0 引言
设$X$与$Y$为两度量空间, $f$为$X$到$Y$的同胚, 若存在同胚映射$\eta \colon \lbrack 0, \infty )\rightarrow \lbrack
0, \infty )$, 使得对任意三个不同点$a$, $b$, $x$, 有
|
$
\begin{equation*}
\frac{|f(x)-f(a)|}{|f(x)-f(b)|} \leqslant \eta
\Big(\frac{|x-a|}{|x-b|}\Big),
\end{equation*}
$
|
则称$f$为拟对称映射.如果$X$与$Y$均为$n$维欧氏空间$\mathbb{R}^{n}$, 称$f$为$n$维拟对称映射.
用$\dim_{H}E$和$\dim_{P}E$分别表示集合$E$的Hausdorff维数和packing维数, 定义见[1, 第2章第1节, 第3章第7节].设$E\! \subset\! \mathbb{R}^{n}$, 如果对任意$n$维拟对称映射$f$都有$\dim_{H}f(E)\!\geqslant
\dim_{H}E$, 则称$E$为拟对称Hausdorff极小集.类似可定义拟对称packing极小集[2].
拟对称极小集的研究是分形几何与拟对称映射交叉学科一个热门的问题, 关于拟对称 Hausdorff极小集, 已有不少结果. Kovalev[3]证明了, 拟对称Hausdorff极小集的Hausdorff维数或者等于0, 或者大于等于1; Tyson[4]证明了对任意实数$\alpha \in
[1, n]$,
$\mathbb{R}^{n}$中一定存在 Hausdorff维数为$\alpha$的拟对称Hausdorff极小集. Gehring和Vaisala[5]证明了Hausdorff维数为 0的集合都是拟对称Hausdorff极小集; Gehring[6]还证明了当$n \geqslant 2$时,
$\mathbb{R}^{n}$中Hausdorff维数为$n$的集合都是拟对称Hausdorff极小集; 但$n=1$时, Tukia[7]找到了$\mathbb{R}$上Hausdorff维数为1的非拟对称Hausdorff极小集.自然就产生一个问题:
$\mathbb{R}$上什么样的Hausdorff维数为1 的集合是拟对称Hausdorff极小集？关于这个问题, 主要结果有: Staples等[8]证明了拟对称厚集为拟对称Hausdorff极小集; Hakobyan[9]证明了Hausdorff维数为1的中间区间Cantor集是拟对称Hausdorff极小集; 胡美丹等[10]将文献[9]的结果推广到了$n_{k}$有界的Hausdorff维数为1的齐次Cantor集上; 代玉霞等[11]又将文献[10]的结果推广到了一类$n_{k}$有界的Hausdorff维数为1的一维Moran集上; 王文等[12]又将文献[10]的结果推广到了Hausdorff维数为1的任意齐次Cantor集上.关于拟对称packing极小集的结果相对较少: Kovalev[3]证明了$\mathbb{R}$上的拟对称packing极小集的packing维数只能为0或1;李彦哲等[2]证明了$\mathbb{R}$上两类packing维数为1的一维Moran集是拟对称packing极小集; 王文等[12]证明了packing维数为1的任意齐次Cantor集都是拟对称packing极小集.
本文推广了文献[12]的两个结论, 得到一类更广泛的一维拟对称Hausdorff与packing极小集.
1 预备知识
1.1 齐次完全集
设$\{n_{k}\}_{k \geqslant 1}$是正整数列, $\{c_{k}\}_{k \geqslant
1 }$是正实数列, 满足$n_{k} \geqslant
2$且$n_{k}c_{k}<1$对任意$k \geqslant 1$成立.对任意$k \geqslant 1$, 设$\Omega
_{k}=\{\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots \sigma_{k}: 1\leqslant \sigma_{j}
\leqslant n_{j}, 1\leqslant j \leqslant k\}$, 并约定$\Omega
_{0}=\{\varnothing\}$, 记$\Omega=\bigcup_{k=1}^{\infty}\Omega_{k}$.若$\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots \sigma_{k} \in \Omega _{k}$,
$\tau=\tau_{1}\tau_{2}\cdots \tau_{m} (1 \leqslant
\tau_{j}\leqslant n_{k+j}, 1 \leqslant j \leqslant m$), 记$\sigma\ast \tau=\sigma_{1}\cdots
\sigma_{k}\tau_{1}\cdots\tau_{m} \in \Omega _{k+m}$.对任意$A\subset \mathbb{R}$, 记$|A|$为集合$A$的直径.
