0 引言

自Gardner, Green, Kruskal, Miüra发现了反散射变换以来, 一直到20世纪90年代, 反散射变换几乎只是用来分析纯初值问题, 但是在现实自然界中, 越来越多的自然现象需要考虑边值条件, 这样就自然地需要考虑初边值问题来取代初值问题. 1997年, Fokas^[1]基于反散射变换的思想首次提出了统一变换方法, 很好地求解了可积方程的初边值问题.在过去的20年里, 该方法已经用来分析了一些具有$ 2\times2 $矩阵Lax对的重要可积方程的初边值问题^[2-5].就像全直线上的反散射方法一样, Fokas方法也是将初边值问题的解表示成相应的Riemann-Hilbert问题的解. 2012年, Lenells^[6]首次将此方法推广到$ 3\times3 $矩阵可积方程, 并且研究了Degasperis-Procesi方程在半直线上的初边值问题^[7].在这之后, 越来越多的学者开始关注Riemann-Hilbert问题, 使得许多与高阶矩阵谱问题相关的可积方程初边值问题得以研究, 比如, Novikov方程^[8]、Sasa-Stsuma方程^[9]、耦合NLS方程等^[11-12], 作者在这方面也做了一些工作^[13-16].

众所周知, 非线性薛定谔方程

$ \begin{align} {\rm i}q_{t}+q_{xx}+2|q|^2q = 0 \end{align} $

(1)

是描述非线性光纤、水波、等离子体中孤子传输的一个重要可积系统.在文献[17]中, 高阶非线性薛定谔方程, 也就是Sasa-Satsuma方程

$ \begin{align} u_{t}+u_{xxx}+6|u|^2u_{x}+3u(|u|^2)_x = 0 \end{align} $

(2)

也描述了超短光脉冲的传播特性.近来, Geng和Wu^[18]提出了新的广义Sasa-Satsuma方程

$ \begin{align} u_{t}+u_{xxx}-6a|u|^2u_{x}-6bu^2u_{x}-3au(|u|^2)_x-3b^*u^*(|u|^2)_x = 0, \end{align} $

(3)

其中$ a\in {\mathbb{R}}, b\in {\mathbb{C}} $, 且$ a^2\neq|b|^2 $, 并用Riemann-Hilbert方法得到了其$ N $-孤子解.本文中, 我们基于前人的工作, 运用Fokas统一变换方法研究广义Sasa-Satsuma方程在半直线$ \Omega = \{(x, t):0<x<\infty, 0<t<T\} $上的初边值问题, 其初值和边值条件定义为

$ \begin{align} u_0(x) = u(x, t = 0);\, q_0(t) = u(x = 0, t);\, q_1(t) = u_{x}(x = 0, t), q_2(t) = u_{xx}(x = 0, t). \end{align} $

(4)

本文结构如下：在第1节中, 定义了Lax对的两类特征函数$ \Phi_j\, (j = 1, 2, 3) $和$ H_n\, (n = 1, 2, 3, 4) $用来进行谱分析; 在第2节中, 我们证明了方程的解$ u(x, t) $可以由$ 3\times 3 $矩阵Riemann-Hilbert问题重建.

1 谱分析

考虑广义Sasa-Satsuma方程(3)的$ 3\times 3 $矩阵Lax对

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{l} \Psi_x = U\Psi = ({\rm i}\lambda\sigma+Q)\Psi, \\ \Psi_t = V\Psi = (4{\rm i}\lambda^3\sigma+4\lambda^2 Q+2{\rm i}\lambda(Q^2+Q_x)\sigma \\ +Q_xQ-QQ_x-Q_{xx}+2Q^3)\Psi. \end{array}\right. \end{align} $

(5)

其中: $ \Psi = \Psi(x, t, \lambda) $是一个$ 3\times 3 $矩阵或者$ 3\times 1 $列向量谱函数; $ \lambda\in {\mathbb{C}} $是一个等谱参数; $ 3\times 3 $矩阵$ \sigma $和$ Q $定义如下

$ \begin{align} \begin{array}{l} \sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{array} \right), Q = \left(\begin{array}{ccc} 0&0&u\\ 0&0&u^*\\ au^*+bu&au+b^*u^*&0\end{array} \right). \end{array} \end{align} $

(6)

事实上, Lax对方程(5)可以写成

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{l} \Psi_x-{\rm i}\lambda\sigma = F\Psi, \\ \Psi_t-4{\rm i}\lambda^3\sigma = G\Psi. \end{array}\right. \end{align} $

(7)

其中: $ F = Q; G = 4\lambda^2 Q+2{\rm i}\lambda(Q^2+Q_x)\sigma+Q_xQ-QQ_x-Q_{xx}+2Q^3. $

