不同的方程模型上已获得一些成果.在文献[1-2]中, Plinio和Conti修正了拉回吸引子的经典定义, 建立了验证拉回吸引性的新方法.在文献[3]中, Conti等人研究了波方程时间依赖吸引子的渐近结构.在文献[4-5]中, 刘婷婷、马巧珍等人分别关于Plate方程和非经典反应扩散方程得到了时间依赖全局吸引子的存在性和正则性结果.

方程(0.1)来源于文献[6-8]中建立的等温黏弹性理论, 描述了一种各向同性的黏弹性物质的能量耗散过程.方程(0.1)不含时间依赖项时, 张玉宝等人在文献[9]中证明了弱耗散条件下强全局吸引子的存在性.据我们所知, 方程(0.1)时间依赖吸引子的渐近性态尚未有人研究.在研究过程中, 发现存在一些难以克服的本质性困难:首先, 由于系统中正的递减函数$\varepsilon(t)$在正无穷大处的值趋于零, 因此不能用经典的吸引子理论得到能量耗散估计; 其次, 方程中含有记忆项, 且$A^{\theta}$为抽象算子, 使得过程的连续性特别是紧性(渐近紧性)难以验证, 成为研究瓶颈.针对上述难点, 本文运用了先验估计和算子分解技巧, 结合修正的时间依赖吸引子理论, 成功地克服了这些困难, 并得到了时间依赖吸引子的存在性和正则性结果.

本文结构如下:第1节, 介绍所研究问题的一些预备知识, 包括空间定义, 一些符号和一般的抽象结果; 第2节, 用先验估计和算子分解的方法证明了方程(0.1)时间依赖全局吸引子的存在性和正则性.

为了方便估计, 本文中出现的$C$表示正常数.

1 预备知识

设$H=L^{2}(\Omega)$, $\langle Au, v\rangle=b(u, v)$, $\forall u$, $v \in H $, 其中$b(u, v)$为$H$上的双线性型, 且是对称的和强制的, $A$为$H$上的线性无界自伴算子, 其定义域$ D(A)\subset H $.设$\left\{\lambda_{j}\right\}_{j \in \mathbb{N}}, \left\{\omega_{j}\right\}_{j \in \mathbb{N}}$分别为$A$的特征值和特征向量, 因此$\left\{\omega_{j}\right\}_{j\in \mathbb{N}}$可构成$H$的一组正交基, 且有

$ \begin{equation*} \left\{\!\!\begin{array}{ll} A \omega_{j}=\lambda_{j} \omega_{j}, \\[5pt] 0 < \lambda_{1}\leqslant\lambda_{2}\leqslant\cdots\leqslant \lambda_{j}, \lambda_{j} \rightarrow \infty (j\rightarrow \infty). \end{array} \right. \end{equation*} $

利用这组基定义与$A$同构的幂算子族$A^{\theta}$, 其定义域$ D(A^{\theta})\subset H$.令$D(A^{0})=H$, $D(A^{\frac{\theta}{2}})=V_{\theta}$, $D(A^{-\frac{\theta}{2}})=V_{\theta}^{*}$, 其中$V_{\theta}=\Big\{u \in H:\sum\limits^{\infty}_{j=1}\lambda^{\theta}_{j}(u, \omega_{j})^{2} < \infty \Big\}$.分别赋予$V_{\theta}$内积和范数:

$ \begin{align*} \langle u, v\rangle _{\theta}=\sum \limits^{\infty}_{j=1}\lambda^{\theta}_{j}(u, \omega_{j})(v, \omega_{j}), \quad \|u\|^{2}_{\theta} =\langle u, u\rangle_{\theta}, \quad \forall u, v \in V_{\theta}, \end{align*} $

则其构成Hilbert空间, 且易知算子$A^{r}$为从$D(A^{s})$到$D(A^{s-r})$上的同构映射(对任意的$s, r \in \mathbb{R})$.由$A$的无界自伴性知, $A^{\theta}$也为无界自伴算子.因此, 有紧嵌入$V_{\theta}\hookrightarrow H$和连续嵌入

$ \begin{align} V_{\theta}\hookrightarrow &L^{\frac{2n}{n-2\theta}}, \end{align} $

(1.1)

并且有嵌入不等式

$ \begin{eqnarray} \lambda_{1}^{\theta}\int_{\Omega }{{}}|v|^{2}\text{d}x\leqslant\int_{\Omega }{{}}|A^{\frac{\theta}{2}}v|^{2}\text{d}x, \quad \forall v\in V_{\theta}. \end{eqnarray} $

(1.2)

为便于估计, 空间$H$和$V_{\theta}$的内积与范数分别表示为以下形式:

$ \begin{align*} \langle u, v\rangle &=\int_{\Omega }{{}} u(x)v(x)\text{d}x, \quad \|u\|^{2}=\int_{\Omega }{{}} |u(x)|^{2}\text{d}x, \quad \forall u, v \in H; \end{align*} $

$ \begin{align*} \langle u, v\rangle _{\theta}&=\int_{\Omega }{{}} A^{\frac{\theta}{2}}u(x)A^{\frac{\theta}{2}}v(x)\text{d}x, \quad \|u\|^{2}_{\theta}=\int_{\Omega }{{}} |A^{\frac{\theta}{2}}u(x)|^{2}\text{d}x, \quad \forall u, v \in V_{\theta}. \end{align*} $

$L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta})$为定义于$\mathbb{R^{+}}$取值于$V_{\theta}$的Hilbert空间族, 赋予相应的内积和范数:

$ \begin{align*} \langle \varphi, \psi\rangle_{\mu, \theta}=\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)\int_{\Omega }{{}}A^{\frac{\theta}{2}}\varphi A^{\frac{\theta}{2}} \psi \text{d}x\text{d}s, \quad \|\varphi\|^{2}_{\mu, \theta}=\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)\int_{\Omega }{{}}|A^{\frac{\theta}{2}}\varphi|^{2} \text{d}x\text{d}s. \end{align*} $

定义时间依赖空间族

$ \begin{align*} \mathcal{H}_{t}^{\sigma}=V_{\theta+\sigma} \times V_{\sigma} \times L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta+\sigma}), \end{align*} $

并且赋予相应的范数:

$ \begin{align*} \|z\|^{2}_{\mathcal{H}_{t}^{\sigma}}=\left\|(u, u_{t}, \eta^{t})\right\|^{2}_{\mathcal{H}_{t}^{\sigma}} =\|u\|^{2}_{\theta+\sigma}+\varepsilon(t)\|u_{t}\|^{2} _{\sigma} +\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, \theta+\sigma}. \end{align*} $

当$\sigma=0$时, 我们记$\mathcal{H}_{t}=V_{\theta} \times H \times L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta})$, 对应的范数为

$ \begin{align*} \|z\|^{2}_{\mathcal{H}_{t}}=\left\|(u, u_{t}, \eta^{t})\right\|^{2}_{\mathcal{H}_{t}}=\|u\|^{2}_{\theta} +\varepsilon(t)\|u_{t}\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, \theta}. \end{align*} $

定义变量

$ \begin{align*} \eta^{t}(s)=\eta^{t}(x, s)=u(x, t)-u(x, t-s). \end{align*} $

设$\mu(s)=-k^{\prime}(s)$且$k(\infty)=1, $则方程(0.1)转化为以下形式:

