0 引言

近几十年来, 因为椭圆方程在几何学、电磁学、弹性力学、流体力学中都有着重要应用, 所以该选题一直都是学者们关注的重点内容.随着研究的不断深入, 带有变指数的偏微分模型走进了学者们的视野, 它主要来源于电流变流体^[1], 可以描述非Newton流体的热对流效应^[2]以及热动力学中的一些演化现象^[3], 非齐次媒质的热与物质交换^[4]等, 还可应用于力学^[5], 图像学^[6]等多方面.与常指数偏微分模型相比它具有更多的优势, 能够更为实际和精准地描述扩散过程.主要是因为指数$ p(x) $的非齐次物理特征影响状态变量$ u $, 即所谓的非标准增长条件.因此, 本文在加权常指数的Sobolev空间基础上, 考虑了将常指数推广为变指数的情形, 即在加权变指数Sobolev空间中研究一类带有退化强制项和零阶项的非线性$ p(x) $-Laplace方程

$ \begin{equation} \begin{cases} -\mathrm{div}\left(\dfrac{\omega(x)|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u} {(1+|u|)^{\gamma(x)}}\right)+g(x, u) = f, &x\in \Omega, \\ u = 0, &x\in \partial\Omega, \end{cases} \end{equation} $

(1)

其中$ \Omega\subset\mathbb{R}^N(N\geqslant2) $是具有Lipschitz边界$ \partial\Omega $的有界区域, $ \gamma(x)\in C(\overline{\Omega}) $, $ \gamma(x)\geqslant0 $, $ f $是$ L^1 (\Omega) $中的可测函数, $ \omega(x) $为权函数.此外, 我们始终假设:

$ \mathcal{A} $1: $ p(x)\in C(\overline{\Omega}) $, $ p^+: = \max\limits_{x\in\overline{\Omega}}p(x) $, $ p^-: = \min\limits_{x\in\overline{\Omega}}p(x) $满足$ 1<p^-\leqslant p^+<N $.另外, $ p(x) $满足log-Hölder连续性条件, 即对任意的$ x, y\in\Omega $, $ |x-y|\leqslant \dfrac{1}{2} $, 存在常数$ C>0 $, 使得

$ \begin{equation*} |p(x)-p(y)|\leqslant\frac{C}{-\log|x-y|}. \end{equation*} $

$ \mathcal{A} $2: $ g(x, s) $是一个Carathéodory函数, 并对任意的$ k\in \mathbb{R}^+ $, 有

$ \begin{equation} \sup\limits_{|s|\leqslant k}|g(x, s)| = h_k(x)\in L^1(\Omega). \end{equation} $

(2)

另外, 对几乎处处的$ x\in\Omega $和任意的$ s\in \mathbb{R} $, $ g $满足下面的符号条件

$ \begin{equation} g(x, s)\cdot s\geqslant 0. \end{equation} $

(3)

$ \mathcal{A} $3: (1) $ \omega\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega) $, $ \omega^{\frac{-1}{p(x)-1}}\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega) $, 其中$ L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega) $为局部可积空间;

(2) $ \omega^{-s(x)}\in L^1(\Omega) $, $ s(x)\in\left(\dfrac{N}{p(x)}, \infty\right)\cap\left[\dfrac{1}{p(x)-1}, \infty\right) $.

现在, 我们给出问题(1)熵解的定义.

定义0.1  称可测函数$ u\in W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega) $为问题(1)的一个熵解, 如果$ T_k(u)\in W^{1, p(x)}_0(\Omega, \omega) $, 并且对任何$ \varphi\in W^{1, p(x)}_0(\Omega, \omega)\cap L^\infty(\Omega) $, 有

$ \begin{equation} \int_\Omega \frac{\omega(x)|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u}{(1+|u|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_k(u-\varphi)\mathrm{d}x+\int_\Omega g(x, u)T_k(u-\varphi)\mathrm{d}x = \int_\Omega fT_k(u-\varphi)\mathrm{d}x. \end{equation} $

(4)

1 准备知识

本节中, 我们给出加权变指数Sobolev空间的一些相关知识, 更多细节请参见文献[7].

