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  华东师范大学学报(自然科学版)  2018 Issue (3): 46-54, 120  DOI: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.03.006
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引用本文  

宋振云, 胡付高. AM(s)-凸函数及其Jensen型不等式[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2018, (3): 46-54, 120. DOI: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.03.006.
SONG Zhen-yun, HU Fu-gao. AM(s)-Convex function and its Jensen-type inequality[J]. Journal of East China Normal University (Natural Science), 2018, (3): 46-54, 120. DOI: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.03.006.

基金项目

教育部科学技术研究重点项目(212109)

作者简介

宋振云, 男, 教授, 研究方向为高等数学教学及凸分析.E-mail:hbsy12358@126.com

文章历史

收稿日期:2017-03-17
AM(s)-凸函数及其Jensen型不等式
宋振云1, 胡付高2     
1. 湖北职业技术学院 教务处, 湖北 孝感 432000;
2. 湖北工程学院 数学与统计学院, 湖北 孝感 432000
摘要:针对函数的凸性及其广义凸性,研究凸函数的推广问题.首先引入了n个正数的加权r次幂s-平均的概念和记号,并利用加权r次幂s-平均定义了AMs)-凸函数;然后用符号化的方式讨论了AMs)-凸函数的判定定理和运算性质;最后,证明了AMs)-凸函数的Jensen型不等式,并给出了其等价形式.研究结果表明,AMs)-凸函数是包含众多凸函数的一类广义凸函数,运用加权r次幂s-平均定义和研究AMs)-凸函数是对凸函数进行推广和研究的有效方法,同时也为凸函数的拓展推广和深入研究探索了一条新的途径.
关键词加权r次幂s-平均    AM(s)-凸函数    判定定理    运算性质    Jensen型不等式    
AM(s)-Convex function and its Jensen-type inequality
SONG Zhen-yun1, HU Fu-gao2    
1. Dean's office, Hubei Polytechnic Institute, Xiaogan Hubei 432000, China;
2. School of Mathematics and Statistics, Hubei Engineering University, Xiaogan Hubei 432000, China
Abstract: Based on the convexity and general convexity of a function, the authors study extending issues of a convex function. Firstly, the concept and sign of weighted r-th power s-mean of n positives are introduced; secondly, the AM(s)-convex function is defined by weighted r-th power s-mean; thirdly, the judgment theorem and operation properties of AM(s)-convex function are discussed; and finally, the Jensen-type inequality of the AM(s)-convex function is proved and an equivalent form is provided. The study shows that the AM(s)-convex function is a subset of general convex functions that includes many convex functions. Studying the AM(s)-convex function with the method of weighted r-th power s-mean is an effective way of extending and studying convex functions. This method explores a new approach to extending and studying convex functions.
Key words: weighted r-th power s-mean    AM(s)-convex function    judgment theorem    operation property    Jensen-type inequality    
0 引言

$a_i \in {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], t_i \in [0, 1](i=1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$, 且$\sum\limits_ {i=1}^n {t_i } =1$, 记

$ \begin{align} \overline {M_n^{[r]} } (s)=\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s , \cdots, t_n^s ;a_1, a_2, \cdots, a_n )=\left\{\!\! {{\begin{array}{cc} \Big[{\sum\limits_{i=1}^n {t_i^s a_i^r } }\Big]^ {1/r}, & {r\ne 0, }\\ {\prod\limits_{i=1}^n {a_i^{t_i^s } }, } & {r=0}, \\ {\max \{a_1, a_2, \cdots, a_n \}, } & {r=+\infty, } \\ {\min \{a_1, a_2, \cdots, a_n \}, }& {r=-\infty. } \end{array} }} \right. \end{align} $ (1)

则我们称$\overline {M_n^{[r]} } (s)=\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s , t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1, a_2 \cdots, a_n )$为正数$a_1, a_2 , \cdots, a_n $的加权$r$次冪$s$-平均.特别地, 称$\overline {M_n^{[1]} } (s)=t_1^s a_1 +t_2^s a_2 + \cdots +t_n^s a_n =\overline {A}_n(s)$$\overline {M_n^{[0]} } (s)= a_1^{t_1^s } a_2^{t_2^s } \cdots a_n^{t_n^s } =\overline {G}_n(s)$$\overline {M_n^{[-1]} } (s)=\frac{1}{t_1^s a_1^{-1} +t_2^s a_2^{-1} +\cdots +t_n^s a_n^{-1} }=\overline {H}_n (s)$$\overline {M_n^{[2]} } (s)= \sqrt {t_1^s a_1^2 +t_2^s a_2^2 +\cdots +t_n^s a_n^2 } =\overline {SR} _n (s)$$\overline {M_n^{[-2]} } (s)=\sqrt {\frac{1}{t_1^s a_1^{-2} +t_2^s a_2^{-2} +\cdots +t_n^s a_n^{-2} }} =\overline {HS} _n (s)$$\overline {M_n^{[3]} } (s)=\sqrt[3]{t_1^s a_1^3 +t_2^s a_2^3 +\cdots +t_n^s a_n^3 }=\overline {CR}_n (s)$$\overline {M_n^{[-3]} } (s)=\sqrt[3]{\frac{1}{t_1^s a_1^{-3} +t_2^s a_2^{-3} +\cdots +t_n^s a_n^{-3} }}=\overline {HC}_n (s)$分别为$n$元加权算术$s$-平均、$n$元加权几何$s$-平均、$n$元加权调和$s$-平均、$n$元加权平方根$s$-平均、$n$元加权调和平方根$s$-平均、$n$元加权立方根$s$-平均, 以及$n$元加权调和立方根$s$-平均.