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \varepsilon(t)u_{tt}+A^{\theta}u+\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\eta^{t}(s)\text{d}s+g(u)=f, \\[8pt] \eta^{t}_{t}=-\eta^{t}_{s}+u_{t}, \end{array} \right. \end{equation} $

(1.3)

相应的初-边值条件为:

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u(x, t)=0, \eta^{t}(x, s)=0, & x\in\partial\Omega, \\[8pt] u(x, \tau)= u_{\tau}(x), u_{t}(x, \tau)=u_{t\tau}(x), & x\in\Omega, \\[8pt] \eta^{\tau}(x, s)=\eta_{\tau}(x, s)=u(x, \tau)-u(x, \tau-s), & (x, s)\in\Omega\times\mathbb{R^{+}}. \end{array} \right. \end{equation} $

(1.4)

对记忆核函数$\mu(s)$做以下假设:

$ \begin{align} \mu(s)\in{{\rm{C}}^{\rm{1}}}(\mathbb{R^{+}})\cap L^{1}(\mathbb{R^{+}}), &\quad \mu(s)\geqslant0, \mu^{\prime}(s)\leqslant0, \quad \forall s\in\mathbb{R^{+}}; \end{align} $

(1.5)

$ \int_{0}^{\infty }{{}}\mu (s)\text{d}s={{k}_{0}}; $

(1.6)

$ \begin{align} \mu^{\prime}(s)+\delta&\mu(s)\leqslant0, \quad \forall s\in \mathbb{R^{+}}, \end{align} $

(1.7)

其中$k_{0}$, $\delta$为正常数.显然$\mu(s)$沿指数衰退到零.

引理1.1^[10]  设记忆核函数$\mu(s)$满足(1.5)和(1.7), 则对$\forall T>\tau$, $\forall \eta^{t} \!\in\! C([\tau, T] ;L^{2}_{\mu}(\mathbb{R^{+}}; V_{\theta}))$, 有$\left\langle\eta^{t} , \eta^{t}_{s}\right\rangle_{\mu, \theta}\geqslant\frac{\delta}{2}\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, \theta}$.

引理1.2(Gronwall-型引理)^[11]  设$ Y(t):[\tau, \infty)\rightarrow \mathbb{R}^{+}$是绝对连续函数, 且对$\omega>0$和$k\geqslant0$满足微分不等式$\frac{\rm{d}}{\text{d}t}Y(t)+2\omega Y(t)\leqslant q(t)Y(t)+k$, 其中函数$q(t):[\tau, \infty)\rightarrow \mathbb{R}^{+}$, 存在常数$m\geqslant0$满足$\int_{\tau }^{\infty }{{}}q(y)\text{d}y\leqslant m$, 则有$Y(t)\le Y(\tau ){{\rm{e}}^{m}}{{\rm{e}}^{-\omega (t-\tau )}}+k{{\omega }^{-1}}{{\rm{e}}^{m}}$.

2 主要结果与证明 2.1 适定性

首先, 关于方程(1.3)$-$(1.4)的弱解定义如下.

定义2.1  记$I\!=\![\tau, T]$, $T\!>\!\tau$.设$g\in C(V_{\theta};H), f\in H$.当初值$z(\tau)=(u(\tau), u_{t}(\tau), \eta^{\tau}(s)) \in \mathcal{H}_{\tau}$时, 称函数$z(t)=(u(t), u_{t}(t), \eta^{t}(s))\in C([\tau, T];\mathcal{H}_{t})$为方程(1.3)在区间$I$上的弱解, 如果

$ \begin{align*} \left\{\!\!\begin{array}{ll} \displaystyle \left\langle\varepsilon(t)u_{tt}, v\right\rangle+\langle u, v\rangle_{\theta}+\left\langle\eta^{t}(s), v\right\rangle_{\mu, \theta}+\langle g(u), v\rangle=\langle f, v\rangle, \\[8pt] \left\langle\eta^{t}_{t}(s)+\eta^{t}_{s}(s), \varphi(s)\right\rangle_{\mu, \theta}=\left\langle u_{t}, \varphi(s)\right\rangle_{\mu, \theta}, \end{array} \right. \end{align*} $

对于任意的$v\in V_{\theta}, \varphi \in L_{\mu}^{2}(\mathbb{R^{+}};V_{\theta})$, $t\in I$, 几乎处处成立.

应用文献[12-13]中的方法, 可得到方程(1.3)$-$(1.4)解的存在唯一性.

定理2.1  假设条件(0.2)$-$(0.5)及(1.5)$-$(1.7)成立.如果$f\in H$, $g\in C(V_{\theta};H)$, 则对于任意给定的$T>\tau$和初值$z(\tau)=(u(\tau), u_{t}(\tau), \eta^{\tau}(s))$, 方程(1.3)$-$(1.4)存在唯一弱解$z(t)=(u(t), u_{t}(t), \eta^{t}(s))$, 满足$z(t)\in C([\tau, T];\mathcal{H}_{t})\cap L^{\infty}([\tau, T];\mathcal{H}_{t}^{1})$.

根据定理2.1, 可以定义下面的过程族$U(t, \tau):\mathcal{H}_{\tau}\rightarrow \mathcal{H}_{t}$, 即$ U(t, \tau)z(\tau) =(u(t), u_{t}(t), \eta^{t}(s))$, 其中$z(\tau)\in \mathcal{H}_{\tau}, z(t)=(u(t), u_{t}(t), \eta^{t}(s))$是方程(1.3)$-$(1.4)关于初值$z(\tau)$的唯一解.

引理2.1  假设条件(0.2)$-$(0.5)及(1.5)$-$(1.7)成立, 由定理2.1定义的过程族$U(t, \tau)$, $\tau\!\!\leqslant\!\! t\!\in\!\! \mathbb{R}$, 满足下面的性质:对于给定初值$z_{i}(\tau)\!\!\in\!\!\mathcal{H}_{\tau}$, 并且$\|z_{i}(\tau)\|_{\mathcal{H}_{\tau}}\!\!\!\leqslant\!\! R$, $i\!\!=\!1, 2$, 那么存在常数$C=C(R)\geqslant0$, 使得下列估计成立

$ \begin{align} \|U(t, \tau)z_{1}(\tau)- U(t, \tau)z_{2}(\tau)\|_{\mathcal{H}_{t}}\leqslant \text{e}^{C(t-\tau)}\|z_{1}(\tau)-z_{2}(\tau)\|_{\mathcal{H}_{\tau}}, \quad \forall t\geqslant\tau. \end{align} $

(2.8)

为了证明引理2.1, 我们先证明下面的结论.

