0 引言
设$a_i \in {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], t_i
\in [0, 1](i=1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$, 且$\sum\limits_
{i=1}^n {t_i
} =1$, 记
$
\begin{align}
\overline {M_n^{[r]} } (s)=\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s
, \cdots, t_n^s ;a_1, a_2, \cdots, a_n )=\left\{\!\!
{{\begin{array}{cc}
\Big[{\sum\limits_{i=1}^n {t_i^s a_i^r } }\Big]^
{1/r}, & {r\ne 0, }\\
{\prod\limits_{i=1}^n {a_i^{t_i^s } }, } & {r=0}, \\
{\max \{a_1, a_2, \cdots, a_n \}, } & {r=+\infty, }
\\
{\min \{a_1, a_2, \cdots, a_n \}, }& {r=-\infty. }
\end{array} }} \right.
\end{align}
$
|
(1) |
则我们称$\overline {M_n^{[r]} } (s)=\overline {M_n^{[r]} }
(t_1^s
, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1, a_2 \cdots, a_n )$为正数$a_1, a_2
, \cdots, a_n $的加权$r$次冪$s$-平均.特别地, 称$\overline {M_n^{[1]} } (s)=t_1^s a_1 +t_2^s a_2 + \cdots +t_n^s
a_n =\overline {A}_n(s)$、$\overline {M_n^{[0]} } (s)= a_1^{t_1^s }
a_2^{t_2^s } \cdots a_n^{t_n^s } =\overline {G}_n(s)$、$\overline {M_n^{[-1]} } (s)=\frac{1}{t_1^s a_1^{-1} +t_2^s a_2^{-1}
+\cdots +t_n^s a_n^{-1} }=\overline {H}_n (s)$、$\overline
{M_n^{[2]} } (s)= \sqrt {t_1^s a_1^2 +t_2^s a_2^2 +\cdots +t_n^s
a_n^2 } =\overline {SR} _n (s)$、$\overline {M_n^{[-2]} }
(s)=\sqrt {\frac{1}{t_1^s a_1^{-2} +t_2^s a_2^{-2} +\cdots +t_n^s
a_n^{-2} }} =\overline {HS} _n (s)$、$\overline {M_n^{[3]} }
(s)=\sqrt[3]{t_1^s a_1^3 +t_2^s a_2^3 +\cdots +t_n^s a_n^3
}=\overline {CR}_n (s)$、$\overline {M_n^{[-3]} }
(s)=\sqrt[3]{\frac{1}{t_1^s a_1^{-3} +t_2^s a_2^{-3}
+\cdots +t_n^s
a_n^{-3} }}=\overline {HC}_n
(s)$分别为$n$元加权算术$s$-平均、$n$元加权几何$s$-平均、$n$元加权调和$s$-平均、$n$元加权平方根$s$-平均、$n$元加权调和平方根$s$-平均、$n$元加权立方根$s$-平均, 以及$n$元加权调和立方根$s$-平均.
显然, 当$s=1$时,
$n$元加权$r$次幂$s$-平均就是$n$元加权$r$次冪平均, 因此, 我们说$n$元加权$r$次冪$s$-平均是$n$元加权$r$次冪平均的推广.同时我们记$\overline {M_n^{[r]} } (1)=M_n^{[r]} (t_1, t_2
, \cdots, t_n ;a_1, a_2, \cdots, a_n )$.
关于$n$元加权$r$次幂$s$-平均的进一步研究, 鉴于本文主题的要求, 加之篇幅的限制, 此处不作讨论.但为方便本文证明, 这里给出$n$元加权$r$次幂$s$-平均的如下恒等关系式.
(Ⅰ) $[\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;
a_1, a_2
, \cdots, a_n )]^r$ $=\overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots
, t_n^s ;a_1^r, a_2^r, \cdots, a_n^r )$;
(Ⅱ) $[\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1,
a_2
, \cdots, a_n )]^{-r}$ $=\overline {M_n^{[-1]} }
(t_1^s, t_2^s, \cdots
, t_n^s ;a_1^{-r}, a_2^{-r}, \cdots, a_n^{-r} )$;
(Ⅲ) $[\overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1,
a_2, \cdots, a_n )]^{1/r}$ $=\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s
, \cdots, t_n^s ;a_1^{1/r}, a_2^{1/r}, \cdots, a_n^{1/r} )$;
(Ⅳ) $[\overline {M_n^{[-1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s
;a_1^{-r}, a_2^{-r}, \cdots, a_n^{-r} )]^{{-1}/r}$ $=\overline
{M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1, a_2, \cdots, a_n )$;
(Ⅴ) $\exp \overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1
, a_2, \cdots, a_n )$ $=\overline {M_n^{[0]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots
, t_n^s ;\exp a_1, \exp a_2, \cdots, \exp a_n )$.