显然, 当$s=1$时, $n$元加权$r$次幂$s$-平均就是$n$元加权$r$次冪平均, 因此, 我们说$n$元加权$r$次冪$s$-平均是$n$元加权$r$次冪平均的推广.同时我们记$\overline {M_n^{[r]} } (1)=M_n^{[r]} (t_1, t_2 , \cdots, t_n ;a_1, a_2, \cdots, a_n )$.

关于$n$元加权$r$次幂$s$-平均的进一步研究, 鉴于本文主题的要求, 加之篇幅的限制, 此处不作讨论.但为方便本文证明, 这里给出$n$元加权$r$次幂$s$-平均的如下恒等关系式.

(Ⅰ) $[\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ; a_1, a_2 , \cdots, a_n )]^r$ $=\overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots , t_n^s ;a_1^r, a_2^r, \cdots, a_n^r )$;

(Ⅱ) $[\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1, a_2 , \cdots, a_n )]^{-r}$ $=\overline {M_n^{[-1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots , t_n^s ;a_1^{-r}, a_2^{-r}, \cdots, a_n^{-r} )$;

(Ⅲ) $[\overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1, a_2, \cdots, a_n )]^{1/r}$ $=\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s , \cdots, t_n^s ;a_1^{1/r}, a_2^{1/r}, \cdots, a_n^{1/r} )$;

(Ⅳ) $[\overline {M_n^{[-1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1^{-r}, a_2^{-r}, \cdots, a_n^{-r} )]^{{-1}/r}$ $=\overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1, a_2, \cdots, a_n )$;

(Ⅴ) $\exp \overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;a_1 , a_2, \cdots, a_n )$ $=\overline {M_n^{[0]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots , t_n^s ;\exp a_1, \exp a_2, \cdots, \exp a_n )$.

$a_i \in (1, +\infty ), i=1, 2, \cdots, n$, 则有

(Ⅵ) $\ln \overline {M_n^{[0]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ; a_1 , a_2, \cdots, a_n )$ $=\overline {M_n^{[1]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots , t_n^s ;\ln a_1, \ln a_2, \cdots, \ln a_n )$;

(Ⅶ) 特别地, 当$s=1$时, 有

(ⅰ) $M_n^{[1]} (t_1, t_2$, $ \cdots, t_m, t_{m\!+\!1}, t_{m\!+\!2}, \cdots, t_n ;a_1, a_2$, $ \cdots, a_m, a_{m\!+\!1}, a_{m\!+\!2}$, $ \cdots , a_n )\!=\! M_{n\!-\!m\!+\!1}^{[1]}( t_1 +t_2 +\cdots +t_m, t_{m+1}$, $ \cdots , t_n ;M_m^{[1]} ( \frac{t_1 }{t_1 +t_2 +\cdots +t_m }$, $ \frac{t_2 }{t_1 +t_2 +\cdots +t_m }$, $ \cdots, \frac{t_m } {t_1 +t_2 +\cdots +t_m }; a_1, a_2, \cdots, a_m ), a_{m+1}$, $ \cdots , a_n ) =M_{m+1}^{[1]} ( t_1, t_2$, $ \cdots, t_m, t_{m+1} +\cdots +t_n ; a_1, a_2$, $ \cdots, a_m, M_{n-m}^{[1]} ( \frac{t_{m+1} }{t_{m+1} + \cdots +t_n }$, $ \cdots, \frac{t_n }{t_{m+1} +\cdots +t_n };a_{m+1}$, $ \cdots, a_n ) ).$

进一步地, 若$\forall x_1, x_2 \in {{\bf R}}^+$$\forall t_1, t_2 , \alpha \in [0, 1]$, 则有

(ⅱ) $M_2^{[1]} (M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 )$, $ 1-M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 );x_1, x_2 )$ $ =M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1, x_2 )$, $ M_2^{[1]} (t_2 , 1-t_2 ;x_1, x_2 )).$

注意:当$s=1$时, 恒等关系式(Ⅰ)–(Ⅵ)仍然成立, 此时, $n$元加权$r$次冪$s$-平均恒等关系式就是$n$元加权$r$次冪平均恒等关系式.