2.2 时间依赖吸收集

引理2.2  在引理2.1的假设条件下, 设$U(t, \tau)z(\tau)$是方程(1.3)关于初始时刻$\tau$和初始值$z(\tau)$的解, 则存在与$R$有关的常数$R_{0}\geqslant0$, 使得

$ \begin{align} \|U(t, \tau)z(\tau)\|_{\mathcal{H}_{t}}\leqslant R_{0}, \quad \forall t\geqslant \tau. \end{align} $

(2.9)

证明  设$0 < \rho < 1$, 用$2(u_{t}(t)+\rho u(t))$与方程(1.3)在$H$中作内积, 有

$ \begin{align} \left\langle \varepsilon(t)u_{tt}, 2u_{t}+2\rho u\right\rangle+&\left\langle A^{\theta} u, 2u_{t}+2\rho u\right\rangle+ \left\langle\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\eta^{t}(s)\text{d}s, 2u_{t}+2\rho u\right \rangle\notag\\ +\left\langle g(u), 2u_{t}+2\rho u\right\rangle&=\left\langle f, 2u_{t}+2\rho u\right\rangle. \end{align} $

(2.10)

对于记忆项, 由方程(1.3)的第二个式子, 结合引理1.1, 并利用Hölder不等式和Young不等式, 有

$ \begin{align} \left\langle\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\eta^{t}(s)\text{d}s, 2u_{t}\right\rangle= & \int_{\Omega }{{}}\int_{0}^{\infty }{{}}2(\eta^{t}_{t}+\eta^{t}_{s})\mu(s)A^{\theta}\eta^{t}(s)\text{d}s\text{d}x \\[1mm] \geqslant&\frac{\rm{d}}{\text{d}t}\|\eta^{t}\|_{\mu, \theta}^{2}+\delta \|\eta^{t}\|_{\mu, \theta}^{2}, \end{align} $

(2.11)

$ \begin{align} \left\langle\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\eta^{t}(s)\text{d}s, 2\rho u\right\rangle \geqslant&-2\rho\int_{\Omega }{{}}|A^{\frac{\theta}{2}}u|\int_{0}^{\infty }{{}} \mu(s)|A^{\frac{\theta}{2}}\eta^{t}(s)|\text{d}s\text{d}x\notag \\ \geqslant&-\frac{\rho\nu}{2}\|u\|_{\theta}^{2}-\frac{2k_{0}\rho}{\nu}\|\eta^{t}\|_{\mu, \theta}^{2}. \end{align} $

(2.12)

对合适的常数$\breve{C}>0$, 定义泛函

$ \begin{align} \mathcal{E}(t)=& \|u\|^{2}_{\theta}+\varepsilon(t)\|u_{t}\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, \theta}+2\rho\varepsilon(t)\left\langle u, u_{t}\right\rangle+2\langle G(u), 1\rangle-2\langle f, u\rangle+\breve{C}\notag \\ =& E(t)+2\rho\varepsilon(t)\left\langle u, u_{t}\right\rangle+2\langle G(u), 1\rangle-2\langle f, u\rangle+\breve{C}, \end{align} $

(2.13)

则对足够小的$\rho$, 存在常数$0 < \nu_{0} < 1$和单调递增的正函数$C(s)$, 使得

$ \begin{eqnarray} \nu_{0} E(t)-C\leqslant \mathcal{E}(t)\leqslant C(E(t)). \end{eqnarray} $

(2.14)

事实上, 由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(0.3)和(1.2)式, 有

$ \begin{align*} 2\rho\varepsilon(t)|\left\langle u, u_{t}\right\rangle|&\leqslant \rho\varepsilon(t)\|u\|_{\theta}^{2}+\frac{\rho\varepsilon(t)}{\lambda_{1}^{\theta}}\|u_{t}\|^{2}. \end{align*} $

因为$\frac{2n}{n-2\theta}\geqslant4$, 应用嵌入关系式(1.1), 结合条件(0.4)我们有

$ \begin{align} \langle G(u), 1\rangle\leqslant \int_{\Omega }{{}}\int_{0}^{u}{{}} C(1+|s|^{3}){\rm d}s{\rm d}x\leqslant C\|u\|_{L^{4}}^{4}+C\leqslant C\|u\|_{\theta}^{4}+C. \end{align} $

(2.15)

由条件(0.5), 存在足够小的常数$0 < \nu < 1$, 使得

$ \begin{align*} 2\langle G(u), 1\rangle\geqslant-(1-\nu)\|u\|_{\theta}^{2}-C. \end{align*} $

对于(2.10)式, 由(2.11)$-$(2.13)式, 结合条件(0.6), 可得

$ \begin{align} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}&\mathcal{E}(t)+\rho\mathcal{E}(t)+ \dfrac{\rho\nu}{2}\|u\|_{\theta}^{2}-(\varepsilon'(t)+3\rho\varepsilon(t)) \|u_{t}\|^{2}+\Big(\delta-\dfrac{2k_{0}\rho}{\nu}-\rho\Big)\|\eta^{t} \|_{\mu, \theta}^{2}\notag \\ &-2\rho(\varepsilon'(t)+\rho\varepsilon(t))\langle u, u_{t}\rangle\leqslant \rho C. \end{align} $

(2.16)

由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(0.3)和(1.2)式, 有

$ \begin{align} -2\rho(\varepsilon'(t)+\rho\varepsilon(t))\left\langle u, u_{t}\right\rangle \geqslant-\dfrac{\rho\nu}{2}\|u\|_{\theta}^{2}-\dfrac{2\rho}{\nu\lambda_{1}^{\theta}}L^{2}\|u_{t}\|^{2}. \end{align} $

(2.17)

将(2.17)式带入到(2.16)式, 有

$ \begin{align} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}&\mathcal{E}(t)+\rho\mathcal{E}(t)- \Big(\varepsilon'(t)+3\rho\varepsilon(t)+\dfrac{2\rho}{\nu\lambda_{1}^{\theta}}L^{2}\Big) \|u_{t}\|^{2}+ \Big(\delta-\dfrac{2k_{0}\rho}{\nu}-\rho\Big)\|\eta^{t}\|_{\mu, \theta}^{2}\leqslant \rho C. \end{align} $

(2.18)

并取$\rho$足够小, 使得$\varepsilon'(t)+3\rho\varepsilon(t)+ \frac{2\rho}{\nu\lambda_{1}^{\theta}}L^{2}\leqslant0, \delta-\frac{2k_{0}\rho}{\nu}-\rho\geqslant0$, 则有

$ \begin{align*} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\mathcal{E}(t)+\rho \mathcal{E}(t) \leqslant \rho C. \end{align*} $

应用Gronwall引理并结合(2.14)式, 证得(2.9)式成立.证毕.

引理2.1的证明   对于给定的初值$z_{i}(\tau)$, 引理2.2中的能量估计保证了下面的不等式成立.

$ \begin{eqnarray} \|U(t, \tau)z_{i}(\tau)\|_{\mathcal{H}_{t}}\leqslant R_{0}. \end{eqnarray} $

(2.19)

定义$\left\{u_{i}(t), \partial_{t}u_{i}(t), \eta_{i}^{t}\right\}= U(t, \tau)z_{i}(\tau)$, 并且令$\overline{z}(t)=(\overline{u}(t), \overline{u}_{t}(t), \overline{\eta}^{t}(s))=U(t, \tau)z_{1}(\tau)-U(t, \tau) z_{2}(\tau)$.因此, 这两个解的差$\overline{z}(t)$关于初始值的差$\overline{z}(\tau)=z_{1}(\tau)-z_{2}(\tau)$满足方程

$ \begin{eqnarray} \varepsilon(t)\overline{u}_{tt}+A^{\theta}\overline{u}+\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\overline{\eta}^{t}(s)\text{d}s +g(u_{1})-g(u_{2})=0. \end{eqnarray} $

(2.20)

用$2\overline{u}_{t}(t)$与方程(2.20)在$H$中作内积, 类似于(2.11)$-$(2.12)式的计算, 有

$ \begin{eqnarray} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\|\overline{z}\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}-\varepsilon'(t)\|\overline{u}_{t}\|^{2}+\delta \|\overline{\eta}^{t}\|_{\mu, \theta}^{2}\leqslant-2\left\langle g(u_{1})-g(u_{2}), \overline{u}_{t}\right\rangle. \end{eqnarray} $