1.1 $ L^{p(x)}(\Omega, \omega) $空间

设$ \omega(x) $在$ \mathbb{R}^N $上是一个正的可测函数, 并且是几乎处处有限函数, 集合$ C_+(\overline{\Omega}) = \{\varsigma\in C(\overline{\Omega}): \min\limits_{x\in\overline{\Omega}}\varsigma(x)>1\} $.对任意的$ \varsigma\in C_+(\overline{\Omega}) $, 我们定义

$ \begin{equation*} \varsigma_+ = \sup\limits_{x\in\Omega}\varsigma(x), \quad \varsigma_- = \inf\limits_{x\in\Omega}\varsigma(x). \end{equation*} $

对任意的$ p\in C_+(\overline{\Omega}) $, 我们给出加权的变指数Lebesgue空间$ L^{p(x)}(\Omega, \omega) $, 它由所有满足以下形式的可测函数$ u(x) $组成:

$ \begin{equation*} \int_\Omega\omega(x)|u(x)|^{p(x)}\mathrm{d}x<\infty, \end{equation*} $

并赋予范数

$ \begin{equation*} \|u\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)} = \inf\bigg\{\lambda>0:\int_\Omega\omega(x)\left|\frac{u(x)}{\lambda}\right|^{p(x)}\leqslant1\bigg\}. \end{equation*} $

1.2 $ W^{k, p(x)}(\Omega, \omega) $空间

对任意的正整数$ k $, 记

$ \begin{equation*} W^{k, p(x)}(\Omega, \omega) = \{u\in L^{p(x)}(\Omega, \omega):D^\alpha u\in{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}, \ |\alpha|\leqslant k\}, \end{equation*} $

并赋予范数

$ \begin{equation*} \|u\|_{W^{k, p(x)}(\Omega, \omega)} = \sum\limits_{|\alpha|\leqslant k}\|D^\alpha u\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}. \end{equation*} $

1.3 常用不等式

如果我们记

$ \begin{equation*} \rho(u) = \int_\Omega\omega(x)|u|^{p(x)}\mathrm{d}x, \quad \forall\ u\in L^{p(x)}(\Omega, \omega), \end{equation*} $

那么

$ \begin{equation*} \min\{\|u\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}^{p^-}, \|u\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}^ {p^+}\} \leqslant \rho(u)\leqslant \max\{\|u\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}^{p^-}, \|u\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}^{p^+}\}. \end{equation*} $

1.4 指标$ p_s(x) $与$ p_s^*(x) $

对任意的$ p, s\in C_+(\overline{\Omega}) $, 设

$ \begin{equation*} p_s(x): = \frac{p(x)s(x)}{1+s(x)}<p(x), \end{equation*} $

其中$ s(x)\in\left(\dfrac{N}{p(x)}, \infty\right)\cap\left[\dfrac{1}{p(x)-1}, \infty\right) $.对任意的$ x\in \Omega $, 我们固定变指数的限制

$ \begin{equation*} p_s^*(x): = \begin{cases} \dfrac{p(x)s(x)N}{(s(x)+1)N-p(x)s(x)}, & N>p_s(x), \\ +\infty, & N\leqslant p_s(x). \end{cases} \end{equation*} $

1.5 加权变指数Sobolev空间的连续嵌入定理

设$ p, s\in C_+(\overline{\Omega}) $满足log-Hölder连续性条件.若$ r\in C_+(\overline{\Omega}) $且$ 1<r(x)\leqslant p_s^* $, 那么有如下连续嵌入

$ \begin{equation*} W^{1, p(x)}(\Omega, \omega)\hookrightarrow L^{r(x)}(\Omega). \end{equation*} $

当$ \inf\limits_{x\in\Omega}(p^*_s(x)-r(x))>0 $时, 嵌入是紧的.

1.6 Poincaré型不等式

设$ p\in C_+(\overline{\Omega}) $满足log-H$ \mathrm{\ddot{o}} $lder连续性条件, 则对任意的$ u\in C^\infty_0(\Omega) $, 估计式

$ \begin{equation*} \|u\|_{L^{p(x)}(\Omega)}\leqslant C\|\nabla u\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)} \end{equation*} $

成立, 其中常数$ C>0 $与$ u $无关.