由此, 我们就可以利用加权$r$次冪平均和加权$r$次冪$s$-平均很方便地给出各类凸函数的定义, 如$r$次冪平均$s$-凸函数[1].

定义1    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 如果$\forall x_1, x_2 \in { {\bf I}}$$\forall t\in [0, 1]$, 存在$r\in {{\bf R}}$, 使得

$ f(M_2^{[r]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\le (\ge )\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )), $

则称$f(x)$${{\bf I}}$上的$r$次冪平均$s$-凸(凹)函数.当$r=1, 0, -1, 2, -2$时, 则$f(x)$分别为${{\bf I}}$上的$s$-凸函数[2]、几何$s$-凸函数[3]、调和$s$-凸函数[1]、平方$s$-凸函数[4]、调和平方$s$-凸函数[5]; 若$s=1$$r=1, 0, -1, 2, -2$$r\in {{\bf R}}\;(r\ne 0), $$f(x)$分别为凸函数、几何凸函数[6-7]、调和凸函数[8]、平方凸函数[9]、调和平方凸函数[10]$rP$-凸函数[11]($r$-平均凸函数[12]$r$-凸函数[13]$P$方凸函数[14]).

考虑凸函数的个性化特征, 针对凸函数、对数凸函数[15]$AH$-凸函数[16]$AR$-凸函数[17]$AM$-凸函数[18]$s$-凸函数[2]、对数$s$-凸函数[19]的进一步推广问题, 本文利用加权$r$次冪$s$-平均定义了$A\overline M (s)$-凸函数, 并运用加权$r$次冪平均和加权$r$次冪$s$-平均的公式化记号, 采用符号计算的方法讨论了$A\overline M (s)$-凸函数的判定定理和运算性质, 建立了$A\overline M (s)$-凸函数的Jensen型不等式, 给出了其相应的等价形式.

定义2    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 如果$\forall x_1, x_2 \in { {\bf I}}$$\forall t\in [0, 1]$, 存在$r\in {{\bf R}}$, 使得

$ f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\le (\ge )\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )), $ (2)

则称$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数.

注1    当$s\in (0, 1]$$r=1, 0, -1, 2$时, 则称$A\overline M (s)$-凸(凹)函数分别为$s$-凸(凹)函数、$A\overline G (s)$-凸(凹)函数(对数$s$-凸(凹)函数)、$A\overline H (s)$-凸(凹)函数、$A\overline R (s)$-凸(凹)函数.

注2    当$s=1$$r=1, 0, -1, 2$$r\in {{\bf R}} $时, $A\overline M (s)$-凸(凹)函数即分别为凸(凹)函数、$AG$-凸(凹)函数(对数凸(凹)函数)、$AH$-凸(凹)函数、$AR$-凸(凹)函数、$AM$-凸(凹)函数.

1 关于$A\overline M (s)$-凸函数的判定

设函数$\tau (x)=x^{-1}$, $\omega (x)=\exp x\, (x\in {{\bf I}} =(0, +\infty ))$, 我们记$\tau ({{\bf I}})={{\bf I}}^{-1}$, $\omega ({{\bf I}})=\exp {{\bf I}}$.同时约定, 全文所有讨论只考虑$r\ne 0$的情形, 对$r=0$的情形的相关讨论见文献[19].

定理1    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则

(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x)]^r$${{\bf I}}$上的$s$-凸(凹)函数;

(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x)]^r$${{\bf I}}$上的$s$-凹(凸)函数.

证明    只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).

$g(x)=[f(x)]^r(x\in {{\bf I}}$$r>0)$$f(x)=[g(x)]^{1/r}(x\in {{\bf I}})$.

充分性.如果$g(x)=[f(x)]^r$${{\bf I}}$上的$s$-凸函数, 注意到$r>0$, 那么$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$$\forall t \in [0, 1]$, 则由加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &f(M_2^{[1]} (t, 1-t ;x_1, x_2 ))=[g(M_2^{[1]} (t, 1-t; x_1, x_2) )]^{1/r}\le [\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;g(x_1 ), g(x_2 ))]^{1/r} \\ =&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;[g(x_1 )]^{1/r}, [g(x_2 )]^ {1 /r}) =\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )), \end{align*} $

所以, 函数$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.

必要性.如果$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, $r>0$, 那么$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$$\forall t\in [0, 1]$, 由加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &g(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )] ^r\le [\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 ))]^r \\ =&\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(x_1 )]^r, [f(x_2 )]^r)=\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;g(x_1 ), g(x_2 )), \end{align*} $

因此, $g(x)=[f(x)]^r$${{\bf I}}$上的$s$-凸函数.