假设$ u(x, t) $在半直线区域$ \Omega $内充分光滑, 并且当$ x\rightarrow\infty $时快速衰减, 由

$ \begin{align} \Psi(x, t, \lambda) = \Phi(x, t, \lambda){\rm e}^{{\rm i}(\lambda\sigma x+4\lambda^3\sigma t)} \end{align} $

(8)

引入一个新的特征函数$ \Phi = \Phi(x, t, \lambda) $, 则相应的Lax对方程(7)变为

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{l} \Phi_x-{\rm i}\lambda[\sigma, \Phi] = F\Phi, \\ \Phi_t-{\rm i}\lambda^3[\sigma, \Phi] = G\Phi.\\ \end{array}\right. \end{align} $

(9)

因此, 方程(9)可以写成如下的全微分形式

$ \begin{align} {\mathrm{d}}({{\rm e}}^{-({{\rm i}}\lambda\hat\sigma x+ 4{{\rm i}}\lambda^3\hat\sigma t)}\Phi) = W(x, t, \lambda), \end{align} $

(10)

其中$ W(x, t, \lambda) $定义如下

$ \begin{align} W(x, t, \lambda) = {\rm e}^{-({\rm i}\lambda x+2{\rm i}\lambda^2t)\hat\sigma}(F\mathrm{d}x+G\mathrm{d}t)\Phi. \end{align} $

(11)

这里的$ \hat\sigma $是一个作用于$ 3\times 3 $矩阵的矩阵算子, 作用结果为：$ \hat\sigma Z = [\sigma, Z] $和$ {\rm e}^{\hat\sigma}Z = {\rm e}^{\sigma}Z{\rm e}^{-\sigma} $.

1.1 特征函数

由Volterra积分方程定义(9)的3个特征函数$ \{\Phi_j(x, t, \lambda)\}_1^3 $为

$ \begin{align} \Phi_j(x, t, \lambda) = {\rm I}+\int_{\gamma_j}{\rm e}^{({\rm i}\lambda x+2{\rm i}\lambda^2t)\hat\sigma}W_j(x, t, \lambda), \quad j = 1, 2, 3. \end{align} $

(12)

其中: I是一个$ 3\times3 $单位矩阵; $ W_j $由方程(11)定义, 只是用$ \Phi_j $代替了那里的$ \Phi $; $ \{\gamma_j\}_1^3 $是3条光滑曲线, 如图 1所示.

假设$ [\Phi_j]_k $是$ \Phi_j $的第$ k $列向量, 由方程(12)得到$ \Phi_j(x, t, \lambda) $的第一、二、三列分别含有如下的指数项

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{[\Phi_j]}_{1}:\, {\rm e}^{-2{\rm i}\lambda(x-\xi)-8{\rm i}\lambda^3(t-\tau)};\, {[\Phi_j]}_{2}:\, {\rm e}^{-2{\rm i}\lambda(x-\xi)-8{\rm i}\lambda^3(t-\tau)};} \hfill \\ {{[\Phi_j]}_{3}:\, {\rm e}^{2{\rm i}\lambda(x-\xi)+8{\rm i}\lambda^3(t-\tau)}, \, {\rm e}^{2{\rm i}\lambda(x-\xi)+8{\rm i}\lambda^3(t-\tau)}.} \hfill \\ \end{array}} \right. $

(13)

同时, 在曲线上有如下的不等式

$ \begin{align} \gamma_1:\, x-\xi\geqslant 0, \, t-\tau\leqslant 0;\quad \gamma_2:\, x-\xi\geqslant 0, \, t-\tau\geqslant 0;\quad \gamma_3:\, x-\xi\leqslant 0. \end{align} $

(14)

为了得到$ \{\Phi_j(x, t, \lambda)\}_1^3 $在复$ \lambda $-平面上的有界解析区域, 我们用$ {\rm Im}{({\rm i}\lambda)} = 0 $和$ {\rm Im}{({\rm i}\lambda^3)} = 0 $把复$ \lambda $-平面划分为四个区域(如图 2):

$ \begin{align*} & D_1 = \Big\{\lambda\in {\mathbb{C}}\Big|{\rm arg} \lambda\in\Big(0, \frac{\pi}{3}\Big)\cup\Big(\frac{2\pi}{3}, \pi\Big)\Big\}, \quad D_2 = \Big\{\lambda\in {\mathbb{C}}\Big|{\rm arg} \lambda\in\Big(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\Big)\Big\}, \\ &D_3 = \Big\{\lambda\in {\mathbb{C}}\Big|{\rm arg} \lambda\in\Big(\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\Big)\Big\}, \quad D_4 = \Big\{\lambda\in {\mathbb{C}}\Big|{\rm arg} \lambda\in\Big(\pi, \frac{4\pi}{3}\Big)\cup\Big(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\Big)\Big\}. \end{align*} $

不难发现特征函数$ \{\Phi_j(x, t, \lambda)\}_1^3 $的有界解析区域分别为

$ \begin{align} \Phi_1:\, \lambda\in(D_3, D_3, D_2), \, \Phi_2:\, \lambda\in(D_4, D_4, D_1), \, \Phi_3:\, \lambda\in(C_{+}, C_{+}, C_{-}), \end{align} $