(2.21)

因为$\frac{2n}{n-2\theta}\geqslant\frac{2n}{\theta}$, 应用嵌入关系式(1.1), 再由Hölder不等式和Young不等式, 结合条件(0.4)和(2.19)式, 有

$ \begin{align} -2\left\langle g(u_{1})-g(u_{2}), \overline{u}_{t}\right\rangle \leqslant&-2\int_{\Omega }{{}} |g'(\xi)||\overline{u}||\overline{u}_{t}|\text{d}x\notag \\ \leqslant&2C\Big(\int_{\Omega }{{}}(1+|u_{2}|^{2}+ |u_{1}|^{2})^{\frac{n}{\theta}}\text{d}x\Big)^{\frac{\theta}{n}}\|\overline{u}\|_{L^{\frac{2n} {n-2\theta}}} \|\overline{u}_{t}\|\notag \\ \leqslant&2C(1+\|u_{2}\|^{2}_{\theta}+\|u_{1}\|^{2}_{\theta})\|\overline{u}\|_{\theta}\|\overline{u}_{t}\|\notag \\ \leqslant&C(\|\overline{u}\|_{\theta}^{2}+\|\overline{u}_{t}\|^{2}). \end{align} $

(2.22)

因此将(2.22)式代入到(2.21)式, 有

$ \begin{align*} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\|\overline{z}(t)\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}\leqslant C(\|\overline{u}\|_{\theta}^{2}+\|\overline{u_{t}}\|^{2})\leqslant C\|\overline{z}(t)\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}. \end{align*} $

在区间$[\tau, t]$上利用Gronwall引理, 可得(2.8)式成立.证毕.

记$\mathbb{B}_{t}(R)=\left\{z(t)\in\mathcal{H}_{t}:\|z(t)\|_{\mathcal{H} _{t}}\leqslant R\right\}$.

引理2.3  假设条件(0.2)$-$(0.5)及(1.5)$-$(1.7)成立, 则$\mathfrak{B}=\left\{\mathbb{B}_{t}(R_{0})\right\}$是过程$\{U(t, \tau)\}$的时间依赖吸收集, 并且存在常数$M_{0}\geqslant R_{0}^{2}$, 使得

$ \begin{align} \sup\limits_{z_{\tau}\in \mathbb{B}_{\tau}(R_{0})}\left\{\|U(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}+\int_{\tau }^{\infty }{{}}\|u_{t}(y)\|^{2}\text{d}y\right\}\leqslant M_{0}, \quad \forall t\in \mathbb{R}. \end{align} $

(2.23)

证明  由引理2.2直接可以得到时间依赖吸收集的存在性.为了证明(2.23)式, 只需令(2.18)式中的$\rho=0$, 再积分即可.证毕.

2.3 时间依赖全局吸引子的存在性

定理2.2  关于方程(1.3)$-$(1.4)产生的过程$U(t, \tau)$在$\mathcal{H}_{t}$中拥有一个不变的时间依赖全局吸引子$\mathfrak{A}=\left\{A_{t}\right\}_{t\in \mathbb{R}}$.

为了证明过程的渐近紧性, 需要给出紧集的一个拉回吸引集族.为此, 可以将过程分解为衰减部分和紧性部分的和.

在条件(0.4)$-$(0.5)下, 把非线性项$g$分解为$g=g_{0}+g_{1}$, 其中$g_{0}$, $g_{1}\in C^{2}(\mathbb{R})$, 且存在$k\geqslant0$满足

$ \begin{align} g_{1}'(s)&\leqslant k, \quad \forall s\in \mathbb{R}, \end{align} $

(2.24)

$ \begin{align} |g_{0}''(s)|&\leqslant k(1+|s|), \quad \forall s\in \mathbb{R}, \end{align} $

(2.25)

$ \begin{align} g_{0}(0)&=g_{0}'(0)=0, \end{align} $

(2.26)

$ \begin{align} g_{0}(s)s&\geqslant0, \quad \forall s\in \mathbb{R}. \end{align} $

(2.27)

设$\mathfrak{B}=\left\{\mathbb{B}_{t}(R_{0})\right\}_{t\in \mathbb{R}}$是由引理2.3所得到的一个时间依赖吸收集, 且$\tau\in \mathbb{R}$是固定的, 那么对任意的$z_{\tau}\in \mathbb{B}_{\tau}(R_{0})$, 可以将$U(t, \tau)z_{\tau}$分解为

$ \begin{align*} U(t, \tau)z_{\tau}=z(t)=(u(t), u_{t}(t), \eta^{t}(s))=U_{0}(t, \tau)z_{\tau}+U_{1}(t, \tau)z_{\tau}, \end{align*} $

其中

$ \begin{align*} U_{0}(t, \tau)z_{\tau}=(v(t), v_{t}(t), \zeta^{t}(s)), \quad U_{1}(t, \tau)z_{\tau}=(w(t), w_{t}(t), \xi^{t}(s)), \end{align*} $

分别满足

$ \begin{eqnarray} \left\{\!\!\begin{array}{ll} \displaystyle \varepsilon(t) v_{tt}+A^{\theta}v+\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\zeta^{t}(s)\text{d}s+g_{0}(v)=0, \\[8pt] \zeta_{t}^{t}=-\zeta_{s}^{t}+v, \\[8pt] v(x, t)|_{\partial\Omega}=0, \quad \zeta^{t}(x, t)|_{\partial\Omega}=0, \\[8pt] v(x, \tau)=u^{\tau}(x), \quad v_{t}(x, \tau)=u^{\tau}_{t}(x), \quad \zeta^{\tau}(x, s)=\eta^{\tau}(x, s), \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(2.28)

和

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{ll} \displaystyle \varepsilon(t) w_{tt}+A^{\theta}w+\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\xi^{t}(s)\text{d}s+g(u)-g_{0}(v)=f, \\[3mm] \xi_{t}^{t}=-\xi_{s}^{t}+w, \\[3mm] w(x, t)|_{\partial\Omega}=0, \quad \xi^{t}(x, t)|_{\partial\Omega}=0, \\[3mm] w(x, \tau)=0, \quad w_{t}(x, \tau)=0, \quad \xi^{\tau}(x, s)=0. \end{array} \right. \end{align} $

(2.29)

引理2.4  存在常数$\alpha=\alpha(\mathfrak{B})>0$, 使得

$ \|{{U}_{0}}(t,\tau ){{z}_{\tau }}{{\|}_{{{\mathcal{H}}_{t}}}}\le C{{\text{e}}^{-\alpha (t-\tau )}},\quad \forall t\ge \tau . $

(2.30)

证明  用$g_{0}$代替$g$, 类似于引理2.2的证明, 有

$ \begin{eqnarray} \|U_{0}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}\leqslant C. \end{eqnarray} $

(2.31)

设$0 < \rho < 1$, 用$2(v_{t}(t)+\rho v(t))$与方程(2.28)在$H$中作内积, 类似于(2.11)$-$(2.12)式的计算, 有