$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则证明中的不等号反向, 所以定理1(ⅰ)的后半部分成立.

定理2    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{\rm {\bf I}}\to {\rm {\bf R}}^+$, 则

(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是$\exp [f(\ln x)]^r$$\exp {{\bf I}}$上的几何$s$-凸(凹)函数;

(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是$\exp [f(\ln x)]^r$$\exp {{\bf I}}$上的几何$s$-凹(凸)函数.

证明    仅证(ⅰ), 同样的方法可证明(ⅱ).

$g(x)=\exp [f(\ln x)]^r(x\in \exp {{\bf I}}, r\ne 0)$, 则$f(x)=[\ln g(\exp x)]^{1/r}(x\in {{\bf I}})$.

充分性. $\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$, $\exp x_1, \exp x_2 \in \exp {{\bf I}}$, 若$g(x)=\exp [f(\ln x)]^r$$\exp {{\bf I}}$上的几何$s$-凸函数, 且$r>0$, 则由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[\ln g(\exp M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1 , x_2 ))]^{1/r}\\ =&[\ln g(M_2^{[0]} (t, 1-t;\exp x_1, \exp x_2 ))]^{1/r}\le [\ln \overline {M_2^{[0]} } (t^s, (1-t)^s;g(\exp x_1 ), g(\exp x_2 ))]^{1 /r} \\ =&[\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;\ln g(\exp x_1 ), \ln g(\exp x_2 ))]^{1/r} \\ =&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;[\ln g(\exp x_1 )]^{1/r}, [\ln g(\exp x_2 )]^{1/r})=\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )), \end{align*} $

$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.

必要性. $\forall x_1, x_2 \in \exp {{\bf I}}$, $\ln x_1, \ln x_2 \in {{\bf I}}$, 若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 注意到$r>0$, 则由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &g(M_2^{[0]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=\exp [f(\ln M_2^{[0]} (t, 1-t;x_1 , x_2 ))]^r \\ =&\exp [f(M_2^{[1]} (t, 1-t;\ln x_1, \ln x_2 ))]^r\le \exp [\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(\ln x_1 ), f(\ln x_2 ))]^r \\ =&\exp \overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(\ln x_1 )]^r, [f(\ln x_2 )]^r) \\ =&\overline {M_2^{[0]} } (t^s, (1-t)^s;\exp [f(\ln x_1 )]^r, \exp [f(\ln x_2 )]^r)=\overline {M_2^{[0]} } (t^s, (1-t)^s; g(x_1 ), g(x_2 )), \end{align*} $

$g(x)=\exp [f(\ln x)]^r$$\exp {{\bf I}}$上的几何$s$-凸函数.

$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$r>0$, 则证明中的不等号反向, 所以定理2(ⅰ)的后半部分成立.

定理3    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则

(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x^{-1})]^{-r}$${{\bf I}}^{-1}$上的调和$s$-凹(凸)函数;

(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是$[f(x^{-1})]^{-r}$${{\bf I}}^{-1}$上的调和$s$-凸(凹)函数.

证明    只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).

$g(x)=[f(x^{-1})]^{-r}(x\in {{\bf I}}^{-1}$$r>0)$, 则$f(x)=[g(x^{-1})]^{{-1}/r}\, (x\in {{\bf I}})$.

充分性.如果$g(x)=[f(x^{-1})]^{-r}$${{\bf I}}^{-1}$上的调和$s$-凹函数, 注意到$r>0$, 那么$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$$\forall t\in [0, 1]$, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[g([M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )]^{-1})]^{{-1}/r} \\ =&[g(M_2^{[-1]} (t, 1-t;x_1^{-1}, x_2^{-1} ))]^{{-1}/r}\le [\overline {M_2^{[-1]} } (t^s, (1-t)^s;g(x_1^{-1} ), g(x_2^{-1} ))]^{{-1}/r} \\ =&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;[g(x_1^{-1} )]^{{-1}/r}, [g(x_2^{-1} )]^{{-1}/r})=\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )), \end{align*} $

所以, 函数$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.

必要性.如果$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, $r>0$, 那么$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}^{-1}$$\forall t\in [0, 1]$, 则由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &g(M_n^{[-1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[f([M_n^{[-1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )]^{-1}]^{-r}=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1^{-1}, x_2^{-1} ))]^{-r} \\ \ge &[(\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1^{-1} ), f(x_2^{-1} ))]^{-r}=\overline {M_2^{[-1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(x_1^{-1} )]^{-r}, [f(x_2^{-1} )]^{-r}) \\ =&\overline {M_2^{[-1]} } (t^s, (1-t)^s;g(x_1 ), g(x_2 )), \end{align*} $

因此, $g(x)=[f(x^{-1})]^{-r}$${{\bf I}}^{-1}$上的调和$s$-凹函数.