若$a_i \in (1, +\infty ), i=1, 2, \cdots, n$, 则有
(Ⅵ) $\ln \overline {M_n^{[0]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;
a_1
, a_2, \cdots, a_n )$ $=\overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots
, t_n^s ;\ln a_1, \ln a_2, \cdots, \ln a_n )$;
(Ⅶ) 特别地, 当$s=1$时, 有
(ⅰ) $M_n^{[1]} (t_1, t_2$, $ \cdots, t_m, t_{m\!+\!1}, t_{m\!+\!2},
\cdots, t_n ;a_1, a_2$, $ \cdots, a_m, a_{m\!+\!1}, a_{m\!+\!2}$, $ \cdots
, a_n )\!=\!
M_{n\!-\!m\!+\!1}^{[1]}( t_1 +t_2 +\cdots +t_m, t_{m+1}$, $ \cdots
, t_n ;M_m^{[1]} ( \frac{t_1 }{t_1 +t_2 +\cdots +t_m }$, $ \frac{t_2
}{t_1 +t_2 +\cdots +t_m }$, $ \cdots, \frac{t_m }
{t_1 +t_2
+\cdots +t_m }; a_1, a_2, \cdots, a_m ), a_{m+1}$, $
\cdots
, a_n ) =M_{m+1}^{[1]} ( t_1, t_2$, $ \cdots, t_m, t_{m+1} +\cdots +t_n
; a_1, a_2$, $ \cdots, a_m, M_{n-m}^{[1]} ( \frac{t_{m+1} }{t_{m+1} +
\cdots +t_n }$, $ \cdots, \frac{t_n }{t_{m+1} +\cdots +t_n
};a_{m+1}$, $ \cdots, a_n ) ).$
进一步地, 若$\forall x_1, x_2 \in {{\bf R}}^+$及$\forall t_1,
t_2
, \alpha \in [0, 1]$, 则有
(ⅱ) $M_2^{[1]} (M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 )$, $
1-M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 );x_1, x_2 )$ $ =M_2^{[1]}
(\alpha, 1-\alpha ;M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1, x_2 )$, $ M_2^{[1]} (t_2
, 1-t_2 ;x_1, x_2 )).$
注意:当$s=1$时, 恒等关系式(Ⅰ)–(Ⅵ)仍然成立, 此时,
$n$元加权$r$次冪$s$-平均恒等关系式就是$n$元加权$r$次冪平均恒等关系式.
由此, 我们就可以利用加权$r$次冪平均和加权$r$次冪$s$-平均很方便地给出各类凸函数的定义, 如$r$次冪平均$s$-凸函数[1].
定义1 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 如果$\forall x_1, x_2 \in { {\bf
I}}$及$\forall t\in [0, 1]$, 存在$r\in {{\bf R}}$, 使得
$
f(M_2^{[r]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\le (\ge )\overline {M_2^{[r]} }
(t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )),
$
|
则称$f(x)$为${{\bf I}}$上的$r$次冪平均$s$-凸(凹)函数.当$r=1, 0, -1, 2, -2$时, 则$f(x)$分别为${{\bf
I}}$上的$s$-凸函数[2]、几何$s$-凸函数[3]、调和$s$-凸函数[1]、平方$s$-凸函数[4]、调和平方$s$-凸函数[5]; 若$s=1$且$r=1, 0, -1, 2, -2$或$r\in {{\bf R}}\;(r\ne 0), $则$f(x)$分别为凸函数、几何凸函数[6-7]、调和凸函数[8]、平方凸函数[9]、调和平方凸函数[10]和$rP$-凸函数[11]($r$-平均凸函数[12]、$r$-凸函数[13]、$P$方凸函数[14]).
考虑凸函数的个性化特征, 针对凸函数、对数凸函数[15]、$AH$-凸函数[16]、$AR$-凸函数[17]、$AM$-凸函数[18]和$s$-凸函数[2]、对数$s$-凸函数[19]的进一步推广问题, 本文利用加权$r$次冪$s$-平均定义了$A\overline M (s)$-凸函数, 并运用加权$r$次冪平均和加权$r$次冪$s$-平均的公式化记号, 采用符号计算的方法讨论了$A\overline M
(s)$-凸函数的判定定理和运算性质, 建立了$A\overline M
(s)$-凸函数的Jensen型不等式, 给出了其相应的等价形式.