$ \begin{align} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}&(\|v\|^{2}_{\theta}+\varepsilon(t)\|v_{t}\|^{2}+\|\zeta^{t}\|^{2}_{\mu, \theta} \\ +2\rho\varepsilon(t)\left\langle v, v_{t}\right\rangle+2\langle G_{0}(v), 1\rangle)+ \\\dfrac{3\rho}{2}\|v\|_{\theta}^{2}-(\varepsilon'(t)+2\rho\varepsilon(t))\|v_{t}\|^{2}\notag \\ &+(\delta-2\rho k_{0})\|\zeta^{t}\|_{\mu, \theta}^{2} \\-2\rho\varepsilon'(t)\langle v, v_{t}\rangle+2\rho\left\langle g_{0}(v), v\right\rangle\leqslant0. \end{align} $

(2.32)

由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(0.3)和(1.2)式, 得到

$ \begin{eqnarray} -2\rho\varepsilon'(t)\left\langle v, v_{t}\right\rangle\geqslant -\dfrac{\rho}{2}\|v\|_{\theta}^{2}-\dfrac{2\rho L^{2}}{\lambda_{1}^{\theta}}\|v_{t}\|^{2}. \end{eqnarray} $

(2.33)

定义泛函

$ \begin{align} \mathcal{E}_{0}(t)=&\|v\|^{2}_{\theta}+\varepsilon(t)\|v_{t}\|^{2}+\|\zeta^{t}\|^{2}_{\mu, \theta}+2\rho\varepsilon(t)\left\langle v, v_{t}\right\rangle+2\langle G_{0}(v), 1\rangle\notag \\ = &\|U_{0}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}+2\rho\varepsilon(t)\left\langle v, v_{t}\right\rangle+2\langle G_{0}(v), 1\rangle, \end{align} $

(2.34)

其中$G_{0}(s)=\int_{0}^{s}{{}}g_{0}(y)\text{d}y$.从而有

$ \begin{align} \dfrac{1}{2}\|U_{0}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}\leqslant\mathcal{E}_{0}(t)\leqslant C\|U_{0}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}. \end{align} $

(2.35)

事实上, 由条件(2.27), 有$G_{0}(s)\geqslant 0$.利用条件(2.25)和(2.31)式, 类似于(2.15)式的计算, 有

$ \begin{align*} \langle G_{0}(v), 1\rangle\leqslant C\|v\|_{\theta}^{4}+C\leqslant C. \end{align*} $

由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(0.3)和(1.2)式, 得到

$ \begin{align*} 2\rho\varepsilon(t)|\left\langle v, v_{t}\right\rangle|\leqslant \dfrac{1}{2}\|v\|_{\theta}^{2}+\dfrac{2\rho^{2} L}{\lambda_{1}^{\theta}}\varepsilon(t)\|v_{t}\|^{2}. \end{align*} $

将(2.33)$-$(2.34)式代入(2.32)式, 利用条件(2.27), 得到

$ \begin{align*} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\mathcal{E}_{0}(t)+ \rho\|U_{0}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}-\Big(\varepsilon'(t)+3\rho\varepsilon(t)+\dfrac{2\rho L^{2}}{\lambda_{1}^{\theta}}\Big)\|v_{t}\|^{2}+ (\delta-\rho-2\rho k_{0})\|\zeta^{t}\|_{\mu, \theta}^{2}\leqslant C. \end{align*} $

取$\rho$足够小, 使得

$ \begin{align} \varepsilon'(t)+3\rho\varepsilon(t)+\dfrac{2\rho L^{2}}{\lambda_{1}^{\theta}}\leqslant0, \quad \delta-\rho-2\rho k_{0}\geqslant0, \end{align} $

(2.36)

则有

$ \begin{align*} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\mathcal{E}_{0}(t)+\rho\|U_{0}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}^{2}\leqslant C. \end{align*} $

利用Gronwall引理, 结合(2.35)式, 即得(2.30)式成立.证毕.

由以上证明可知, 下面的估计式成立.

$ \begin{eqnarray} \sup\limits_{t\geqslant\tau}\left\{\|U(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}+\|U_{0}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}+ \|U_{1}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}\right\}\leqslant C. \end{eqnarray} $

(2.37)

引理2.5  存在$M=M(\mathfrak{B})>0$, 使得

$ \begin{eqnarray} \sup\limits_{t\geqslant\tau}\|U_{1}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}^{1/3}}\leqslant M. \end{eqnarray} $

(2.38)

证明   设$0 < \rho < 1$, 用$2A^{1/3}(w_{t}(t)+w(t)) $与方程(2.29)在$H$中作内积, 类似于(2.11)$-$(2.12)式的计算, 有

$ \begin{gathered} \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {\left\| w \right\|_{\theta + 1/3}^2 + \varepsilon \left( t \right)\left\| {{w_t}} \right\|_{1/3}^2 + \left\| {{\xi ^t}} \right\|_{\mu ,\theta + 1/3}^2 + 2\rho \varepsilon \left( t \right)} \right. \hfill \\ \left. {\left\langle {{w_t},{A^{1/3}}w} \right\rangle + 2\left\langle {g\left( u \right) - {g_0}\left( v \right) - f,{A^{1/3}}w} \right\rangle } \right) + \hfill \\ \frac{{3\rho }}{2}\left\| w \right\|_{\theta + 1/3}^2 - (\varepsilon '\left( t \right) + 2\rho \varepsilon \left( t \right))\left\| {{w_t}} \right\|_{1/3}^2 + \hfill \\ (\delta - 2\rho {k_0})\left\| {{\xi ^t}} \right\|_{\mu ,\theta + \frac{1}{3}}^2 - 2\rho \varepsilon '\left( t \right)\left\langle {{w_t},{A^{1/3}}w} \right\rangle \hfill \\ + 2\rho \left\langle {g\left( u \right) - {g_0}\left( v \right) - f,{A^{1/3}}w} \right\rangle {I_1} + {I_2} + {I_3}, \hfill \\ \end{gathered} $

(2.39)

其中

$ \begin{align*} I_{1}=&2\left\langle (g'_{0}(u)-g'_{0}(v))u_{t}, A^{1/3}w \right\rangle, \\ I_{2}=&2\left\langle g'_{0}(v)w_{t}, A^{1/3}w \right\rangle, \\ I_{3}=&2\left\langle g'_{1}(u)u_{t}, A^{1/3}w \right\rangle. \end{align*} $

对足够小的$\rho$和合适的$C^{*}>0$, 令

$ \begin{align} \Lambda(t)=&\|w\|^{2}_{\theta+1/3}+\varepsilon(t)\|w_{t}\|^{2}_{1/3} +\|\xi^{t}\|^{2}_{\mu, \theta+1/3} +2\rho\varepsilon(t)\left\langle w_{t}, A^{1/3}w \right\rangle \\ &+2\left\langle g(u)-g_{0}(v)-f, A^{1/3}w \right\rangle+ C^{*}\notag \\ =&\|U_{1}(t, \tau)z_{\tau}\|^{2}_{\mathcal{H}^{1/3}_{t}} +2\rho\varepsilon(t)\left\langle w_{t}, A^{1/3}w \right\rangle+2\left\langle g(u)-g_{0}(v)-f, A^{1/3}w \right\rangle+ C^{*}, \end{align} $

(2.40)

我们有

$ \begin{eqnarray} \dfrac{1}{2}\|U_{1}(t , \tau)z_{\tau}\|^{2}_{\mathcal{H}^{1/3}_{t}}\leqslant\Lambda(t)\leqslant 2\|U_{1}(t, \tau)z_{\tau}\|^{2}_{\mathcal{H}^{1/3}_{t}}+C. \end{eqnarray} $