定义1.1[13] (齐次完全集) 设$I_{0}\subset
\mathbb{R}$是非空闭区间, 称$I_{0}$的闭区间族$\mathcal{F}=\{I_{\sigma}:\sigma\in
\Omega\}$有齐次完全结构, 若满足:
(ⅰ) $I_{\varnothing}=I_{0}$, 对任意$k \geqslant 0$, $\sigma \in
\Omega_{k}$, $ I_{\sigma\ast 1}, I_{\sigma\ast 2}, \cdots,
I_{\sigma\ast n_{k+1}}$是$I_{\sigma}$的从左到右排列的闭子区间, 且对任意$i\not=j$, $I_{\sigma \ast i}$与$I_{\sigma \ast
j}$内点不相交;
(ⅱ) 对任意$k \geqslant 1$, $\sigma\in \Omega_{k-1}$, $1\leqslant
j\leqslant n_{k}$, 有$\frac{|I_{\sigma\ast
j}|}{|I_{\sigma}|}=c_{k}$;
(ⅲ) 存在非负实数集$\{\eta_{k, j}:k \geqslant 1, 0 \leqslant
j\leqslant n_{k}\}$, 对任意$k \geqslant 0$, $\sigma\in
\Omega_{k}$, $1 \leqslant i \leqslant n_{k+1}-1$,
$\min(I_{\sigma\ast 1})-\min(I_{\sigma})=\eta_{k+1, 0}$,
$\min(I_{\sigma\ast (i+1)})-\max(I_{\sigma\ast i})=\eta_{k+1, i}$,
$\max(I_{\sigma})-\max(I_{\sigma\ast n_{k+1}})=\eta_{k+1, n_{k+1}}$.
若$\mathcal{F}=\{I_{\sigma}:\sigma\in \Omega\}$有齐次完全结构, 称$E=E(\mathcal{F}):=\bigcap_{k \geqslant 1}\bigcup_{\sigma\in
\Omega_{k}}I_{\sigma}$为由$\mathcal{F}$确定的齐次完全集, 称每一个$I_{\sigma}\in \mathcal{F}(\sigma\in
\Omega_{k})$为$E$的 ($k$阶) 基本区间.用$E_{k}=\bigcup_{\sigma\in\Omega_{k}}I_{\sigma}$表示所有$k$阶基本区间的并, 则$E=\bigcap_{k \geqslant 1}E_{k}$, 用$\mathcal{J}(I_{0},
\{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{\eta_{k, j}\}
)$表示所有满足条件 (ⅰ)-(ⅲ) 的齐次完全集族.
设$E\in \mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{\eta_{k, j}\})$, 对任意$k \geqslant 1$, 记$N_{k}$,
$\delta_{k}$分别为$E$的$k$阶基本区间的总个数与每一个$k$阶基本区间长度, 则$N_{k}=\prod_{i=1}^{k}n_{i}$, $\delta_{k}=\prod_{i=1}^{k}c_{i}$, 记$l(E_{k})$为所有$E$的$k$阶基本区间长度和, 则$l(E_{k})=N_{k}\delta_{k}$.不失一般性, 本文中总假设$I_{0}=[0, 1]$.
1.2 一些重要引理
下面这个关于齐次完全集维数的引理来源于文献[13]的定理1.2及定理1.4.
引理1.1 [13] 设齐次完全集$E\in
\mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{\eta_{k, j}\})$,
$C_{0}$为大于等于$1$的任意常数.如果对任意$k \geqslant 1$, 有$\max_{1 \leqslant l\leqslant n_{k}-1} \eta_{k, l}\leqslant C_{0}
\min_{1 \leqslant l\leqslant n_{k}-1} \eta_{k, l}$, 则
|
$
\begin{align}
&\dim _{H}E=\underline{\dim }_{B}E=\liminf_{k\rightarrow \infty}
\frac{\log N_{k}}{-\log
(\delta_{k}-\eta_{k+1, 0}-\eta_{k+1, n_{k+1}})},
\end{align}
$
|
(1) |
|
$
\begin{align}
&\dim_{P}E=\overline{\dim }_{B}E=\limsup_{k\rightarrow
\infty}\dfrac{\log N_{k+1}}{-\log
\Big(\dfrac{\delta_{k}-\eta_{k+1, 0}-\eta_{k+1, n_{k+1}}}{n_{k+1}}\Big)}.