定义2 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 如果$\forall x_1, x_2
\in {
{\bf I}}$及$\forall t\in [0, 1]$, 存在$r\in {{\bf R}}$, 使得
$
f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\le (\ge )\overline {M_2^{[r]} }
(t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )),
$
|
(2) |
则称$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数.
注1 当$s\in (0, 1]$且$r=1, 0, -1, 2$时, 则称$A\overline M (s)$-凸(凹)函数分别为$s$-凸(凹)函数、$A\overline
G (s)$-凸(凹)函数(对数$s$-凸(凹)函数)、$A\overline H
(s)$-凸(凹)函数、$A\overline R (s)$-凸(凹)函数.
注2 当$s=1$且$r=1, 0, -1, 2$或$r\in {{\bf R}}
$时, $A\overline M
(s)$-凸(凹)函数即分别为凸(凹)函数、$AG$-凸(凹)函数(对数凸(凹)函数)、$AH$-凸(凹)函数、$AR$-凸(凹)函数、$AM$-凸(凹)函数.
1 关于$A\overline M (s)$-凸函数的判定
设函数$\tau (x)=x^{-1}$, $\omega (x)=\exp x\, (x\in {{\bf I}}
=(0, +\infty ))$, 我们记$\tau ({{\bf I}})={{\bf I}}^{-1}$, $\omega
({{\bf I}})=\exp {{\bf I}}$.同时约定, 全文所有讨论只考虑$r\ne
0$的情形, 对$r=0$的情形的相关讨论见文献[19].
定理1 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则
(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x)]^r$为${{\bf
I}}$上的$s$-凸(凹)函数;
(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x)]^r$为${{\bf
I}}$上的$s$-凹(凸)函数.
证明 只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).
设$g(x)=[f(x)]^r(x\in {{\bf
I}}$且$r>0)$或$f(x)=[g(x)]^{1/r}(x\in {{\bf I}})$.
充分性.如果$g(x)=[f(x)]^r$为${{\bf I}}$上的$s$-凸函数, 注意到$r>0$, 那么$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$及$\forall t
\in [0, 1]$, 则由加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&f(M_2^{[1]} (t, 1-t ;x_1, x_2 ))=[g(M_2^{[1]} (t, 1-t; x_1, x_2)
)]^{1/r}\le [\overline {M_2^{[1]} }
(t^s, (1-t)^s;g(x_1 ), g(x_2
))]^{1/r} \\
=&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;[g(x_1 )]^{1/r}, [g(x_2 )]^ {1
/r}) =\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )),
\end{align*}
$
|
所以, 函数$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.
必要性.如果$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数,
$r>0$, 那么$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$及$\forall t\in
[0, 1]$, 由加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&g(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )]
^r\le
[\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 ))]^r
\\
=&\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(x_1 )]^r, [f(x_2
)]^r)=\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;g(x_1 ), g(x_2 )),
\end{align*}
$
|
因此, $g(x)=[f(x)]^r$是${{\bf I}}$上的$s$-凸函数.
若$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则证明中的不等号反向, 所以定理1(ⅰ)的后半部分成立.
定理2 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{\rm {\bf I}}\to {\rm {\bf R}}^+$, 则
(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是$\exp [f(\ln x)]^r$为$\exp {{\bf
I}}$上的几何$s$-凸(凹)函数;
(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是$\exp [f(\ln x)]^r$为$\exp {{\bf
I}}$上的几何$s$-凹(凸)函数.
证明 仅证(ⅰ), 同样的方法可证明(ⅱ).
令$g(x)=\exp [f(\ln x)]^r(x\in \exp {{\bf I}}, r\ne 0)$, 则$f(x)=[\ln g(\exp x)]^{1/r}(x\in {{\bf I}})$.
充分性. $\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$, $\exp x_1, \exp x_2 \in
\exp {{\bf I}}$, 若$g(x)=\exp [f(\ln x)]^r$是$\exp {{\bf
I}}$上的几何$s$-凸函数, 且$r>0$, 则由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[\ln g(\exp M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1
, x_2 ))]^{1/r}\\
=&[\ln g(M_2^{[0]} (t, 1-t;\exp x_1, \exp x_2 ))]^{1/r}\le [\ln
\overline {M_2^{[0]} } (t^s, (1-t)^s;g(\exp x_1 ), g(\exp x_2 ))]^{1
/r}
\\
=&[\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;\ln g(\exp x_1 ), \ln g(\exp
x_2 ))]^{1/r}
\\
=&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;[\ln g(\exp x_1 )]^{1/r}, [\ln
g(\exp x_2 )]^{1/r})=\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1
), f(x_2 )),
\end{align*}
$
|
故$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.