$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$r>0$, 则证明中的不等号反向, 所以定理3(ⅰ)的后半部分成立.

定理4    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则

(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是$\forall x_1, x_2, x_3 \in {{\bf I}}$$x_1 <x_2 <x_3 $, 有

$ (x_3 -x_2 )^s[f(x_1 )]^r-(x_3 -x_1 )^s[f(x_2 )]^r+(x_2 -x_1 )^s[f(x_3 )]^r\ge (\le )~~0; $

(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是: $\forall x_1, x_2, x_3 \in {{\bf I}}$$x_1 <x_2 <x_3 $, 有

$ (x_3 -x_2 )^s[f(x_1 )]^r-(x_3 -x_1 )^s[f(x_2 )]^r+(x_2 -x_1 )^s[f(x_3 )]^r\le (\ge )~~0. $

证明    只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).

必要性. $\forall x_1, x_2, x_3 \in {{\bf I}}$$x_1 <x_2 <x_3 $, 令$\lambda =\frac{x_3 -x_2 }{x_3 -x_1 }$, 则$x_2 =M_2^{[1]} (\lambda, 1-\lambda ;x_1, x_3 )$, 若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 且$r>0$, 则

$ \begin{align*} &f(x_2 )=f(M_2^{[1]} (\lambda, 1-\lambda ;x_1, x_3 ))\le \overline {M_2^{[r]} } (\lambda ^s, (1-\lambda )^s;f(x_1 ), f(x_3 )) \\ =&[{\lambda ^s(f(x_1 ))^r+(1-\lambda )^s(f(x_3 ))^r}]^{1 / r} =\Big[{\Big( {\dfrac{x_3-x_2 }{x_3-x_1 }} \Big)^s(f(x_1 ))^r+\Big( {\dfrac{x_2-x_1 }{x_3 -x_1 }} \Big)^s(f(x_3 ))^r} \Big]^{1/r}, \end{align*} $

因为$f(x)$${{\bf I}}$上的正值函数, 且$s\in (0, 1], r>0$, 所以, 将上式两边同时$r$次方后再整理得

$ (x_3 -x_2 )^s[f(x_1 )]^r-(x_3 -x_1 )^s[f(x_2 )]^r+(x_2 -x_1 )^s[f(x_3 )]^r\ge 0. $

由于$r>0$时, 以上证明步步可逆, 所以充分性成立.

如果$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$s\in (0, 1], r>0$, 则以上证明过程中的不等号反向, 因此定理4(ⅰ)的后半部分成立.

定理5    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 则

(ⅰ) 当$r>0$时, $f(x)(x\in {{\bf I}})$$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是: $\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))]^r(\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}})$$[0, 1]$上的$s$-凸(凹)函数;

(ⅱ) 当$r<0$时, $f(x)(x\in {{\bf I}})$$A\overline M (s)$-凸(凹)函数的充要条件是: $\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))]^r(\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}})$$[0, 1]$上的$s$-凹(凸)函数.

证明    只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).

充分性.因为$\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))]^r(t\in [0, 1])$, 所以$\phi (0)=[f(x_2 )]^r$, $\phi (1)=[f(x_1 )]^r$, 又$\phi (t)$$[0, 1]$上的$s$-凸函数, 且$r>0$, 所以, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))=[\phi (t)]^{1 /r}=[\phi (M_2^{[1]} (t, 1-t;1, 0))]^{1/r} \\ \le& [\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;\phi (1), \phi (0))]^{1 /r}=[\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;[f(x_1 )]^r, [f(x_2 )]^r)]^{1/r} \\ =&\overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )), \end{align*} $

因此, 函数$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.

必要性. $\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$$\forall t_1, t_2 \in [0, 1]$, 由幂平均的性质[20], 知$M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1, x_2 )\in [\min \{x_1, x_2 \}, \max \{x_1, x_2 \}]\subseteq {{\bf I}}, M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 )\in [\min \{x_1, x_2 \}, \max \{x_1 , x_2 \}]\subseteq {{\bf I}}, $$X_1 =M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ; x_1 , x_2 )$, $X_2 =M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 ), $$\forall \alpha \in [0, 1]$, 同样有, $M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;X_1, X_2 )\in {{\bf I}}$.