(15)

其中$ \{D_n\}_1^4 $表示四个开的、互不相交的复$ \lambda $-平面内的子集, 而$ C_{+} = D_1\cup D_2 $和$ C_{-} = D_3\cup D_4 $分别为复$ \lambda $-平面的上、下半平面, 如图 2所示.并且, 这些集合$ \{D_n\}_1^4 $有如下的性质:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1} = \{ \lambda \in {\mathbb{C}}|{\rm{Re}}\;{a_1} = {\rm{Re}}\;{a_2} < {\rm{Re}}\;{a_3},{\mkern 1mu} {\rm{Re}}\;{b_1} = {\rm{Re}}\;{b_2} < {\rm{Re}}\;{b_3}\} ,}\\ {{D_2} = \{ \lambda \in {\mathbb{C}}|{\rm{Re}}\;{a_1} = {\rm{Re}}\;{a_2} < {\rm{Re}}\;{a_3},{\mkern 1mu} {\rm{Re}}\;{b_1} = {\rm{Re}}\;{b_2} > {\rm{Re}}\;{b_3}\} ,}\\ {{D_3} = \{ \lambda \in {\mathbb{C}}|{\rm{Re}}\;{a_1} = {\rm{Re}}\;{a_2}{\rm{ > Re}}\;{a_3},{\mkern 1mu} {\rm{Re}}\;{b_1} = {\rm{Re}}\;{b_2} < Re\;{b_3}\} ,}\\ {{D_4} = \{ \lambda \in {\mathbb{C}}|{\rm{Re}}\;{a_1} = {\rm{Re}}\;{a_2}{\rm{ > Re}}\;{a_3},{\mkern 1mu} {\rm{Re}}\;{b_1} = {\rm{Re}}\;{b_2}{\rm{ > Re}}\;{b_3}\} ,} \end{array}} \right.$

(16)

其中$ a_k(\lambda) $和$ b_k(\lambda) $分别是$ 3\times 3 $矩阵$ {\rm i}\lambda\sigma $和$ 4{\rm i}\lambda^3\sigma $的对角线元素.

实际上, 对于$ x = 0 $, $ \Phi_1(0, t, \lambda) $有更大的有界解析区域$ (D_1\cup D_3, D_1\cup D_3, D_2\cup D_4) $, $ \Phi_2(0, t, \lambda) $有更大的有界解析区域$ (D_2\cup D_4, D_2\cup D_4, D_1\cup D_3) $.

对任一$ n = 1, 2, 3, 4 $, 由下面的积分方程定义方程(9)的一个解$ H_n(x, t, \lambda) $:

$ \begin{align} (H_n(x, t, \lambda))_{ij} = \delta_{ij}+\int_{\gamma_{ij}^n}({\rm e}^{({\rm i}\lambda x+4{\rm i}\lambda^3t)\hat\sigma}W_n(\xi, \tau, \lambda))_{ij}, \quad i, j = 1, 2, 3, \end{align} $

(17)

其中$ W_n(x, t, \lambda) $由式(11)给定, 只是用$ H_n(x, t, \lambda) $代替那里的$ \Phi(x, t, \lambda) $, 曲线$ \gamma_{ij}^n (n = 1, 2, 3, 4;i, j = 1, 2, 3) $的定义如下

$ \begin{align} \gamma_{ij}^n = \left\{\!\!\begin{array}{l} \gamma_1, \, \mbox{如果} \, {\rm Re}\; a_i(\lambda)<{\rm Re}\; a_j(\lambda) \, \mbox{且} \, {\rm Re}\; b_i(\lambda)\geqslant {\rm Re}\; b_j(\lambda), \\ \gamma_2, \, \mbox{如果} \, {\rm Re}\; a_i(\lambda)<{\rm Re}\; a_j(\lambda) \, \mbox{且} \, {\rm Re}\; b_i(\lambda)<{\rm Re}\; b_j(\lambda), \lambda\in D_n, \\ \gamma_3, \, \mbox{如果} \, {\rm Re}\; a_i(\lambda) \geqslant {\rm Re}\; a_j(\lambda). \end{array}\right. \end{align} $

(18)

按照$ \gamma^n $的定义, 有

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma ^1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _2}}\\ {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _2}}\\ {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _3}} \end{array}} \right),\quad {\gamma ^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _1}}\\ {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _1}}\\ {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _3}} \end{array}} \right),}\\ {{\gamma ^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}\\ {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}\\ {{\gamma _1}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _3}} \end{array}} \right),\quad {\gamma ^4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}\\ {{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}&{{\gamma _3}}\\ {{\gamma _2}}&{{\gamma _2}}&{{\gamma _3}} \end{array}} \right).} \end{array}} \right.$

(19)

下面的命题保证了上述定义的$ H_n $具有可以表示为一个Rimann-Hilbert问题的性质.