必要性. $\forall x_1, x_2 \in \exp {{\bf I}}$, $\ln x_1, \ln x_2
\in {{\bf I}}$, 若$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸函数, 注意到$r>0$, 则由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&g(M_2^{[0]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=\exp [f(\ln M_2^{[0]} (t, 1-t;x_1
, x_2 ))]^r
\\
=&\exp [f(M_2^{[1]} (t, 1-t;\ln x_1, \ln x_2 ))]^r\le \exp
[\overline
{M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(\ln x_1 ), f(\ln x_2 ))]^r
\\
=&\exp \overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(\ln x_1 )]^r,
[f(\ln
x_2 )]^r)
\\
=&\overline {M_2^{[0]} } (t^s, (1-t)^s;\exp [f(\ln x_1 )]^r, \exp
[f(\ln x_2 )]^r)=\overline {M_2^{[0]} } (t^s, (1-t)^s;
g(x_1 ), g(x_2
)),
\end{align*}
$
|
故$g(x)=\exp [f(\ln x)]^r$是$\exp {{\bf I}}$上的几何$s$-凸函数.
若$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$r>0$, 则证明中的不等号反向, 所以定理2(ⅰ)的后半部分成立.
定理3 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则
(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x^{-1})]^{-r}$为${{\bf
I}}^{-1}$上的调和$s$-凹(凸)函数;
(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x^{-1})]^{-r}$为${{\bf
I}}^{-1}$上的调和$s$-凸(凹)函数.
证明 只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).
设$g(x)=[f(x^{-1})]^{-r}(x\in {{\bf I}}^{-1}$且$r>0)$, 则$f(x)=[g(x^{-1})]^{{-1}/r}\, (x\in {{\bf I}})$.
充分性.如果$g(x)=[f(x^{-1})]^{-r}$为${{\bf
I}}^{-1}$上的调和$s$-凹函数, 注意到$r>0$, 那么$\forall x_1, x_2
\in {{\bf I}}$及$\forall t\in [0, 1]$, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[g([M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2
)]^{-1})]^{{-1}/r}
\\
=&[g(M_2^{[-1]} (t, 1-t;x_1^{-1}, x_2^{-1} ))]^{{-1}/r}\le [\overline
{M_2^{[-1]} } (t^s, (1-t)^s;g(x_1^{-1} ), g(x_2^{-1} ))]^{{-1}/r}
\\
=&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;[g(x_1^{-1}
)]^{{-1}/r}, [g(x_2^{-1} )]^{{-1}/r})=\overline {M_2^{[r]} }
(t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )),
\end{align*}
$
|
所以, 函数$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.
必要性.如果$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数,
$r>0$, 那么$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}^{-1}$及$\forall t\in
[0, 1]$, 则由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&g(M_n^{[-1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[f([M_n^{[-1]} (t, 1-t;x_1, x_2
)]^{-1}]^{-r}=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1^{-1}, x_2^{-1} ))]^{-r}
\\
\ge &[(\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1^{-1} ), f(x_2^{-1}
))]^{-r}=\overline {M_2^{[-1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(x_1^{-1}
)]^{-r}, [f(x_2^{-1} )]^{-r})
\\
=&\overline {M_2^{[-1]} } (t^s, (1-t)^s;g(x_1 ), g(x_2 )),
\end{align*}
$
|
因此, $g(x)=[f(x^{-1})]^{-r}$是${{\bf
I}}^{-1}$上的调和$s$-凹函数.
若$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$r>0$, 则证明中的不等号反向, 所以定理3(ⅰ)的后半部分成立.
定理4 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则
(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是$\forall x_1, x_2, x_3 \in {{\bf
I}}$且$x_1 <x_2 <x_3 $, 有
$
(x_3 -x_2 )^s[f(x_1 )]^r-(x_3 -x_1 )^s[f(x_2 )]^r+(x_2 -x_1
)^s[f(x_3 )]^r\ge (\le )~~0;
$
|
(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是: $\forall x_1, x_2, x_3 \in {{\bf
I}}$且$x_1 <x_2 <x_3 $, 有
$
(x_3 -x_2 )^s[f(x_1 )]^r-(x_3 -x_1 )^s[f(x_2 )]^r+(x_2 -x_1
)^s[f(x_3 )]^r\le (\ge )~~0.
$
|
证明 只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).