(2.41)

事实上, 由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(0.3)和(1.2)式, 有

$ \begin{align*} 2\rho\varepsilon(t)\left|\left\langle w_{t}, A^{1/3}w \right\rangle\right| \leqslant \rho\|w\|_{\theta+1/3}^{2}+\dfrac{\rho L}{\lambda_{1}^{\theta}}\varepsilon(t)\|w_{t}\|_{1/3}^{2}. \end{align*} $

因为$\frac{2n}{n-2\theta}\geqslant\frac{2n}{\theta}$, 应用嵌入关系式(1.1), 由条件(0.4)和(2.24), 结合(2.37)式, 并运用Hölder不等式和Young不等式, 有

$ \begin{align*} 2\left|\left\langle g(u)-g_{0}(v), A^{1/3}w\right\rangle\right|\leqslant & 2\left|\left\langle g(u)-g(v), A^{1/3}w \right\rangle\right|+2\left|\left\langle g_{1}(v), A^{1/3}w\right\rangle\right|\notag \\[1mm] \leqslant&2\int_{\Omega }{{}} |g'(\xi)||w||A^{1/3}w|\text{d}x+2\int_{\Omega }{{}} |g'_{1}(\xi)||v||A^{1/3}w|\text{d}x \notag \\[1mm] \leqslant&C(\int_{\Omega }{{}}(1+|u|^{2}+|v|^{2})^{\frac{n}{\theta}} \text{d}x)^{\frac{\theta}{n}} \|w\|_{L^{\frac{2n}{n-2\theta}}}\|A^{1/3}w\|+ 2k\|v\|\|A^{1/3}w\| \notag \\ \leqslant& C\|w\|_{\theta}\|w\|_{2/3} +C\|v\|_{\theta}\|w\|_{2/3}\notag \\ \leqslant&\dfrac{1}{4}\|w\|^{2}_{\theta+1/3}+C. \end{align*} $

将(2.40)式代入到(2.39)式, 有

$ \begin{align} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}&\Lambda(t)+ \rho\Lambda(t)+\dfrac{\rho}{2}\|w\|^{2}_{\theta+1/3}-(\varepsilon'(t)+3\rho\varepsilon(t))\|w_{t}\|^{2}_{1/3}+(\delta-\rho-2\rho k_{0})\|\xi^{t}\|_{\mu, \theta+1/3}^{2}\notag\\ &-2\rho(\varepsilon'(t)+\rho\varepsilon(t))\left\langle w_{t}, A^{1/3}w\right\rangle\leqslant I_{1}+I_{2}+I_{3}+\rho C^{*}. \end{align} $

(2.42)

由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(0.3)和(1.2)式, 得到

$ \begin{eqnarray} -2\rho(\varepsilon'(t)+\rho\varepsilon(t))\left\langle w_{t}, A^{1/3}w\right\rangle \geqslant -\dfrac{\rho}{2}\|w\|_{\theta+1/3}^{2}-\dfrac{2\rho L^{2}}{\lambda_{1}^{\theta}}\|w_{t}\|^{2}. \end{eqnarray} $

(2.43)

将(2.43)式代入到(2.42)式, 并取$\rho$足够小, 使得(2.36)式成立, 则有

$ \begin{eqnarray} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\Lambda(t)+\rho\Lambda(t)\leqslant I_{1}+I_{2}+I_{3}+\rho C^{*}. \end{eqnarray} $

(2.44)

因为$\frac{2n}{n-2\theta}\geqslant\frac{2n}{4\theta-n}$, $\frac{2n}{n-2\theta}\geqslant\frac{2n}{\theta}$, 应用嵌入关系式(1.1), 再由Hölder不等式和Young不等式, 结合条件(2.25)$-$(2.26), 有

$ \begin{align*} I_{1}\leqslant&C (1+\|u\|_{L^{\frac{2n}{4\theta-n}}}+\|v\| _{L^{\frac{2n}{4\theta-n}}})\|u_{t}\|\|w\|_{L^{\frac{2n}{n-2 (\theta+1/3)}}}\|A^{1/3}w\|_{L^{\frac{2n}{n-2(\theta-1/3)}}}\\ \leqslant&C(1+\|u\|_{\theta}+\|v\|_{\theta})\|u_{t}\|\|w\|_{\theta+1/3}\|A^{1/3}w\|_{\theta-1/3}\\ \leqslant&\dfrac{\rho}{2}\|w\|^{2}_{\theta+1/3} +C \|u_{t}\|^{2} \|w\|^{2}_{\theta+1/3}\\ \leqslant&\dfrac{\rho}{2}\Lambda(t) +C \|u_{t}\|^{2} \|w\|^{2}_{\theta+1/3}, \\ I_{2}\leqslant & C\Big(\int_{\Omega }{{}}(|v|+|v|^{2})^{\frac{n}{\theta}} \text{d}x\Big)^{\frac{\theta}{n}}\|w_{t}\|_{1/3}\|A^{1/3}w\|_{L^{\frac{2n}{n-2(\theta-1/3)}}}\\ \leqslant& C (1+\|v\|_{\theta}+\|v\|_{\theta}^{2})\|w_{t}\|_{1/3}\|w\|_{\theta+1/3}\\ \leqslant&C\|w_{t}\|_{1/3}^{2} +C\|v\|_{\theta}^{2}\|w\|^{2}_{\theta+1/3}. \end{align*} $

此外, 由条件(2.24), 有

$ \begin{align*} I_{3}\leqslant k \|u_{t}\| \|A^{1/3}w\| \leqslant \lambda_{1}^{2(\theta-1/3)}\|u_{t}\|^{2} \|w\|^{2}_{2/3}+C \leqslant \|u_{t}\|^{2} \|w\|^{2}_{\theta+1/3}+C. \end{align*} $

因此, 由不等式(2.44), 可得

$ \begin{align*} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\Lambda(t) +\dfrac{\rho}{2}\Lambda(t) \leqslant q (t)\Lambda(t) + C, \end{align*} $

其中$q(t)=C \|u_{t}\|^{2} + C \|v\|_{\theta}^{2}$, 满足

$ \begin{align*} \int_{\tau }^{\infty }{{}}q(y)\text{d}y\leqslant C. \end{align*} $

并且由引理1.2, 引理2.3和引理2.4, 得到

$ \Lambda (t)\le C\Lambda (\tau ){{\text{e}}^{-\frac{\rho }{4}(t-\tau )}}+C,\text{ } $

(2.45)

再结合(2.41)式, 证明了$U_{1}(t, \tau)z(\tau)$在空间$\mathcal{H}^{1/3}_{t}$中的有界性.证毕.

为了构造紧集的一个拉回吸引集, 我们还需要记忆项的紧性.

引理2.6^[12-14]   假定$\mu(s)\in C^{1}(\mathbb{R}^{+})\cap L^{1}(\mathbb{R}^{+})$是一个非负函数, 且满足以下条件:如果存在$s_{0}\!\in\! \mathbb{R}^{+}$, 使得$\mu(s_{0})\!=\!0$, 那么对所有的$s\!\geqslant\!s_{0}$, 有$\mu(s_{0})\!=\!0$.进一步, 设$B_{0}$, $B_{1}$, $B_{2}$是Banach空间, $B_{0}$, $B_{1}$是自反的, 且满足$B_{0}\hookrightarrow B_{1}\hookrightarrow B_{2}$, 其中嵌入$B_{0}\hookrightarrow B_{1}$是紧的.设$C\subset L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+}; B_{1})$满足

(ⅰ) $C\subset L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};B_{0})\cap H_{\mu}^{1}(\mathbb{R}^{+};B_{2})$;

(ⅱ) $\sup_{\eta\in C}\|\eta(s)\|_{B_{1}}^{2}\leqslant h(s)$, $\forall s\in \mathbb{R}^{+}$, $h(s)\in L_{\mu}^{1}(\mathbb{R}^{+})$.