命题 1.1  对于每一个$ n = 1, 2, 3, 4 $, $ \lambda\in D_n $和$ (x, t)\in\Omega $, 方程(17)定义的函数$ \{H_n(x, t, \lambda)\}_1^4 $有意义.对于任一固定的点$ (x, t) $, $ H_n $作为一个$ \lambda\in D_n $除去一些奇异的离散点集$ \{\lambda_j\} $(在这些集合上Fredholm行列式等于0)外的函数是有界解析的.同时, $ H_n(x, t, \lambda) $可以有界连续到$ \overline{D}_n $, 并且满足

$ \begin{align} H_n(x, t, \lambda) = {\rm I}+O\Big(\frac{1}{\lambda}\Big), \quad \lambda\in D_n, \quad \lambda\rightarrow\infty, \quad n = 1, 2, 3, 4. \end{align} $

(20)

证    明  相关的有界解析性质在文献[6]的附录B中已给出.将下面的展开式

$ \begin{align*} H = H_0+\frac{H^{(1)}}{\lambda}+\frac{H^{(2)}}{\lambda^2}+\cdots, \quad \lambda\rightarrow\infty, \end{align*} $

代入到Lax对方程(9)中并比较$ \lambda $的相同次幂的项就可以得到式(20).

1.2 共轭特征函数

我们还需要分析矩阵值函数$ \{\Phi_j(x, t, \lambda)\}_1^3 $余子式的有界解析性质.回顾一个$ 3\times3 $矩阵$ Z $的余子式矩阵$ Z^A $定义为

$ Z^A = \left(\begin{array}{ccc} m_{11}(Z)&-m_{12}(Z)&m_{13}(Z)\\ -m_{21}(Z)&m_{22}(Z)&-m_{23}(Z)\\ m_{31}(Z)&-m_{32}(Z)&m_{33}(Z) \end{array} \right), $

其中$ m_{ij}(Z) $表示$ 3\times3 $矩阵$ Z $的$ (i, j) $元素的余子式.由方程(9)知共轭特征函数$ \mu^A(x, t, \lambda) $满足

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{l} \Phi_x^A+{\rm i}\lambda[\sigma, \Phi^A] = -F^{\rm T}\Phi^A, \\ \Phi_t^A+4{\rm i}\lambda^3[\sigma, \Phi^A] = -G^{\rm T}\Phi^A, \\ \end{array}\right. \end{align} $

(21)

其中$ {\rm T} $表示转置.于是, 特征函数$ \Phi_j\, (j = 1, 2, 3) $是如下积分方程的解

$ \begin{align} \Phi_j^A(x, t, \lambda) = {\rm I}-\int_{\gamma_j}{\rm e}^{-({\rm i} \lambda(x-\xi)-4{\rm i}\lambda^3(t-\tau))\hat\sigma} (F^{\rm T}{\rm d}\xi+G^{\rm T}{\rm d}\tau), \quad j = 1, 2, 3. \end{align} $

(22)

然后可得到共轭特征函数如下的有界解析性质

$ \begin{align} \Phi_1^A : \lambda\in(D_2, D_2, D_3), \, \Phi_2^A :\, \, \lambda\in(D_1, D_1, D_4), \, \Phi_3^A :\, \, \lambda\in(C_{-}, C_{-}, C_{+}). \end{align} $

(23)

实际上, 对于$ x = 0 $, $ \Phi_1^A(0, t, \lambda) $有更大的有界解析区域$ (D_2\cup D_4, D_2\cup D_4, D_1\cup D_3) $, $ \Phi_2^A(0, t, \lambda) $有更大的有界解析区域$ (D_1\cup D_3, D_1\cup D_3, D_2\cup D_4) $.

1.3 跳跃矩阵与计算

新的谱函数$ S_n(\lambda)\, (n = 1, 2, 3, 4) $定义为

$ \begin{align} S_n(\lambda) = H_n(0, 0, \lambda), \quad \lambda\in D_n, n = 1, 2, 3, 4. \end{align} $

(24)

假设$ M(x, t, \lambda) $表示复$ \lambda $-平面的分块解析连续函数, 即当$ \lambda\in D_n $时, $ H(x, t, \lambda) = H_n(x, t, \lambda) $.于是$ H(x, t, \lambda) $满足如下的跳跃条件

$ \begin{align} H_n(x, t, \lambda) = H_m(x, t, \lambda)J_{m, n}(x, t, \lambda), \lambda\in \bar D_n\cup \bar D_m, \, n, m = 1, 2, 3, 4, \, n\neq m, \end{align} $

(25)

其中$ J_{m, n}(x, t, \lambda) $为跳跃矩阵, 满足如下关系

$ \begin{align} J_{m, n}(x, t, \lambda) = {\rm e}^{({\rm i}\lambda x+4{\rm i}\lambda^3t)\hat\sigma}(S_m^{-1}(\lambda)S_n(\lambda)). \end{align} $