1.7 截断函数$ T_k(s) $

一般情形下, 对于在$ \mathbb{R} $中的$ s $, $ k $, 其中$ k\geqslant0 $, 高度为$ k $的截断函数^[8] $ T_k(s) $定义为

$ \begin{equation*} T_k(s) = \max(-k, \min(k, s)) = \begin{cases} s, &\text{若}\ |s|<k, \\ k, &\text{若}\ s\geqslant k, \\ -k, &\text{若}\ s\leqslant -k. \end{cases} \end{equation*} $

鉴于其重要性以及为了直观起见, 我们给出它的简图.

2 熵解的存在性

定理2.1  假设$ \mathcal{A} $1—$ \mathcal{A} $3成立, $ f\in L^1(\Omega) $, 那么问题(1)至少存在一个熵解.

证明  我们将分5步完成证明(过程参见文献[9-11]).

第1步  逼近问题及先验估计.为了证明方程(1)解的存在性结果, 我们建立方程(1)的逼近问题

$ \begin{equation} \begin{cases} -\mathrm{div}\left(\dfrac{\omega(x)|\nabla u_n|^{p(x)-2}\nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\right)+g_n(x, u_n) = f_n, &x\in \Omega, \\ u_n = 0, &x\in \partial\Omega. \end{cases} \end{equation} $

(5)

这里, $ \{f_n\} $是$ L^\infty(\Omega) $中的函数序列且在$ L^1(\Omega) $中强收敛于$ f $. $ g_n(x, s) = T_n g(x, s) $, 且满足式(2)、式(3).由文献[12]的结果, 逼近问题(5)至少存在一个弱解$ u_n\in W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega) $, 且对任意的$ {v}\in W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega)\cap L^\infty(\Omega) $, 有

$ \begin{equation} \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla u_n|^{p(x)-2}\nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla v\mathrm{d}x+\int_\Omega g_n(x, u_n)v\mathrm{d}x = \int_\Omega f_nv\mathrm{d}x. \end{equation} $

(6)

接下来, 我们对逼近解序列$ \{u_n\} $做一些先验估计.对每一个$ k>0 $, 取$ T_k(u_n) $为(6)的一个检验函数, 我们有

$ \begin{equation} \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla u_n|^{p(x)-2}\nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_k(u_n)\mathrm{d}x+\int_\Omega g_n(x, u_n)T_k(u_n)\mathrm{d}x = \int_\Omega f_nT_k(u_n)\mathrm{d}x. \end{equation} $

(7)

现在要估计式(4), 注意到$ T_k(s) $与$ s $同号, 去掉式(7)左端第二个非负项, 可得

$ \begin{equation*} \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)}}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x\leqslant k\|f\|_{L^1(\Omega)}. \end{equation*} $

如果选取$ n>k $, 我们有

$ \begin{equation} \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)}}{k(1+k)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x\leqslant \|f\|_{L^1(\Omega)}. \end{equation} $

(8)

因此, 对所有$ k>0 $, 可得

$ \begin{equation} \int_\Omega\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)}\mathrm{d}x\leqslant k(1+k)^{\gamma^+}\|f\|_{L^1(\Omega)}. \end{equation} $

(9)

注意到式(8), 若$ k\geqslant 1 $, 那么

$ \begin{equation*} \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)}}{k(k+k)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x\leqslant \|f\|_{L^1(\Omega)}. \end{equation*} $

这样, 对于$ k\geqslant1 $, 我们有

$ \begin{equation} \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)}}{k^{\gamma^++1}}\mathrm{d}x\leqslant C\int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)}}{k^{\gamma(x)+1}}\mathrm{d}x\leqslant C\|f\|_{L^1(\Omega)}, \end{equation} $

(10)

其中$ C $是与$ n $无关的常数.由加权变指数空间中的Sobolev嵌入定理, 可知

$ \begin{equation*} W^{1, p(x)}_0(\Omega, \omega)\hookrightarrow L^{p^*_s(x)} (\Omega)\hookrightarrow L^{(p^*_s)^-}(\Omega). \end{equation*} $