$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 且$r>0$, 则$\forall t_1, t_2 \in [0, 1]$$\forall \alpha \in [0, 1]$, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &\phi (M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 ))=[f(M_2^{[1]} (M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;t_1, t_2 ), 1-M_2^{[1]} (\alpha , 1-\alpha ;t_1, t_2 );x_1, x_2 ))]^r \\ =&[f(M_2^{[1]} (\alpha, 1-\alpha ;M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1, x_2 ), M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 )))]^r \\ \le &[\overline {M_2^{[r]} } (\alpha ^s, (1-\alpha )^s;f(M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1, x_2 )), f(M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 ))]^r \\ =&\overline {M_2^{[1]} } (\alpha ^s, (1-\alpha )^s; [f(M_2^{[1]} (t_1 , 1-t_1 ;x_1, x_2 ))]^r, [f(M_2^{[1]} (t_2, 1-t_2 ;x_1, x_2 )]^r) \\ =&\overline {M_2^{[1]} } (\alpha ^s, (1-\alpha )^s; \phi (t_1 ), \phi (t_2 )), \end{align*} $

所以, 当$r>0$时, 函数$\phi (t)=[f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))]^r(\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}})$$[0, 1]$上的$s$-凸函数.

如果$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 且$r>0$, 则上述证明中的不等号反向, 因此定理5(ⅰ)的后半部分成立.

定理6    设${ {\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+$, 且二阶可导, 则

(ⅰ) 当$r>0$时, 若$\forall x\in {{\bf I}}$$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\ge 0$, 则$f(x)$${ {\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则$\forall x\in {{\bf I}}$$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\le 0$.

(ⅱ) 当$r<0$时, 若$\forall x\in {{\bf I}}$$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\ge 0$, 则$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数.若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, $\forall x\in {{\bf I}}$$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\le 0$.

证明    只证(ⅰ), 同理可证(ⅱ).

$\forall t\in [0, 1]$$s\in (0, 1], $$0\le t\le t^s\le 1$.而$\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}, f(x_1 ), f(x_2 )>0$, 因此, 有$t(f(x_1 ))^r\le t^s(f(x_1 ))^r$, 同理, $(1-t)(f(x_2 ))^r\le (1-t)^s(f(x_2 ))^r$, 所以, 有$t(f(x_1 ))^r+(1-t)(f(x_2 ))^r\le t^s(f(x_1 ))^r+(1-t)^s(f(x_2 ))^r$, 于是有$M_2^{[1]} (t, 1-t;(f(x_1 ))^r, (f(x_2 ))^r)\le \overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;(f(x_1 ))^r, (f(x_2 ))^r)$.注意到$r>0$, 则

$ [M_2^{[1]} (t, 1-t;(f(x_1 ))^r, (f(x_2 ))^r)]^{1/r}\le [\overline {M_2^{[1]} } (t^s, (1-t)^s;(f(x_1 ))^r, (f(x_2 ))^r)]^{1/r}, $

$M_2^{[r]} (t, 1-t;f(x_1 ), f(x_2 ))\le \overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 ))$, 因此, 当$r>0$时, 若$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\ge 0(x\in {{\bf I}}) \Leftrightarrow f(x)$${{\bf I}}$上的$AM$-凸函数, 所以有

$ f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\le M_2^{[r]} (t, 1-t;f(x_1 ), f(x_2 ))\le \overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 )), $

从而$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.

$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则

$ f(M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 ))\ge \overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s;f(x_1 ), f(x_2 ))\ge M_2^{[r]} (t, 1-t;f(x_1 ), f(x_2 )), $

从而$f(x)$${{\bf I}}$上的$AM$-凹函数$\Leftrightarrow \forall x\in {{\bf I}}$$(r-1)(f'(x))^2+f(x)f''(x)\le 0\;(r>0)$.

2 关于$A\overline M (s)$-凸函数的性质

定理7    设${{\bf A}}, {{\bf I}}\subseteq {{\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, \mu :{{\bf A}} \to { {\bf B}}\subseteq {{\bf I}}$, 则

(ⅰ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递增的$A\overline M (s)$-凸函数, $u=\mu (x)$${{\bf A}}$上的凸函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;

(ⅱ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递减的$A\overline M (s)$-凸函数, $u=\mu (x)$${{\bf A}}$上的凹函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;

(ⅲ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递增的$A\overline M (s)$-凹函数, $u=\mu (x)$${{\bf A}}$上的凹函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数;

(ⅳ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递减的$A\overline M (s)$-凹函数, $u=\mu (x)$${{\bf A}}$上的凸函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数.

证明    只证 (ⅰ), 同理可证 (ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ).

$\forall x_1, x_2 \in {{\bf A}}$$\forall t\in [0, 1]$, 有$M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )\in {{\bf A}}$, 由条件知, $\mu (x_1 ), \mu (x_2 ), \mu (M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )) \in {{\bf B}}\subseteq {{\bf I}}, $$M_2^{[1]} (t, 1-t;\mu (x_1 ), \mu (x_2 ))\in {{\bf B}}\subseteq {{\bf I}}$, 因为$u=\mu (x)$${ {\bf A}}$上的凸函数, 且$y=f(u)$${ {\bf I}}$上严格递增的$A\overline M (s)$-凸函数, 所以

$ \begin{align*} &f(\mu (M_2^{[1]} (t, 1-t;x_1, x_2 )))\le f(M_2^{[1]} (t, 1-t;\mu (x_1 ), \mu (x_2 ))) \\ \le& \overline {M_2^{[r]} } (t^s, (1-t)^s; f(\mu (x_1 )), f(\mu (x_2 ))), \end{align*} $

故, 函数$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.