必要性. $\forall x_1, x_2, x_3 \in {{\bf I}}$且$x_1 <x_2 <x_3 $, 令$\lambda =\frac{x_3 -x_2 }{x_3 -x_1 }$, 则$x_2 =M_2^{[1]}
(\lambda, 1-\lambda ;x_1, x_3 )$, 若$f(x)$为${{\bf
I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 且$r>0$, 则
$
\begin{align*}
&f(x_2 )=f(M_2^{[1]} (\lambda, 1-\lambda ;x_1, x_3 ))\le \overline
{M_2^{[r]} } (\lambda ^s, (1-\lambda )^s;f(x_1 ), f(x_3 )) \\
=&[{\lambda ^s(f(x_1 ))^r+(1-\lambda )^s(f(x_3 ))^r}]^{1 / r}
=\Big[{\Big( {\dfrac{x_3-x_2 }{x_3-x_1 }} \Big)^s(f(x_1
))^r+\Big( {\dfrac{x_2-x_1 }{x_3 -x_1 }} \Big)^s(f(x_3 ))^r}
\Big]^{1/r},
\end{align*}
$
|
因为$f(x)$是${{\bf I}}$上的正值函数, 且$s\in (0, 1], r>0$, 所以, 将上式两边同时$r$次方后再整理得
$
(x_3 -x_2 )^s[f(x_1 )]^r-(x_3 -x_1 )^s[f(x_2 )]^r+(x_2 -x_1
)^s[f(x_3 )]^r\ge 0.
$
|
由于$r>0$时, 以上证明步步可逆, 所以充分性成立.
如果$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$s\in
(0, 1], r>0$, 则以上证明过程中的不等号反向, 因此定理4(ⅰ)的后半部分成立.
定理5 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则
(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)(x\in {{\bf I}})$为$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是: $\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2
))]^r(\forall x_1, x_2 \in {{\bf
I}})$是$[0, 1]$上的$s$-凸(凹)函数;
(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)(x\in {{\bf I}})$为$A\overline M
(s)$-凸(凹)函数的充要条件是: $\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2
))]^r(\forall x_1, x_2 \in {{\bf
I}})$是$[0, 1]$上的$s$-凹(凸)函数.
证明 只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).
充分性.因为$\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))]^r(t\in
[0, 1])$, 所以$\phi (0)=[f(x_2 )]^r$, $\phi (1)=[f(x_1 )]^r$, 又$\phi (t)$为$[0, 1]$上的$s$-凸函数, 且$r>0$, 所以, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[\phi (t)]^{1 /r}=[\phi (M_2^{[1]}
(t, 1-t;1, 0))]^{1/r}
\\
\le& [\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;\phi (1), \phi (0))]^{1
/r}=[\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(x_1 )]^r, [f(x_2
)]^r)]^{1/r}
\\
=&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )),
\end{align*}
$
|
因此, 函数$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.
必要性. $\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$及$\forall t_1, t_2 \in
[0, 1]$, 由幂平均的性质[20], 知$M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1,
x_2 )\in [\min \{x_1, x_2 \}, \max \{x_1, x_2 \}]\subseteq {{\bf I}},
M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 )\in [\min \{x_1, x_2 \}, \max \{x_1
, x_2 \}]\subseteq {{\bf I}}, $令$X_1 =M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ; x_1
, x_2 )$, $X_2 =M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 ), $则$\forall
\alpha \in [0, 1]$, 同样有, $M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;X_1, X_2
)\in {{\bf I}}$.
若$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 且$r>0$, 则$\forall t_1, t_2 \in [0, 1]$及$\forall \alpha \in [0, 1]$, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&\phi (M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 ))=[f(M_2^{[1]}
(M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 ), 1-M_2^{[1]} (\alpha
, 1-\alpha ;t_1, t_2 );x_1, x_2 ))]^r
\\
=&[f(M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1, x_2
), M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 )))]^r \\
\le &[\overline {M_2^{[r]} } (\alpha ^s, (1-\alpha )^s;f(M_2^{[1]}
(t_1, 1-t_1 ;x_1, x_2 )), f(M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 ))]^r
\\
=&\overline {M_2^{[1]} } (\alpha ^s, (1-\alpha )^s;
[f(M_2^{[1]} (t_1
, 1-t_1 ;x_1, x_2 ))]^r, [f(M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 )]^r)
\\
=&\overline {M_2^{[1]} } (\alpha ^s, (1-\alpha )^s;
\phi (t_1 ), \phi
(t_2 )),
\end{align*}
$
|
所以, 当$r>0$时, 函数$\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2
))]^r(\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}})$是$[0, 1]$上的$s$-凸函数.
如果$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$r>0$, 则上述证明中的不等号反向, 因此定理5(ⅰ)的后半部分成立.
定理6 设${ {\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 且二阶可导, 则
(ⅰ) 当$r>0$时, 若$\forall x\in {{\bf
I}}$有$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\ge 0$, 则$f(x)$是${ {\bf
I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.若$f(x)$为${{\bf
I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则$\forall x\in {{\bf
I}}$有$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\le 0$.