\end{align}
$
|
(2) |
其中$\underline{\dim }_{B}E$和$\overline{\dim
}_{B}E$分别表示$E$的上、下计盒维数 (定义见文献[1, 第3章第6节]).
下面的引理来源于参考文献[14]的命题2.2, 是本文定理证明的重要工具.
引理1.2[14](质量分布原理) 设Borel集$F
\subset \mathbb{R}^{n}$,
$\mu$为支撑在$F$上的Borel概率测度,
$C$为大于0的任意常数.若存在常数$\delta>0$使得$\mu(B(x, r))\leqslant
Cr^{s}$对任意$x\in F$及$0<r<\delta$成立, 则$\dim
_{H}F\geqslant s$; 若对每一个$x\in F$及所有$k \geqslant 1$, 存在递减数列$\{r_{k}\}\rightarrow
0$使得$\mu(B(x, r_{k}))\leqslant Cr_{k}^{s}$成立, 则$\dim_{P}F\geqslant s$.
下面这个有关拟对称映射的引理由文献[16]得到.对任意闭区间$I$, 记$\rho I$为中心与$I$相同, 长为$\rho |I|$的闭区间, 有
引理1.3[15] 设$f$为一维拟对称映射, 则对满足$I\subset I^{\prime}$的任意闭区间$I$、$I'$, 存在常数$\lambda $, $K_{\rho }>0$, $q \geqslant 1$以及$ p\in
(0, 1]$, 使得$\frac{\mid f(\rho I)\mid }{\mid f(I)\mid }\leqslant
K_{\rho }$及$\lambda \Big(\frac{\mid I\mid }{\mid I^{\prime
}\mid }\Big)^{q}\leqslant \frac{\mid f(I)\mid }{\mid f(I^{\prime
})\mid }\leqslant 4\Big(\frac{\mid I\mid }{\mid I^{\prime }\mid
}\Big)^{p}$.
2 主要结论
本文有下面两个主要结论.
定理2.1 设齐次完全集$E\in \mathcal{J}(I_{0},
\{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{\eta_{k, j}\})$, 满足存在正实数序列$\{g_{k}\}$, 使得$\eta_{k, l}=g_{k}$对任意$1 \leqslant l \leqslant n_{k}-1$, 任意$k \geqslant 1$成立, 且存在常数$c>0$使得$\eta_{k, 0}+\eta_{k, n_{k}}\leqslant
cg_{k}$对任意$k \geqslant 1$成立.如果$\dim _{H}E=1$, 则$\dim _{H}f(E)=1$对所有一维拟对称映射$f$成立.
定理2.2 设齐次完全集$E\in \mathcal{J}(I_{0},
\{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{\eta_{k, j}\})$, 满足存在正实数序列$\{g_{k}\}$, 使得$\eta_{k, l}=g_{k}$对任意$1 \leqslant l \leqslant n_{k}-1$, 任意$k \geqslant 1$成立, 且存在常数$c>0$使得$\eta_{k, 0}+\eta_{k, n_{k}}\leqslant
cg_{k}$对任意$k \geqslant 1$成立.如果$\dim_{P}E=1$, 则$\dim_{P}f(E)=1$对所有一维拟对称映射$f$成立.
注2.1 满足定理2.1和定理2.2条件的齐次完全集显然满足引理1.1的条件, 从而引理1.1的2个维数公式对满足定理2.1和定理2.2条件的齐次完全集成立.
例2.1 设$E\in \mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\},
\{c_{k}\}, \{\eta_{k, j}\})$为齐次Cantor集[12], 则$\eta_{k, 0}\!=\!\eta_{k, n_{k}}\!=\!0$对任意 $k
\geqslant 1$成立.且存在正实数序列$\{g_{k}\}$, 使得$\eta_{k, l}=g_{k}$对任意$1 \leqslant l \leqslant n_{k}-1$, 任意$k \geqslant 1$成立.由定理2.1和定理2.2, 如果$\dim
_{H}E=1$, 则$\dim _{H}f(E)=1$对所有一维拟对称映射$f$成立; 对packing维数也有类似的结果.从而定理2.1和定理2.2推广了文献[12]中的定理1.1和定理1.2的结果.