类似地, 可以证明下列结果.

定理8    设${{\bf A}}, {{\bf I}}\subseteq { {\bf R}}^+, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, \mu :{{\bf A}}\to { {\bf B}}\subseteq {{\bf I}}$, 则

(ⅰ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递增的$r$次幂平均$s$-凸函数, $u=\mu (x)$${{\bf A}}$上的$AM$-凸函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;

(ⅱ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递减的$r$次幂平均$s$-凸函数, $u=\mu (x)$${{ \bf A}}$上的$AM$-凹函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数;

(ⅲ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递增的$r$次幂平均$s$-凹函数, $u=\mu (x)$${ {\bf A}}$上的$AM$-凹函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数;

(ⅳ) 若$y=f(u)$${{\bf I}}$上严格递减的$r$次幂平均$s$-凹函数, $u=\mu (x)$${ {\bf A}}$上的$AM$-凸函数, 则$y=f(\mu (x))$${{\bf A}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数.

3 $A\overline M (s)$-凸函数的Jensen型不等式

定理9    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}^+}, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, r\in {{\bf R}}, r\ne 0$, 若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 那么$\forall x_i \in {{\bf I}}$$\forall t_i \in [0, 1](i=1, 2, \cdots, n)$, 且$\sum\limits_{i=1}^n {t_i } =1$, 都有

$ f(M_n^{[1]} (t_1, t_2, \cdots, t_n ;x_1, x_2, \cdots, x_n ))\le \overline {M_n^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_n^s ;f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_n )). $ (3)

$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则不等式(3)中的不等号反向.

证明(用数学归纳法).先证$r>0$的情形.设$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数.

$n=1$时, $t_1 =1$, 此时式(3)为恒等式, 所以定理成立.

$n=2$时, $\forall x_1, x_2 \in {{\bf I}}$$\forall t_1, t_2 \in [0, 1]$, 且$t_1 +t_2 =1$, 由$A\overline M (s)$-凸函数的定义2, 有

$ \begin{align*} &f(M_2^{[1]} (t_1, t_2 ;x_1, x_2 ))=f(M_2^{[1]} (t_1, 1-t_1 ;x_1 , x_2 )) \\ \le &\overline {M_2^{[r]} } (t_1^s, (1-t_1 )^s;f(x_1 ), f(x_2 ))=\overline {M_2^{[r]} } (t_1^s, t_2^s ;f(x_1 ), f(x_2 )), \end{align*} $

所以, 当$n=2$时定理成立.

假设$n=k$时定理成立, 即$\forall x_i \in {{\bf I}}$, $\forall t_i \in [0, 1](i=1, 2, \cdots, k)$, 且$\sum\limits_{i=1}^k {t_i } =1$, 有

$ f(M_k^{[1]} (t_1, t_2, \cdots, t_k ;x_1, x_2, \cdots, x_k ))\le \overline {M_k^{[r]} } (t_1^s, t_2^s, \cdots, t_k^s ;f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_k )). $

则当$n=k+1$时, $\forall x_i \in {{\bf I}}, \forall t_i \in [0, 1](i=1, 2, \cdots, k, k+1)$, 且$\sum\limits_{i=1}^{k+1} {t_i } =1$, 并注意到$\frac{t_1 }{t_1 \!+\!t_1 \!+\cdots +\!t_k }x_1 \!+\!\frac{t_2 } {t_1 \!+\!t_2 \!+\cdots +\!t_k }x_2 $ $\!+\cdots +\!\frac{t_k }{t_1 \!+\!t_2 \!+\cdots +\!t_k }x_k \!$ $=\!M_k^{[1]} ( \frac{t_1 }{t_1 \!+\!t_2 \!+\cdots +\!t_k }, \frac{t_2 }{t_1 +t_2 +\cdots +t_k }$, $ \cdots, \frac{t_k }{t_1 +t_2 +\cdots +t_k }; x_1, x_2$, $ \cdots, x_k )\in {{\bf I}}$以及$r>0$, 根据$A\overline M (s)$-凸函数的定义和假设, 由加权$r$次幂平均恒等关系式和加权$r$次幂$s$-平均恒等关系式, 有