(26)

此外, 由$ \{\Phi_j\}_1^3 $定义$ 3\times3 $矩阵值函数$ s(\lambda) $和$ S(\lambda) $如下

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Phi_3(x, t, \lambda) = \Phi_2(x, t, \lambda){\rm e}^{({\rm i}\lambda x+4{\rm i}\lambda^3t)\hat\sigma} s(\lambda), } \hfill \\ {\Phi_1(x, t, \lambda) = \Phi_2(x, t, \lambda){\rm e}^{({\rm i}\lambda x+4{\rm i}\lambda^3t)\hat\sigma} S(\lambda).} \end{array}} \right. $

(27)

由于$ \Phi_2(0, 0, \lambda) = {\rm I} $, 分别计算方程(27)在$ (x, t) = (0, 0) $和$ (x, t) = (0, T) $的值, 我们有

$ \begin{align} s(\lambda) = \Phi_3(0, 0, \lambda), \quad S(\lambda) = \Phi_1(0, 0, \lambda) = {\rm e}^{-2{\rm i}\lambda^2T\hat\sigma}\Phi_2^{-1}(0, T, \lambda). \end{align} $

(28)

按照式(12)中$ \Phi_j $的定义, 方程(28)意味着

$ \begin{align*} &s(\lambda) = {\rm I}-\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-{\rm i}\lambda \xi\hat\sigma}(F\Phi_3)(\xi, 0, \lambda){\rm d}\xi, \\ &S(\lambda) = {\rm I}-\int_{0}^{T}{\rm e}^{-4{\rm i}\lambda^3\tau\hat\sigma}(G\Phi_1)(0, \tau, \lambda){\rm d}\tau = \Big[{\rm I}+\int_{0}^{T}{\rm e}^{-4{\rm i}\lambda^3\tau\hat\sigma}(G\Phi_2)(0, \tau, \lambda){\rm d}\tau\Big]^{-1}, \end{align*} $

其中$ \{\Phi_j(0, t, \lambda)\}_1^2 $和$ \Phi_3(x, t, \lambda) (0<x<\infty, 0<t<T) $满足Volterra积分方程:

$ \begin{align*} &\Phi_1(0, t, \lambda) = {\rm I}-\int_{t}^{T}{\rm e}^{4{\rm i}\lambda^3(t-\tau)\hat\sigma}(G\Phi_1)(0, \tau, \lambda){\rm d}\tau, \lambda\in(D_1\cup D_3, D_1\cup D_3, D_2\cup D_4), \\ &\Phi_2(0, t, \lambda) = {\rm I}+\int_{0}^{T}{\rm e}^{4{\rm i}\lambda^3(t-\tau)\hat\sigma}(G\Phi_2)(0, \tau, \lambda){\rm d}\tau, \lambda\in(D_2\cup D_4, D_2\cup D_4, D_1\cup D_3), \\ &\Phi_3(x, 0, \lambda) = {\rm I}-\int_{x}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}\lambda(x-\xi)\hat\sigma}(F\Phi_3)(\xi, 0, \lambda){\rm d}\xi, \lambda\in(C_{+}, C_{+}, C_{-}). \end{align*} $

由$ \{\Phi_j\}_1^3 $和$ \{\Phi_j^A\}_1^3 $的性质可得$ \{s(\lambda), S(\lambda)\} $和$ \{s^A(\lambda), S^A(\lambda)\} $有如下的有界解析性质:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {s(\lambda): \lambda\in(C_{+}, C_{+}, C_{-}), \quad S(\lambda): \lambda\in(D_1\cup D_3, D_1\cup D_3, D_2\cup D_4), } \hfill \\ {s^A(\lambda): \lambda\in(C_{-}, C_{-}, C_{+}), \quad S^A(\lambda): \lambda\in(D_2\cup D_4, D_2\cup D_4, D_1\cup D_3).} \end{array}} \right. $

(29)

并且

$ \begin{align} H_n(x, t, \lambda) = \Phi_2(x, t, \lambda){\rm e}^{({\rm i}\lambda x +4{\rm i}\lambda^3t)\hat\sigma} S_n(\lambda), \quad \lambda\in D_n. \end{align} $

(30)

命题 1.2^{[6, 13-16]}  由方程(30)定义的$ S_n(\lambda) $可以用$ s(\lambda) $和$ S(\lambda) $的元素表示如下:

$ \begin{align} \begin{array}{l} S_1(\lambda) = \left(\begin{array}{ccc} s_{11} & s_{12}&0\\ s_{21} & s_{22}&0\\ s_{31} & s_{32}&\frac{1}{m_{33}(s)} \end{array} \right), \quad S_2(\lambda) = \left(\begin{array}{ccc} s_{11} & s_{12}&\frac{S_{13}}{(S^{\rm T}s^A)_{33}}\\ s_{21} & s_{22}&\frac{S_{23}}{(S^{\rm T}s^A)_{33}}\\ s_{31} & s_{32}&\frac{S_{33}}{(S^{\rm T}s^A)_{33}} \end{array} \right), \hfill \\ S_3(\lambda) = \left(\begin{array}{ccc} S_{11}^{(3)} & S_{12}^{(3)} & s_{13}\\ S_{21}^{(3)}& S_{22}^{(3)} & s_{23}\\ S_{31}^{(3)} & S_{32}^{(3)}& s_{33} \end{array} \right), \quad S_4(\lambda) = \left(\begin{array}{ccc} \frac{m_{22}(s)}{s_{33}}&\frac{m_{21}(s)}{s_{33}} & s_{13}\\ \frac{m_{12}(s)}{s_{33}}&\frac{m_{11}(s)}{s_{33}} & s_{23}\\ 0&0 & s_{33} \end{array}\right). \end{array} \end{align} $

(31)

其中

$ \begin{align*} &S_{11}^{(3)} = \frac{m_{22}(s)m_{33}(S)-m_{32}(s)m_{23}(S)}{(s^{\rm T}S^A)_{33}}, \quad S_{12}^{(3)} = \frac{m_{21}(s)m_{33}(S)-m_{31}(s)m_{23}(S)}{(s^{\rm T}S^A)_{33}}, \\ &S_{21}^{(3)} = \frac{m_{12}(s)m_{33}(S)-m_{32}(s)m_{13}(S)}{(s^{\rm T}S^A)_{33}}, \quad S_{22}^{(3)} = \frac{m_{11}(s)m_{33}(S)-m_{31}(s)m_{13}(S)}{(s^{\rm T}S^A)_{33}}, \\ &S_{31}^{(3)} = \frac{m_{12}(s)m_{23}(S)-m_{22}(s)m_{13}(S)}{(s^{\rm T}S^A)_{33}}, \quad S_{32}^{(3)} = \frac{m_{11}(s)m_{23}(S)-m_{21}(s)m_{13}(S)}{(s^{\rm T}S^A)_{33}}. \end{align*} $

这里$ (S^{\rm T}s^A)_{33} $和$ (s^{\rm T}S^A)_{33} $分别为

$ \begin{align*} (S^{\rm T}s^A)_{33} = S_{13}m_{13}(s)-S_{23}m_{23}(s)+S_{33}m_{33}(s), \\ (s^{\rm T}S^A)_{33} = s_{13}m_{13}(S)-s_{23}m_{23}(S)+s_{33}m_{33}(S). \end{align*} $

1.4 留数条件

由于$ \Phi_2(x, t, \lambda) $是全纯函数, 由方程(30)知$ H(x, t, \lambda) $仅在$ S_n(\lambda) $产生奇异的地方有奇异.从精确表达式(31)可知, $ H(x, t, \lambda) $可能出现的奇异情况如下.

假设 1.3  假设

$ \bullet\; m_{33}(s)(\lambda) $在$ D_1 $内有$ n_0\geqslant0 $个可能的单零点, 记为$ \{\lambda_j\}_{1}^{n_0} $;

$ \bullet\; (S^{\rm T}s^A)_{33}(\lambda) $在$ D_2 $内有$ n_1-n_0\geqslant0 $个可能的单零点, 记为$ \{\lambda_j\}_{n_0+1}^{n_1} $;

$ \bullet\; (s^{\rm T}S^A)_{33}(\lambda) $在$ D_3 $内有$ n_2-n_1\geqslant0 $个可能的单零点, 记为$ \{\lambda_j\}_{n_1+1}^{n_2}; $

$ \bullet \; s_{33}(\lambda) $在$ D_4 $内有$ N-n_2\geqslant 0 $个可能的单零点, 记为$ \{\lambda_j\}_{n_2+1}^{N}. $

且上面的零点互不相同, 同时假设$ m_{33}(s)(\lambda) $, $ (S^{\rm T}s^A)_{33}(\lambda) $, $ (s^{\rm T}S^A)_{33}(\lambda) $, $ s_{33}(\lambda) $在$ D_n\, (n = 1, 2, 3, 4) $的边界上没有零点.在这些零点的留数条件由下列命题给出.