那么$C$在空间$L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};B_{1})$中是相对紧的.

另外, 对任意的$\xi^{t}\in L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta})$, Cauchy问题

$ \begin{equation} \left\{\!\!\begin{array}{ll} \xi_{t}^{t}=-\xi_{s}^{t}+w_{t}, \quad t\geqslant\tau, \\ \xi^{\tau}=\xi_{\tau} \end{array} \right. \end{equation} $

(2.46)

有唯一解$\xi^{t}\in C([\tau, \infty);L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta}))$, 因此对方程(2.29), 有

$ \begin{equation} \xi^{t}(x, s)=\left\{\!\!\begin{array}{ll} w(x, t)-w(x, t-s), &\tau < s < t, \\ w(x, t)-w(\tau), &s\geqslant t.\end{array} \right. \end{equation} $

(2.47)

设$\mathfrak{B}$是引理2.3中得到的一个时间依赖吸收集, 那么有以下结论.

引理2.7^[15]  假定非线性项$g$满足条件(0.4)$-$(0.5), 外力项$f\in H$, 且条件(1.5)和(1.7)成立.对任意给定的$T>\tau$和任意的$\epsilon>0$, 令

$ \begin{align*} \mathcal{K}_{T}=\Pi U_{1}(T, \tau)\mathfrak{B}, \end{align*} $

则存在一个正常数$N_{1}=N_{1}(\|\mathfrak{B}\|_{\mathcal{H}_{t}})$, 使得

(ⅰ) $\mathcal{K}_{T}$在空间$L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta+1/3})\cap H_{\mu}^{1}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta})$中有界;

(ⅱ) $\sup_{\xi\in \mathcal{K}_{T}^{\epsilon}}\|\xi(s)\|_{\theta}^{2}\leqslant N_{1}$.

其中$\left\{U_{1}(T, \tau)\right\}_{t\geqslant\tau}$是方程(2.29)的解过程, $\Pi: V_{\theta} \times H \times L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta})\rightarrow L_{\mu}^{2}(\mathbb{R}^{+};V_{\theta})$为投影算子.

引理2.8   在引理2.6的条件下, 令$\left\{U_{1}(t, \tau)\right\}_{t\geqslant\tau}$是方程(2.29)的解过程, 则对任意的$T>\tau, U_{1}(t, \tau)\mathfrak{B}$在$\mathcal{H}_{t}$中是相对紧的.

根据引理2.5和引理2.8, 可以考虑$\mathcal{K}=\left\{K_{t}\right\}_{t\in \mathbb{R}}$, 其中

$ \begin{align*} K_{t}=\left\{z(t)\in \mathcal{H}_{t}^{1/3}:\|z(t)\|_{\mathcal{H}_{t}^{1/3}}\leqslant M\right\}. \end{align*} $

由此可知$K_{t}$是紧的.此外, 由于常数$M$与$t$无关, 因此$\mathcal{K}$是一致有界的.最后, 根据引理2.2, 引理2.4, 引理2.5和引理2.8, 就可证得$\mathcal{K}$是拉回吸引的.事实上

$ \begin{align*} \text{dist}(U(t, \tau)\mathbb{B}_{\tau}(R_{0}), K_{t})\leqslant C{{\text{e}}}^{-\alpha(t-\tau)}, \quad \forall t\geqslant\tau, \end{align*} $

其中$\text{dist}(B, C)$是两个非空集合$B$, $C$的Hausdorff半距离.因此, 过程$U(t, \tau)$是渐近紧的, 这就证明了$U(t, \tau)$的时间依赖全局吸引子$\mathfrak{A}=\left\{A_{t}\right\}_{t\in \mathbb{R}}$的存在性.最后, 由过程$U(t, \tau)_{t\geqslant\tau}$的强连续性, 我们就能得到$\mathfrak{A}$的不变性.

2.4 时间依赖吸引子的正则性

在$\mathcal{K}$中, 对所有的$t\in \mathbb{R}$, $\mathfrak{A}$的最小性就保证了$A_{t}\subset K_{t}$, 从而$A_{t}$在$\mathcal{H}_{t}^{1/3}$上是有界的, 且其界与$t$无关.此外, 我们还能得到下面的正则性结论.

定理2.3  $A_{t}$在$\mathcal{H}_{t}^{1}$中有界, 且其界与$t$无关.

为了证明$A_{t}$在$\mathcal{H}_{t}^{1}$上的有界性, 我们参照定理2.2, 固定$\tau\!\in\!\mathbb{R}$, 对$z_{\tau}\!\in\! A_{t}$, 我们将$U(t, \tau)z_{\tau}$分解为

$ \begin{align*} U(t, \tau)z_{\tau}=z(t)=(u(t), u_{t}(t), \eta^{t}(s))=U_{3}(t, \tau)z_{\tau}+U_{4}(t, \tau)z_{\tau}, \end{align*} $

其中

$ \begin{align*} U_{3}(t, \tau)z_{\tau}=(v(t), v_{t}(t), \zeta^{t}(s)), \quad U_{4}(t, \tau)z_{\tau}=(w(t), w_{t}(t), \xi^{t}(s)), \end{align*} $

分别满足

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{ll} \varepsilon(t) v_{tt}+A^{\theta}v+\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\zeta^{t}(s)\text{d}s=0, \\[1mm] \zeta_{t}^{t}=-\zeta_{s}^{t}+v, \\[1mm] v(x, t)|_{\partial\Omega}=0, \quad \zeta^{t}(x, t)|_{\partial\Omega}=0, \\[1mm] v(x, \tau)=u^{\tau}(x), \quad v_{t}(x, \tau)=u^{\tau}_{t}(x), \quad \zeta^{\tau}(x, s)=\eta^{\tau}(x, s), \end{array} \right. \end{align} $

(2.48)

和

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{ll} \displaystyle \varepsilon(t) w_{tt}+A^{\theta}w+\int_{0}^{\infty }{{}}\mu(s)A^{\theta}\xi^{t}(s)\text{d}s+g(u)=f, \\[1mm] \xi_{t}^{t}=-\xi_{s}^{t}+w, \\[1mm] w(x, t)|_{\partial\Omega=0}, \quad \xi^{t}(x, t)|_{\partial\Omega}=0, \\[1mm] w(x, \tau)=0, \quad w_{t}(x, \tau)=0, \quad \xi^{\tau}(x, s)=0. \end{array} \right. \end{align} $

(2.49)

作为引理2.4的一个特例, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray} \|U_{3}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}}\leqslant C{{\text{e}}}^{-\alpha(t-\tau)}, \quad \forall t\geqslant\tau. \end{eqnarray} $

(2.50)

引理2.9  存在常数$M_{1}=M_{1}(\mathfrak{A})>0$, 使得

$ \begin{eqnarray} \sup\limits_{t\geqslant\tau}\|U_{4}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}^{1}}\leqslant M_{1}. \end{eqnarray} $