(ⅱ) 当$r<0$时, 若$\forall x\in {{\bf
I}}$有$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\ge 0$, 则$f(x)$是${{\bf
I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数.若$f(x)$为${{\bf
I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, $\forall x\in {{\bf
I}}$有$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\le 0$.
证明 只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).
$\forall t\in [0, 1]$及$s\in (0, 1], $则$0\le t\le t^s\le 1$.而$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}, f(x_1 ), f(x_2 )>0$, 因此, 有$t(f(x_1 ))^r\le t^s(f(x_1 ))^r$, 同理, $(1-t)(f(x_2 ))^r\le
(1-t)^s(f(x_2 ))^r$, 所以, 有$t(f(x_1 ))^r+(1-t)(f(x_2 ))^r\le
t^s(f(x_1 ))^r+(1-t)^s(f(x_2 ))^r$, 于是有$M_2^{[1]} (t, 1-t;(f(x_1
))^r, (f(x_2 ))^r)\le \overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;(f(x_1
))^r, (f(x_2 ))^r)$.注意到$r>0$, 则
$
[M_2^{[1]} (t, 1-t;(f(x_1 ))^r, (f(x_2 ))^r)]^{1/r}\le [\overline
{M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;(f(x_1 ))^r, (f(x_2 ))^r)]^{1/r},
$
|
即$M_2^{[r]} (t, 1-t;f(x_1 ), f(x_2 ))\le \overline {M_2^{[r]} }
(t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 ))$, 因此, 当$r>0$时, 若$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\ge 0(x\in {{\bf I}}) \Leftrightarrow
f(x)$是${{\bf I}}$上的$AM$-凸函数, 所以有
$
f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\le M_2^{[r]} (t, 1-t;f(x_1 ), f(x_2
))\le \overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )),
$
|
从而$f(x)$是${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.
若$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则
$
f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\ge \overline {M_2^{[r]} }
(t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 ))\ge M_2^{[r]} (t, 1-t;f(x_1 ), f(x_2 )),
$
|
从而$f(x)$是${{\bf I}}$上的$AM$-凹函数$\Leftrightarrow
\forall
x\in {{\bf I}}$有$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\le 0\;(r>0)$.
2 关于$A\overline M (s)$-凸函数的性质
定理7 设${{\bf A}}, {{\bf I}}\subseteq {{\bf
R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, \mu :{{\bf A}} \to {
{\bf B}}\subseteq {{\bf I}}$, 则
(ⅰ) 若$y=f(u)$是${{\bf I}}$上严格递增的$A\overline M
(s)$-凸函数, $u=\mu (x)$是${{\bf A}}$上的凸函数, 则$y=f(\mu
(x))$是${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;
(ⅱ) 若$y=f(u)$是${{\bf I}}$上严格递减的$A\overline M
(s)$-凸函数, $u=\mu (x)$为${{\bf A}}$上的凹函数, 则$y=f(\mu
(x))$是${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;
(ⅲ) 若$y=f(u)$是${{\bf I}}$上严格递增的$A\overline M
(s)$-凹函数, $u=\mu (x)$为${{\bf A}}$上的凹函数, 则$y=f(\mu
(x))$是${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数;
(ⅳ) 若$y=f(u)$是${{\bf I}}$上严格递减的$A\overline M
(s)$-凹函数, $u=\mu (x)$为${{\bf A}}$上的凸函数, 则$y=f(\mu
(x))$是${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数.
证明 只证 (ⅰ), 同理可证 (ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ).
$\forall x_1, x_2 \in {{\bf A}}$及$\forall t\in [0, 1]$, 有$M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )\in {{\bf A}}$, 由条件知, $\mu (x_1
), \mu (x_2 ), \mu (M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )) \in {{\bf
B}}\subseteq {{\bf I}}, $且$M_2^{[1]} (t, 1-t;\mu (x_1 ), \mu (x_2
))\in {{\bf B}}\subseteq {{\bf I}}$, 因为$u=\mu (x)$为${ {\bf
A}}$上的凸函数, 且$y=f(u)$是${ {\bf
I}}$上严格递增的$A\overline M (s)$-凸函数, 所以
$
\begin{align*}
&f(\mu (M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )))\le f(M_2^{[1]} (t, 1-t;\mu (x_1
), \mu (x_2 ))) \\
\le& \overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;
f(\mu (x_1 )), f(\mu (x_2
))),
\end{align*}
$
|
故, 函数$y=f(\mu (x))$为${{\bf A}}$上的$A\overline M
(s)$-凸函数.