其中

$ \begin{align*} (p^*_s)^- = \dfrac{p^-s^-N}{(s^-+1)N-p^-s^-}. \end{align*} $

注意到式(10), 并对$ k\geqslant 1 $, 我们有

$ \begin{align*} \|T_k(u_n)\|_{L^{(p^*_s)^-}(\Omega, \omega)} &\leqslant C\|\nabla T_k(u_n)\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}\\ &\leqslant C\left(\int_\Omega\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)}\mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{\beta}}\\ &\leqslant C\left(\|f\|_{L^1(\Omega)}k^{\gamma^++1}\right)^{\frac{1}{\beta}}, \end{align*} $

其中

$ \begin{equation*} \beta = \begin{cases} p^-, &\text{若}\ \|\nabla T_k(u_n)\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)} \geqslant1, \\ p^+, &\text{若}\ \|\nabla T_k(u_n)\|_{L^{p(x)}(\Omega, \omega)}\leqslant1. \end{cases} \end{equation*} $

我们将$ \Omega $分成$ \{|u_n|\geqslant k\} $与$ \{u_n<k\} $两部分.其中$ \{x\in \Omega\|u_n(x)|\geqslant k\} $简记为$ \{|u_n|\geqslant k\}, \{x\in \Omega\|u_n(x)|<k\} $简记为$ \{|u_n|<k\} $.考虑到$ \{|u_n|\geqslant k\} = \{|T_k(u_n)|\geqslant k\} $, $ p^->\gamma^++1 $, 我们有

$ \begin{align*} \mathrm{meas}\{|u_n|\geqslant k\}&\leqslant\left(\frac{\|T_k(u_n)\|_{L^{(p^*_s)^-}(\Omega, \omega)}}{k}\right)^{(p^*_s)^-}\\ &\leqslant\frac{C\|f\|_{L^1(\Omega)}^{\frac{(p^*_s)^-}{\beta}}}{k^{(p^*_s)^-(1-\frac{\gamma^++1}{\beta})}} \leqslant \frac{C(\|f\|_{L^1(\Omega)}+1)^{\frac{(p^*_s)^-}{p^-}}}{k^{(p^*_s)^-(1-\frac{\gamma^++1}{p^-})}}, \end{align*} $

其中$ C $为常数, $ \mathrm{meas}\{|u_n|\geqslant k\} $为$ \{|u_n|\geqslant k\} $的测度.同时当$ 0<k<1 $时, 显然$ \mathrm{meas}\{|u_n|\geqslant k\}\leqslant |\Omega| $, 这样我们得到

$ \begin{equation} \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mathrm{meas}\{|u_n|>k\} = 0, \ \text{关于}\ n\ \text{一致收敛}. \end{equation} $

(11)

第2步  $ \{u_n\} $在$ \Omega $上几乎处处收敛于$ u $.我们将证明对任意的$ \epsilon>0 $, 有$ \lim \limits_{n, m\rightarrow +\infty} \mathrm{meas}\{|u_n-u_m|>\epsilon\} = 0 $.对每一个$ n, m\in \mathbb{N} $, 有下面的集合关系

$ \begin{equation*} \{|u_n-u_m|>\epsilon\}\subset\{|u_n|>k\}\cup\{|u_m|>k\}\cup\{|T_k(u_n)-T_k(u_m)|>\epsilon\}, \end{equation*} $

也就是说

$ \begin{equation*} \mathrm{meas}\{|u_n-u_m|>\epsilon\}\leqslant \mathrm{meas}\{|u_n|>k\}+\mathrm{meas}\{|u_m|>k\}+\mathrm{meas}\{|T_k(u_n)-T_k(u_m)|>\epsilon\}. \end{equation*} $

对每一个固定的$ \sigma>0 $, 我们选取充分大的$ \widehat{k} $, 使得

$ \begin{equation} \mathrm{meas}\{|u_n-u_m|>\epsilon\}\leqslant \frac{\sigma}{2} +\mathrm{meas}\{|T_{\widehat{k}}(u_n)-T_{\widehat{k}}(u_m)|>\epsilon\}. \end{equation} $

(12)

注意到式(9), 我们可知$ \{T_k(u_n)\} $在$ W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega) $中有界.对每一个固定的$ k>0 $, $ \{T_k(u_n)\} $在$ L^{p(x)}(\Omega, \omega) $中预紧, 且$ \{T_k(u_n)\} $依测度收敛.考虑到$ k $的任意性, 我们有

$ \begin{equation*} \lim\limits_{n, m\rightarrow\infty}\mathrm{meas}\{|u_n-u_m|>\epsilon\} = 0, \end{equation*} $