$ \begin{align*} &f(M_{k+1}^{[1]} (t_1, t_2, \cdots, t_{k+1} ;x_1, x_2, \cdots , x_{k+1} )) \\ =&f\Big( (t_1 +t_2 +\cdots +t_k )M_k^{[1]}\Big( \dfrac{t_1 } {t_1 +t_2 \cdots +t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }\cdots , \dfrac{t_k }{t_1 +t_2 \cdots +t_k };\\ &~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big)+t_{k+1} x_{k+1} \Big) \\ =&f\Big( M_2^{[1]} \Big( t_1 +t_2 +\cdots +t_k, t_{k+1} ; M_k^{[1]} \Big( \dfrac{t_1 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }\cdots, \dfrac{t_k }{t_1 +t_2 \cdots +t_k };\\ &~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big), x_{k+1} \Big) \Big)\\ \le &\overline {M_2^{[r]} } \Big( (t_1 +t_2 +\cdots +t_k )^s, t_{k+1}^s ;f\Big( M_k^{[1]} \Big( \dfrac{t_1 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }\cdots, \dfrac{t_k }{t_1 +t_2 \cdots +t_k };\\ &~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big) \Big), f(x_{k+1} ) \Big)\\ =&\Big[(t_1 +t_2 +\cdots +t_k )^s\Big( f\Big( M_k^{[1]} \Big( \dfrac{t_1 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }, \dfrac{t_2 }{t_1 +t_2 \cdots +t_k }\cdots, \dfrac{t_k }{t_1 +t_2 \cdots +t_k };\\ &~~~x_1, x_2, \cdots, x_k \Big) \Big) \Big)^r+t_{k+1}^s (f(x_{k+1} ))^r \Big]^{1 /r} \\ \le &\Big[(t_1 \!+\!t_2\! +\!\cdots \!+\!t_k )^s\Big( \overline {M_k^{[r]} } \Big( \Big( {\dfrac{t_1 }{t_1 \!+\!t_2 \!+\!\cdots \!+\!t_k }} \Big)^s, \Big( {\dfrac{t_2 }{t_1 \!+\!t_2 \!+\!\cdots \!+\!t_k }} \Big)^s, \cdots, \Big( {\dfrac{t_k }{t_1 \!+\!t_2 +\cdots +\!t_k }} \Big)^s;\\ &~~~f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_k ) \Big) \Big)^r+t_{k+1}^s (f(x_{k+1} ))^r \Big]^{1/r} \\ =&\overline {M_2^{[r]} } ( {t_1^s, t_2^s, \cdots , t_{k+1}^s ;f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_{k+1} )} ), \end{align*} $

即, 当$n=k+1$时, 不等式(3)成立.故对于一切自然数$n$, 若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸函数, 则不等式(3)成立.

$r<0$时, 同理可证不等式(3)仍然成立.故定理的前半部分成立.

同样的方法可证明:若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凹函数, 则不等式(3)中的不等号反向, 所以定理的后半部分成立.

关于定理9, 它的一个等价形式如下.

定理10    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}^+}, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, r\in {{\bf R}}, r\ne 0$, 且$\forall x_i \in {{\bf I}}, \forall q_i \in {{\bf R}}^{ {\bf +}}(i=1, 2, \cdots , n)$, 若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数, 则

$ \begin{align*} &f\Big( {M_n^{[1]} \Big( {\dfrac{q_1 }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }, \dfrac{q_2 }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }, \cdots, \dfrac{q_n }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n };x_1 x_2, \cdots, x_n } \Big)}\Big) \\ \le& (\ge )\overline {M_n^{[r]} } \Big( \Big( {\dfrac{q_1 }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }} \Big)^s, \Big( {\dfrac{q_2 }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }} \Big)^s, \cdots, \Big( {\dfrac{q_n }{q_1 +q_2 +\cdots +q_n }} \Big)^s;\\ &~f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_n ) \Big). \end{align*} $

特别地, 如果$q_1 =q_2 =\cdots =q_n $, 则有

推论    设${{\bf I}}\subseteq {{\bf R}^+}, s\in (0, 1], f:{{\bf I}}\to {{\bf R}}^+, r\in {{\bf R}}, r\ne 0$, 且$\forall x_i \in {{\bf I}}$ $(i=1, 2, \cdots, n)$, 若$f(x)$${{\bf I}}$上的$A\overline M (s)$-凸(凹)函数, 则

$ \begin{align*} f\Big( {M_n^{[1]}\Big( {\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n}, \cdots , \dfrac{1}{n};x_1, x_2, \cdots, x_n }\Big)} \Big)\le (\ge )& \overline {M_n^{[r]} } \Big( \Big( {\dfrac{1}{n}} \Big)^s, \Big( {\dfrac{1}{n}} \Big)^s, \cdots, \Big( {\dfrac{1}{n}}\Big)^s; \\ &f(x_1 ), f(x_2 ), \cdots, f(x_n ) \Big). \end{align*} $
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