类似地, 可以证明下列结果.
定理8 设${{\bf A}}, {{\bf I}}\subseteq { {\bf
R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, \mu :{{\bf A}}\to
{
{\bf B}}\subseteq {{\bf I}}$, 则
(ⅰ) 若$y=f(u)$是${{\bf I}}$上严格递增的$r$次幂平均$s$-凸函数, $u=\mu (x)$是${{\bf A}}$上的$AM$-凸函数, 则$y=f(\mu
(x))$是${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;
(ⅱ) 若$y=f(u)$是${{\bf
I}}$上严格递减的$r$次幂平均$s$-凸函数, $u=\mu (x)$为${{ \bf
A}}$上的$AM$-凹函数, 则$y=f(\mu (x))$是${{\bf
A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;
(ⅲ) 若$y=f(u)$是${{\bf
I}}$上严格递增的$r$次幂平均$s$-凹函数, $u=\mu (x)$为${
{\bf
A}}$上的$AM$-凹函数, 则$y=f(\mu (x))$是${{\bf
A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数;
(ⅳ) 若$y=f(u)$是${{\bf
I}}$上严格递减的$r$次幂平均$s$-凹函数, $u=\mu (x)$为${ {\bf
A}}$上的$AM$-凸函数, 则$y=f(\mu (x))$是${{\bf
A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数.
3 $A\overline M (s)$-凸函数的Jensen型不等式
定理9 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}^+}, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, r\in {{\bf R}}, r\ne 0$, 若$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 那么$\forall x_i \in {{\bf I}}$及$\forall t_i \in
[0, 1](i=1, 2, \cdots, n)$, 且$\sum\limits_{i=1}^n {t_i } =1$, 都有
$
f(M_n^{[1]} (t_1, t_2, \cdots, t_n ;x_1, x_2, \cdots, x_n ))\le
\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;f(x_1 ),
f(x_2
), \cdots, f(x_n )).
$
|
(3) |
若$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则不等式(3)中的不等号反向.
证明(用数学归纳法).先证$r>0$的情形.设$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.
当$n=1$时, $t_1 =1$, 此时式(3)为恒等式, 所以定理成立.
当$n=2$时, $\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$及$\forall t_1, t_2
\in [0, 1]$, 且$t_1 +t_2 =1$, 由$A\overline M (s)$-凸函数的定义2, 有
$
\begin{align*}
&f(M_2^{[1]} (t_1, t_2 ;x_1, x_2 ))=f(M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1
, x_2 ))
\\
\le &\overline {M_2^{[r]} } (t_1^s, (1-t_1 )^s;f(x_1 ), f(x_2
))=\overline {M_2^{[r]} } (t_1^s, t_2^s ;f(x_1 ), f(x_2 )),
\end{align*}
$
|
所以, 当$n=2$时定理成立.
假设$n=k$时定理成立, 即$\forall x_i \in {{\bf I}}$, $\forall t_i
\in [0, 1](i=1, 2, \cdots, k)$, 且$\sum\limits_{i=1}^k {t_i } =1$, 有
$
f(M_k^{[1]} (t_1, t_2, \cdots, t_k ;x_1, x_2, \cdots, x_k ))\le
\overline {M_k^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_k^s ;f(x_1 ), f(x_2
), \cdots, f(x_k )).