这说明$ \{u_n\} $依测度收敛, 根据Riesz定理, 存在$ \{u_n\} $的一个子序列(仍记做本身)以及一个可测函数$ u $, 使得

$ \begin{equation} u_n\rightarrow u, \ \text{在}\ \Omega\ \text{上几乎处处收敛}. \end{equation} $

(13)

结合式(9), 我们可选取$ \{T_k(u_n)\} $的适当子列(仍记作本身), 则有

$ \begin{equation} T_k(u_n)\rightarrow T_k(u), \ \text{于}\ W^{1, p(x)}_0(\Omega, \omega)\ \text{中弱收敛}. \end{equation} $

(14)

第3步  $ \{g_n(x, u_n)\} $在$ L^1(\Omega) $中强收敛.令$ \rho_i(s) $是一个单调递增并且一致有界的Lipschitz函数, 当$ i\rightarrow\infty $时, 满足$ \rho_i\rightarrow\chi_{\{|s|>k\}}\mathrm {sign}(s) $.我们在式(5)中选取$ \rho_i(s) $作为检验函数, 则有

$ \begin{equation} \int_{\Omega}\frac{\omega(x)\rho'_i(u_n)|\nabla u_n|^{p(x)}}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x+\int_{\Omega} g_n(x, u_n)\rho_i(u_n)\mathrm{d}x = \int_{\Omega}f_n\rho_i(u_n)\mathrm{d}x. \end{equation} $

(15)

由于式(15)左端第一项为非负项, 我们去掉非负项, 可得

$ \begin{equation*} \int_{\Omega} g_n(x, u_n)\rho_i(u_n)\mathrm{d}x\leqslant \int_{\Omega}f_n\rho_i(u_n)\mathrm{d}x. \end{equation*} $

结合式(2), 并运用Lebesgue控制收敛定理, 取$ i\rightarrow\infty $时的极限, 有

$ \begin{equation} \int_{\{|u_n|> k\}}|g_n(x, u_n)|\mathrm{d}x\leqslant \int_{\{|u_n|> k\}}|f_n|\mathrm{d}x. \end{equation} $

(16)

对任意给定的$ \epsilon>0 $, 注意到式(11)以及$ \{f_n\} $在$ L^1(\Omega) $中强收敛于$ f $, 则存在充分大的$ k_\epsilon>0 $, 使得

$ \begin{equation*} \int_{\{|u_n|>k_\epsilon\}}|f_n|\mathrm{d}x<\epsilon. \end{equation*} $

对$ \Omega $中的可测子集$ E $, 结合式(2)及式(16), 有

$ \begin{align*} \int_E |g_n(x, u_n)|\mathrm{d}x& = \int_{E\cap\{|u_n|\leqslant k_\epsilon\}} |g_n(x, u_n)|\mathrm{d}x +\int_{E\cap\{|u_n|> k_\epsilon\}} |g_n(x, u_n)|\mathrm{d}x\\ &\leqslant\int_{\{|u_n|>k_\epsilon\}}|f_n|\mathrm{d}x+\int_E h_{k_\epsilon}(x)\mathrm{d}x\\ &\leqslant\epsilon+\int_E h_{k_\epsilon}(x)\mathrm{d}x\leqslant2\epsilon. \end{align*} $

于是, $ \{g_n(x, u_n)\} $是等度可积的.另一方面, 由于$ \{g_n\} $满足Carathéodory条件以及式(13), 我们知道$ g_n(x, u_n)\rightarrow g(x, u) $在$ \Omega $上几乎处处收敛.根据Vitali定理, 我们有

$ \begin{equation} g_n(x, u_n)\to g(x, u), \ \text{于}\ L^1(\Omega)\ \text{中强收敛}. \end{equation} $

(17)

第4步  $ T_k(u_n) $在$ W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega) $中强收敛.设$ h>k $, 并选取$ v = T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)] $作为(6)的检验函数, 我们有

$ \begin{align*} &\underbrace{\int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla u_n|^{p(x)-2} \nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x}_{\mathrm{(A)}}\\ &+\underbrace{\int_{\Omega} g_n(x, u_n)T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x}_{\mathrm{(B)}}\\ = \, &\underbrace{\int_{\Omega}f_n T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x}_{\mathrm{(C)}}. \end{align*} $