(2.51)

证明   设$0 < \rho < 1$, 用$2A(w_{t}(t)+\rho w(t))$与方程(2.49)在$H$中作内积, 类似于(2.11)$-$(2.12)式的计算, 有

$ \begin{align} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}&(\|w\|_{\theta+1}^{2}+\varepsilon(t)\|w_{t}\|_{1}^{2} +\|\xi\|_{\mu, \theta+1}^{2} +2\rho\varepsilon(t)\left\langle w_{t} , Aw \right\rangle-2\langle f, Aw \rangle) \\ &+\dfrac{3}{2}\rho\|w\|^{2}_{\theta+1}-(\varepsilon'(t)+2\rho\varepsilon(t))\|w_{t}\|^{2}_{1}\notag +(\delta-2\rho k_{0})\|\xi^{t}\|^{2}_{\mu, \theta+1} \\ & -2\rho\varepsilon'(t)\left\langle w_{t}, Aw\right\rangle-2\rho\langle f, Aw \rangle\leqslant-2\left\langle g(u), A(w_{t}+\rho w)\right\rangle. \end{align} $

(2.52)

对足够小的$\rho$和合适的$\widetilde{C}> 0$ (依赖于$\|g\|$), 令

$ \begin{align} \mathcal{E}_{1}(t)=&\|w\|_{\theta+1}^{2}+\varepsilon(t)\|w_{t}\|_{1}^{2}+\|\xi\|_{\mu, \theta+1}^{2}+2\rho\varepsilon(t)\left\langle w_{t}, Aw \right\rangle-2\langle f, Aw \rangle+\widetilde{C}\notag \\ =&\|U_{4}(t, \tau)z_{\tau}\|^{2}_{\mathcal{H}^{1}_{t}}+2\rho\varepsilon(t)\left\langle w_{t}, Aw \right\rangle-2\langle f, Aw \rangle+\widetilde{C}, \end{align} $

(2.53)

我们有

$ \begin{eqnarray} \dfrac{1}{4}\|U_{4}(t, \tau)z_{\tau}\|^{2}_{\mathcal{H}^{1}_{t}} \leqslant \mathcal{E}_{1}(t)\leqslant 2\|U_{4}(t, \tau)z\|^{2}_{\mathcal{H}^{1}_{t}}+C. \end{eqnarray} $

(2.54)

将(2.53)式代入到(2.52)式, 有

$ \begin{align} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}&\mathcal{E}_{1}(t)+ \rho\mathcal{E}_{1}(t)+\dfrac{1}{2}\rho\|w\|^{2}_{\theta+1}-(\varepsilon'(t)+3\rho\varepsilon(t))\|w_{t}\|^{2}_{1}+(\delta-\rho-2\rho k_{0})\|\xi\|_{\mu, \theta+1}^{2}\notag \\ &-2\rho(\varepsilon'(t)+\rho\varepsilon(t))\langle w_{t}, A w\rangle\leqslant-2\left\langle g(u), A(w_{t}+\rho w)\right\rangle+\rho \widetilde{C}, \end{align} $

(2.55)

由Hölder不等式和Young不等式, 并结合条件(0.3)和(1.2)式, 得到

$ \begin{eqnarray} -2\rho(\varepsilon'(t)+\rho\varepsilon(t))\left\langle w_{t}, A w\right\rangle \geqslant -\dfrac{\rho}{2}\|w\|_{\theta+1}^{2}-\dfrac{2\rho L^{2}}{\lambda_{1}^{\theta}}\|w_{t}\|_{1}^{2}. \end{eqnarray} $

(2.56)

将(2.56)式代入(2.55)式, 并取$\rho$足够小, 使得(2.36)式成立, 则有

$ \begin{align} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\mathcal{E}_{1}(t)+\rho \mathcal{E}_{1}(t)\leqslant-2\left\langle g(u), A(w_{t}+\rho w)\right\rangle+\rho \widetilde{C}. \end{align} $

(2.57)

由吸引子的不变性, 可得

$ \begin{align*} \|U(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}^{1/3}}\leqslant C, \end{align*} $

其中$C > 0$是在$ \mathcal{H}^{1/3}_{t}$中与$A_{t}$的界有关的常数.因为$\frac{2n}{4 (\theta+1/3)-n}\leqslant\frac{2n}{n-2(\theta-2/3)}$, 从而应用嵌入关系式(1.1), 有$V_{\theta-2/3}\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2(\theta-2/3)}}\hookrightarrow L^{\frac{2n}{4 (\theta+1/3)-n}}$, 结合条件(0.4)和(2.25), 有

$ \begin{align} -2\langle g(u), Aw_{t}\rangle-2\rho \langle g(u), Aw\rangle \leqslant&2\int_{\Omega }{{}}|g'(u)||A^{1/2}u||A^{1/2}w_{t}|\text{d}x+2\int_{\Omega }{{}}|g'(u)||A^{1/2}u||A^{1/2}w|\text{d}x\notag \\[2mm] \leqslant&C\Big(\int_{\Omega }{{}}(1+|u|^{2})^{\frac{n}{n- 2(\theta+1/3)}}\text{d}x\Big)^{\frac{{n-2(\theta+1/3)}}{n}} \\ &\times\|A^{1/2}u \|_{L^{{\frac{2n}{4(\theta+1/3)-n}}}}(\|w_{t}\|_{1}+\|w\|_{1})\notag\\[2mm] \leqslant&C\Big(1+\|u\|_{L^{\frac{2n}{n-2(\theta+1/3)}}}^{2}\Big) \|A^{1/2}u\|_{\theta-2/3}(\|w_{t}\|_{1}+\|w\|_{1}) \notag\\ \leqslant&C(1+\|u\|^{2}_{\theta+1/3})\|u\|_{\theta+1/3}(\|w_{t}\|_{1}+\|w\|_{1})\notag\\ \leqslant&\dfrac{\rho}{2}\mathcal{E}_{1}(t)+C. \end{align} $

(2.58)

将(2.58)式代入(2.57)式, 有

$ \begin{align*} \dfrac{\rm{d}}{\text{d}t}\mathcal{E}_{1}(t)+\dfrac{\rho}{2}\mathcal{E}_{1}(t)\leqslant C. \end{align*} $

应用Gronwall引理, 结合(2.53)式, 可得$\|U_{4}(t, \tau)z_{\tau}\|_{\mathcal{H}_{t}^{1}}$的一致有界性.

定理2.3的证明  令

$ \begin{align*} K^{1}_{t}=\left\{z(t)\in \mathcal{H}^{1}_{t}: \|z(t)\|_{\mathcal{H}^{1}_{t}} \leqslant M_{1} \right\}. \end{align*} $

由不等式(2.50)和引理2.9, 对$\forall t\in \mathbb{R}$, 有

$ \begin{align*} \lim\limits_{\tau \rightarrow -\infty} \text{dist}(U(t, \tau)A_{\tau}, K^{1}_{t})=0. \end{align*} $

从而由$\mathfrak{A}$的不变性, 有

$ \begin{align*} \text{dist}(A_{t}, K^{1}_{t})=0. \end{align*} $

因此, $A_{t}\subset \overline{{K^{1}_{t}}}=K^{1}_{t}$, 即证明了$A_{t}$在$\mathcal{H}^{1}_{t}$中是有界的, 并且其界与$t\in \mathbb{R}$无关.