$
|
则当$n=k+1$时, $\forall x_i \in {{\bf I}}, \forall t_i \in
[0, 1](i=1, 2, \cdots, k, k+1)$, 且$\sum\limits_{i=1}^{k+1} {t_i } =1$, 并注意到$\frac{t_1 }{t_1 \!+\!t_1 \!+\cdots +\!t_k }x_1
\!+\!\frac{t_2 } {t_1 \!+\!t_2 \!+\cdots +\!t_k }x_2 $ $\!+\cdots
+\!\frac{t_k }{t_1 \!+\!t_2 \!+\cdots +\!t_k }x_k \!$ $=\!M_k^{[1]} (
\frac{t_1 }{t_1 \!+\!t_2 \!+\cdots +\!t_k }, \frac{t_2 }{t_1 +t_2
+\cdots +t_k }$, $ \cdots, \frac{t_k }{t_1 +t_2 +\cdots +t_k
}; x_1, x_2$, $ \cdots, x_k )\in {{\bf I}}$以及$r>0$, 根据$A\overline M (s)$-凸函数的定义和假设, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有
$
\begin{align*}
&f(M_{k+1}^{[1]} (t_1, t_2, \cdots, t_{k+1} ;x_1, x_2, \cdots
, x_{k+1} ))
\\
=&f\Big( (t_1 +t_2 +\cdots +t_k )M_k^{[1]}\Big( \dfrac{t_1 } {t_1
+t_2 \cdots +t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }\cdots
, \dfrac{t_k }{t_1 +t_2 \cdots +t_k };\\
&~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big)+t_{k+1} x_{k+1} \Big)
\\
=&f\Big( M_2^{[1]} \Big( t_1 +t_2 +\cdots +t_k, t_{k+1} ; M_k^{[1]}
\Big( \dfrac{t_1 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2
\cdots +t_k }\cdots, \dfrac{t_k }{t_1 +t_2 \cdots +t_k };\\
&~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big), x_{k+1} \Big) \Big)\\
\le &\overline {M_2^{[r]} } \Big( (t_1 +t_2 +\cdots +t_k
)^s, t_{k+1}^s ;f\Big( M_k^{[1]} \Big( \dfrac{t_1 }{t_1 +t_2 \cdots
+t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }\cdots, \dfrac{t_k }{t_1
+t_2 \cdots +t_k };\\
&~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big) \Big), f(x_{k+1} ) \Big)\\
=&\Big[(t_1 +t_2 +\cdots +t_k )^s\Big( f\Big( M_k^{[1]} \Big(
\dfrac{t_1 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2 \cdots
+t_k }\cdots, \dfrac{t_k }{t_1 +t_2 \cdots +t_k };\\
&~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big) \Big) \Big)^r+t_{k+1}^s (f(x_{k+1}
))^r \Big]^{1 /r}
\\
\le &\Big[(t_1 \!+\!t_2\! +\!\cdots \!+\!t_k )^s\Big( \overline
{M_k^{[r]}
}
\Big( \Big( {\dfrac{t_1 }{t_1 \!+\!t_2 \!+\!\cdots \!+\!t_k }}
\Big)^s, \Big( {\dfrac{t_2 }{t_1 \!+\!t_2 \!+\!\cdots \!+\!t_k }}
\Big)^s, \cdots, \Big(
{\dfrac{t_k }{t_1 \!+\!t_2 +\cdots +\!t_k }} \Big)^s;\\
&~~~f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_k ) \Big) \Big)^r+t_{k+1}^s
(f(x_{k+1} ))^r
\Big]^{1/r} \\
=&\overline {M_2^{[r]} } ( {t_1^s, t_2^s, \cdots
, t_{k+1}^s ;f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_{k+1} )} ),
\end{align*}
$
|
即, 当$n=k+1$时, 不等式(3)成立.故对于一切自然数$n$, 若$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 则不等式(3)成立.
若$r<0$时, 同理可证不等式(3)仍然成立.故定理的前半部分成立.
同样的方法可证明:若$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M
(s)$-凹函数, 则不等式(3)中的不等号反向, 所以定理的后半部分成立.
关于定理9, 它的一个等价形式如下.
定理10 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}^+}, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, r\in {{\bf R}}, r\ne 0$, 且$\forall
x_i \in {{\bf I}}, \forall q_i \in {{\bf R}}^{ {\bf +}}(i=1, 2, \cdots
, n)$, 若$f(x)$为${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数, 则
$
\begin{align*}
&f\Big( {M_n^{[1]} \Big( {\dfrac{q_1 }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n
}, \dfrac{q_2 }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }, \cdots, \dfrac{q_n }{q_1
+q_2 +\cdots +q_n };x_1 x_2, \cdots, x_n } \Big)}\Big) \\
\le& (\ge )\overline {M_n^{[r]} } \Big( \Big( {\dfrac{q_1 }{q_1 +q_2
+\cdots +q_n }} \Big)^s, \Big( {\dfrac{q_2 }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }}
\Big)^s, \cdots, \Big( {\dfrac{q_n }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }}
\Big)^s;\\
&~f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_n ) \Big).
\end{align*}
$
|
特别地, 如果$q_1 =q_2 =\cdots =q_n $, 则有
推论 设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}^+}, s\in
(0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, r\in {{\bf R}}, r\ne 0$, 且$\forall
x_i \in {{\bf I}}$ $(i=1, 2, \cdots, n)$, 若$f(x)$为${{\bf
I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数, 则
$
\begin{align*}
f\Big( {M_n^{[1]}\Big( {\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n}, \cdots
, \dfrac{1}{n};x_1, x_2, \cdots, x_n }\Big)} \Big)\le (\ge )&
\overline {M_n^{[r]} } \Big( \Big( {\dfrac{1}{n}} \Big)^s, \Big(
{\dfrac{1}{n}} \Big)^s, \cdots, \Big( {\dfrac{1}{n}}\Big)^s; \\
&f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_n ) \Big).
\end{align*}
$
|