为了方便起见, 我们记$ \{\varepsilon_{n, h}\} $满足

$ \begin{equation*} \lim\limits_{h\rightarrow \infty} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\varepsilon_{n, h} = 0. \end{equation*} $

类似地, $ \{\varepsilon_{n}\} $满足$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\varepsilon_{n} = 0 $.关于(B)项和(C)项, 结合式(14)、式(17), 以及$ f_n $在$ L^1(\Omega) $中强紧, 我们有

$ \begin{equation} \int_{\Omega} g_n(x, u_n)T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x = \varepsilon_{n, h}, \end{equation} $

(18)

$ \begin{equation} \int_{\Omega}f_n T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x = \varepsilon_{n, h}. \end{equation} $

(19)

于是, 由式(18)、式(19)可得

$ \begin{equation*} \int_{\Omega}(f_n-g_n(x, u_n)) T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x = \varepsilon_{n, h}. \end{equation*} $

关于(A), 我们设$ M = 4k+h $, 当$ |u_n|\geqslant M $时, 有$ \nabla T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)] = 0 $. (A)可拆分为

$ \begin{align*} \mathrm{(A)} = &\int_{\{|u_n|<k\}}\frac{\omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x\\ &+\int_{\{|u_n|\geqslant k\}}\frac{\omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_{2k}[u_n-T_h(u_n)+T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x. \end{align*} $

由于在集合$ \{|u_n|<k\} $中, $ u_n-T_h(u_n) = 0 $, 且在集合$ \{|u_n|\geqslant k\} $中, $ \nabla T_k(u_n) = 0 $, 我们有

$ \begin{align*} \mathrm{(A)} = &\int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u_n)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla [T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x\\ &+\int_{\{|u_n|\geqslant k\}}\frac{\omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla [u_n-T_h(u_n)]\mathrm{d}x\\ &-\int_{\{|u_n|\geqslant k\}}\frac{\omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_k(u)\mathrm{d}x. \end{align*} $

上式右端第二项为非负项, 去掉非负项并对右端第一项进行拆分后可得

$ \begin{align*} \varepsilon_{n, h}\geqslant&\int_\Omega\frac{\omega(x)[|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u_n)-|\nabla T_k(u)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u)]}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla [T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x\\ &+\int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla [T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x\\ &-\int_{\{|u_n|\geqslant k\}}\frac{\omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_k(u)\mathrm{d}x\\ = &I_n+J_n-K_n. \end{align*} $

上式后两项在$ n\rightarrow\infty $时都趋近于0.事实上, 关于$ J_n $, 设$ n>h $, 注意到式(9), 这表明$ \dfrac{\omega(x)|\nabla T_k(u)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}} $在$ (L^{p'(x)}(\Omega, \omega^*))^N $中是强紧的.结合式(14), 我们有

$ \begin{equation*} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} J_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_k(u)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla [T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x = 0. \end{equation*} $

关于$ K_n $, 可整理为

$ \begin{equation*} K_n = \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n)\cdot\nabla T_k(u)\chi_{\{|u_n|\geqslant k\}}}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x. \end{equation*} $

当$ n\rightarrow\infty $时, $ \dfrac{\nabla T_k(u)\chi_{\{|u_n|\geqslant k\}}}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}} $在$ \left(L^{p(x)}(\Omega, \omega)\right)^N $中强收敛于0.同时结合式(9), 我们可知$ \omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n) $在$ (L^{p'(x)}(\Omega, \omega^*))^N $中有界, 因而有

$ \begin{equation*} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} K_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{\{|u_n|\geqslant k\}}\frac{\omega(x)|\nabla T_M(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_M(u_n)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_k(u)\mathrm{d}x = 0. \end{equation*} $

综上, 对$ n>M>h>k $, 根据$ p(x) $-Laplace算子的单调性, 可得

$ \begin{align*} \varepsilon(n, h)\geqslant I_n\geqslant&\frac{1}{(1+k)^{\gamma^+}} \int_\Omega\omega(x)[|\nabla T_k(u_n)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u_n)-|\nabla T_k(u)|^{p(x)-2} \nabla T_k(u)]\\ &\; \; \; \; \times \nabla [T_k(u_n)-T_k(u)]\mathrm{d}x\geqslant 0. \end{align*} $