命题 1.4  假设$ \{H_n(x, t, \lambda)\}_1^4 $是由式(17)定义的特征函数, 且奇异集$ \{\lambda_j\}_1^N $如上面的假设所述, 于是, 有如下的留数关系成立:

$ \begin{align} {\rm Res}_{\lambda = \lambda_j}[H_1]_3 = \frac{s_{12}(\lambda_j)[H(\lambda_j)]_1-s_{11}(\lambda_j)[H(\lambda_j)]_2}{\dot{m_{33}(s)(\lambda_j)}m_{23}(s)(\lambda_j)} {\rm e}^{\theta_{31}(\lambda_j)} , \quad 1\leqslant j\leqslant n_0, \quad\lambda_j\in D_1. \end{align} $

(32)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {\rm{Re}}{{\rm{s}}_{\lambda = {\lambda _j}}}{[{H_2}]_3} = \frac{{{s_{32}}({\lambda _j}){S_{13}}({\lambda _j}) - {s_{32}}({\lambda _j}){S_{33}}({\lambda _j})}}{{\mathop {{{({S^{\rm{T}}}{s^A})}_{33}}({\lambda _j})}\limits^. {m_{23}}(s)({\lambda _j})}}{{\rm{e}}^{{\theta _{31}}({\lambda _j})}}{[H({\lambda _j})]_1}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \frac{{{s_{11}}({\lambda _j}){S_{32}}({\lambda _j}) - {s_{31}}({\lambda _j}){S_{13}}({\lambda _j})}}{{\mathop {{{({S^{\rm{T}}}{s^A})}_{33}}({\lambda _j})}\limits^. {m_{23}}(s)({\lambda _j})}}{{\rm{e}}^{{\theta _{31}}({\lambda _j})}}{[H({\lambda _j})]_2}, \end{array}\\ {{n_0} + 1 \le j \le {n_1}, \quad {\lambda _j} \in {D_2}.} \end{array}} \right.$

(33)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm Res}_{\lambda = \lambda_j}[H_3]_1 = \frac{m_{12}(s)(\lambda_j) m_{33}(S)(\lambda_j)-m_{32}(s)(\lambda_j)m_{13}(S)(\lambda_j)}{\dot{(s^{\rm T}S^A)_{33}(\lambda_j)}s_{23}(\lambda_j)} {\rm e}^{\theta_{13}(\lambda_j)}[H(\lambda_j)]_3 , \\ n_1+1\leqslant j\leqslant n_2, \quad\lambda_j\in D_3. \end{array}} \right. $

(34)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm Res}_{\lambda = \lambda_j}[H_3]_2 = \frac{m_{21}(s) (\lambda_j)m_{33}(S)(\lambda_j)-m_{31}(s)(\lambda_j)m_{23}(S) (\lambda_j)}{\dot{(s^{\rm T}S^A)_{33}(\lambda_j)}s_{13}(\lambda_j)} {\rm e}^{\theta_{13}(\lambda_j)}[H(\lambda_j)]_3 , \\ n_1+1\leqslant j\leqslant n_2, \quad\lambda_j\in D_3. \end{array}} \right. $

(35)

$ \begin{align} {\rm Res}_{\lambda = \lambda_j}[H_4]_1 = \frac{m_{12}(s)(\lambda_j)}{\dot{s_{33}(\lambda_j)}s_{23}(\lambda_j)}{\rm e}^{\theta_{13}(\lambda_j)}[H(\lambda_j)]_3 , \quad n_2+1\leqslant j\leqslant N, \quad\lambda_j\in D_4. \end{align} $

(36)

$ \begin{align} {\rm Res}_{\lambda = \lambda_j}[H_4]_2 = \frac{m_{12}(s)(\lambda_j)}{\dot{s_{33}(\lambda_j)}s_{13}(\lambda_j)}{\rm e}^{\theta_{13}(\lambda_j)}[H(\lambda_j)]_3 , \quad n_2+1\leqslant j\leqslant N, \quad\lambda_j\in D_4. \end{align} $

(37)

其中: $ \dot{f} = \frac{{\rm d}f}{{\rm d}\lambda} $; $ \theta_{ij} $表示为

$ \begin{align} \theta_{ij}(x, t, \lambda) = (a_i-a_j)x-(b_i-b_j)t, \quad i, j = 1, 2, 3. \end{align} $

(38)

证    明  这里我们只证明式(32), 而式(33)-(37)可以类似证明.由式(30)知

$ \begin{align} H_1(x, t, \lambda) = \Phi_2(x, t, \lambda){\rm e}^{({\rm i}\lambda x+4{\rm i}\lambda^3t)\hat\sigma} S_1(\lambda), \quad \lambda\in D_1. \end{align} $

(39)

再结合式(31)中给出的$ S_1(\lambda) $, 我们得到式(39)的3列分别为

$ \begin{align} {[H_1]}_{1} = {[\Phi_2]}_{1}s_{11}+{[\Phi_2]}_{2}s_{21}{\rm e}^{\theta_{21}}+{[\Phi_2]}_{3}s_{31}{\rm e}^{\theta_{31}}, \end{align} $

(40)

$ \begin{align} {[H_1]}_{2} = {[\Phi_2]}_{1}s_{12}{\rm e}^{\theta_{12}}+{[\Phi_2]}_{2}s_{22}+{[\Phi_2]}_{3}s_{32}{\rm e}^{\theta_{32}}, \end{align} $

(41)