即当$ n\rightarrow\infty $时, 我们有

$ \begin{equation} \nabla T_k(u_n)\rightarrow \nabla T_k(u), \ \text{于} (L^{p(x)}(\Omega, \omega))^N\text{中强收敛}. \end{equation} $

(20)

第5步  $ u $是问题(1)的熵解.在式(5)中选取$ T_k(u_n-\phi) $作为检验函数, 其中$ \phi\in W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega)\cap L^\infty(\Omega) $, 有

$ \begin{equation} \int_\Omega\frac{\omega(x)|\nabla u_n|^{p(x)-2}\nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\cdot\nabla T_k(u_n-\phi)\mathrm{d}x+\int_\Omega g(x, u_n)T_k(u_n-\phi)\mathrm{d}x = \int_\Omega f_nT_k(u_n-\phi)\mathrm{d}x. \end{equation} $

(21)

对于上式的后两项, 结合式(17), 且$ \{f_n\} $在$ L^1(\Omega) $中强紧, 以及在$ L^\infty(\Omega) $中$ T_k(u_n-\phi) $弱$ * $收敛于$ T_k(u-\phi) $, 那么当$ n\rightarrow\infty $时, 我们有

$ \begin{equation*} \int_\Omega g(x, u_n)T_k(u_n-\phi)\mathrm{d}x\rightarrow\int_\Omega g(x, u)T_k(u-\phi)\mathrm{d}x, \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \int_\Omega f_nT_k(u_n-\phi)\mathrm{d}x\rightarrow\int_\Omega fT_k(u-\phi)\mathrm{d}x. \end{equation*} $

对于式(21)左端第一项, 设$ L = k+\|\phi\|_{L^\infty(\Omega)} $, 结合式(13), 我们有

$ \begin{equation*} T_k(u_n-\phi)\rightarrow T_k(u-\phi), \ \text{在}\ \Omega\ \text{上几乎处处收敛}. \end{equation*} $

另外, 注意到式(9), 有

$ \begin{align*} \int_\Omega\omega(x)|\nabla T_k(u_n-\phi)|^{p(x)}\mathrm{d}x& = \int_{\{|u_n-\phi|<k\}}\omega(x)|\nabla(u_n-\phi)|^{p(x)}\mathrm{d}x\\ &\leqslant\int_{\{|u_n|<L\}}\omega(x)|\nabla(u_n-\phi)|^{p(x)}\mathrm{d}x\\ &\leqslant 2^{p^+}\left(\int_\Omega\omega(x)|\nabla T_L(u_n)|^{p(x)}\mathrm{d}x+\int_\Omega\omega(x)|\nabla \phi|^{p(x)}\mathrm{d}x\right)\\ &\leqslant C \;(\text{与}\ n\ \text{无关}). \end{align*} $

因此, $ T_k(u_n-\phi) $在$ W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega) $中有界, 即

$ \begin{equation} \int_\Omega T_k(u_n-\phi)\mathrm{d}x\rightarrow\int_\Omega T_k(u-\phi)\mathrm{d}x, \ \text{于}\ W_0^{1, p(x)}(\Omega, \omega)\ \text{中弱收敛}. \end{equation} $

(22)

设$ n>L $, 结合式(20)、式(22), 我们有

$ \begin{align*} &\int_\Omega \frac{\omega(x)|\nabla u_n|^{p(x)-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_k(u_n-\phi)}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x\\ & = \int_\Omega \frac{\omega(x)|\nabla T_L(u_n)|^{p(x)-2}\nabla T_L(u_n)\cdot\nabla T_k(u_n-\phi)}{(1+| T_L(u_n)|)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x\\ &\rightarrow\int_\Omega \frac{\omega(x)|\nabla T_L(u)|^{p(x)-2}\nabla T_L(u)\cdot\nabla T_k(u-\phi)}{(1+| T_L(u)|)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x\\ & = \int_\Omega \frac{\omega(x)|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u\cdot\nabla T_k(u-\phi)}{(1+| u|)^{\gamma(x)}}\mathrm{d}x. \end{align*} $

这样我们就证明了$ u $是问题(1)的熵解.