$ \begin{align} {[H_1]}_{3} = {[\Phi_2]}_{3}\frac{1}{m_{33}(s)}. \end{align} $

(42)

从式(40)和式(41)中解出$ {[\Phi_2]}_{1} $和$ {[\Phi_2]}_{3} $, 并且代入式(42)得到

$ \begin{align} {[H_1]}_{3} = \frac{s_{12}}{m_{33}(s)m_{23}(s)}{[H_1]}_{1}{\rm e}^{\theta_{31}} -\frac{s_{11}}{m_{33}(s)m_{23}(s)}{[H_1]}_{2}{\rm e}^{\theta_{31}} -\frac{1}{m_{23}(s)}{[\Phi_2]}_{2}{\rm e}^{\theta_{23}}. \end{align} $

(43)

在$ {\lambda}_{j} $处取留数, 就得到$ {\lambda}_{j}\in D_1 $的留数关系式(32).

1.5 全局关系

由方程(27)定义的谱函数$ S(\lambda) $和$ s(\lambda) $彼此之间并不是相互独立的, 而是满足一个重要的关系.事实上, 由式(27)得

$ \begin{align} \Phi_3(x, t, \lambda) = \Phi_1(x, t, \lambda){\rm e}^{({\rm i}\lambda x+4{\rm i}\lambda^3t)\hat\sigma} S^{-1}(\lambda)s(\lambda), \quad \lambda\in(C_{+}, C_{+}, C_{-}). \end{align} $

(44)

因为$ \Phi_1(0, t, \lambda) = {\rm I} $, 在$ (x, t) = (0, T) $处计算上式, 得到如下的全局关系

$ \begin{align} S^{-1}(\lambda)s(\lambda) = {\rm e}^{-4{\rm i}\lambda^3T\hat\sigma}c(T, \lambda), \quad \lambda\in(C_{+}, C_{+}, C_{-}), \end{align} $

(45)

其中$ c(T, \lambda) = \Phi_3(0, T, \lambda) = {\rm I}-\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}\lambda\xi\hat\sigma}(F\Phi_3)(0, T, \lambda){\rm d}{\xi}. $

2 Riemann-Hilbert问题

在上节中定义的分片连续函数$ H(x, t, \lambda) $满足一个与$ u(x, t) $的初边值数据有关的$ 3\times 3 $矩阵Riemann-Hilbert问题.通过解这个$ 3\times 3 $矩阵Riemann-Hilbert问题, 对于所有的$ (x, t) $可以重建方程(3)的解.因此, 我们有如下的结果.

定理 2.1  假设$ u(x, t) $是方程(3)在半直线区域$ \Omega = \{(x, t):0<x<\infty, 0<t<T \} $当$ x\rightarrow\infty $时具有充分光滑和快速衰减的解, 则$ u(x, t) $可以由初始数据$ u_0(x) $、边界数据$ \{q_0(t), q_1(t), q_2(t)\} $重建.利用初始数据和边界数据如式(27)定义谱函数$ s(\lambda) $和$ S(\lambda) $, 进而定义跳跃矩阵$ J_{m, n}(x, t, \lambda) $, 假设函数$ m_{33}(s)(\lambda) $, $ (S^Ts^A)_{33}(\lambda) $, $ (s^TS^A)_{33}(\lambda) $和$ s_{33}(\lambda) $的可能零点为$ \{\lambda_j\}_1^N $, 如假设1.3所述.则方程(3)的解$ u(x, t) $为

$ \begin{align} u(x, t) = 2{\rm i}\lim\limits_{\lambda\rightarrow\infty}[\lambda H(x, t, \lambda)]_{13}, \end{align} $

(46)

其中$ H(x, t, \lambda) $满足如下的$ 3\times 3 $矩阵Riemann-Hilbert问题:

$ \bullet\; H(x, t, \lambda) $是复$ \lambda $-平面上的分片解析函数, 其跳跃发生在$ \bar D_n\cup\bar D_m\, (n, m = 1, 2, 3, 4) $(如图 2).

$ \bullet $在曲线$ \bar D_n\cup\bar D_m(n, m = 1, 2, 3, 4) $上, $ H(x, t, \lambda) $有如下的跳跃关系

$ \begin{align} H_n(x, t, \lambda) = H_m\, (x, t, \lambda)J_{m, n}(x, t, \lambda), \quad \lambda\in \bar D_n\cup \bar D_m, \quad n\neq m. \end{align} $

(47)

$ \bullet\; H(x, t, \lambda) = {\rm I}+O(\frac{1}{\lambda}) , \lambda\rightarrow\infty. $

$ \bullet\; H(x, t, \lambda) $满足命题1.4的留数关系.

则$ H(x, t, \lambda) $存在并且唯一.

证    明  这里只需要证明式(46).该式可以由特征函数的大$ \lambda $渐近性质得到, 而该定理的其他部分可以用类似文献[9]的方法证明.