由文献[1, 第3章第7.3节]以及本文引理1.1, 我们得到如果$E$为满足定理2.1和定理2.2条件的齐次完全集, 则$\dim _{H}E=\underline{\dim }_{B}E$, $\dim_{P}E=\overline{\dim
}_{B}E$, $\dim _{H}f(E)\leqslant \underline{\dim }_{B}f(E)$,
$\dim_{P}f(E)\leqslant \overline{\dim }_{B}f(E)$, 我们马上有下面两个关于计盒维数的推论.
推论2.1 设齐次完全集$E\in \mathcal{J}(I_{0},
\{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{\eta_{k, j}\})$, 满足存在正实数序列$\{g_{k}\}$, 使得$\eta_{k, l}=g_{k}$对任意$1 \leqslant l \leqslant n_{k}-1$, 任意$k \geqslant 1$成立, 且存在常数$c>0$使得$\eta_{k, 0}+\eta_{k, n_{k}}\!\leqslant\!
cg_{k}$对任意$k \!\geqslant\! 1$成立.如果$\overline{\dim
}_{B}E=1$, 则$\overline{\dim }
_{B}f(E)\!=\!1$对所有一维拟对称映射$f$成立; 如果$\underline{\dim } _{B}E=1$, 则$\underline{\dim }
_{B}f(E)=1$对所有一维拟对称映射$f$成立.
3 定理的证明
3.1 定义在$f(E)$上的概率测度
设齐次完全集$E\in \mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\}, \{c_{k}\},
\{\eta_{k, j}\})$, $N_{k}$, $\delta_{k}$, $g_{k}$,
$\eta_{k, j}$同前面定义, $f$为$E$上的一维拟对称映射.任取$d\in(0, 1)$, 我们将要构造一个定义在$f(E)$上的概率测度$\mu_{d}$.在定义$\mu_{d}$前, 先给出两个引理.
引理3.1 设$E\in \mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\},
\{c_{k}\},
\{\eta_{k, j}\})$为满足定理2.1和定理2.2条件的齐次完全集, 则存在一个长度递减闭集序列$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$, 使得$E=\bigcap_{m=0}^{\infty}{F_{m}}$, 且$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$满足:
1) 对任意$m\geqslant 0$, $F_{m}$包含内点互不相交的有限个闭区间, 称这些区间为$F_{m}$的元素;
2) $\{E_{k}\}_{k=0}^{\infty}$为$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的子序列;
3) 存在正整数$M>0$使得对任意$m\geqslant 1$, 每一个$F_{m-1}$的元素至多含$M^{2}$个$F_{m}$的元素;
4) 对任意$m\geqslant 0$,
$F_{m}$最长的元素长度不超过最短的元素长度的2倍.
证明 我们先对[0, 1]中的一些闭区间$I'$, 定义$I^{\prime}$的构成区间, 若$(I_{\sigma \ast i}\cup
I_{\sigma \ast (i+1)}\cup \cdots \cup I_{\sigma \ast j})\subset
I^{\prime}$, 且$(I_{\sigma \ast i}\cup I_{\sigma \ast (i+1)}\cup
\cdots \cup I_{\sigma \ast j})\cap E= I^{\prime}\cap E$, 其中$
\sigma \in \Omega_{k-1}$, $1\leqslant i<j\leqslant n_{k}$, $k
\geqslant 1$, 设$N$为正整数, $N \leqslant j-i+1$, 我们定义$I'$的闭子区间$I{'}_{1}, \cdots, I'_{N}$为$I'$的$k$阶$N$-构成区间, 其中$I'_{1},
\cdots, I'_{N}$从左至右排列, 内点互不相交, $ (I'_{1}\cup \cdots
\cup I'_{N})\cap E= I'\cap E$, $(I_{\sigma \ast i}\cup I_{\sigma
\ast (i+1)}\cup \cdots \cup I_{\sigma \ast j})\subset (I'_{1}\cup
\cdots\cup I'_{N}) $, 且对任意$I'_{p} (1 \leqslant p \leqslant
N)$, $I'_{p}$的左端点与$I_{\sigma \ast i}, I_{\sigma \ast
(i+1)}, \cdots, I_{\sigma \ast j}$的某个区间的左端点重合, 右端点与$I_{\sigma \ast i}, I_{\sigma \ast (i+1)}, \cdots,
I_{\sigma \ast j}$的某个区间的右端点重合, 且$I'_{p}(1 \leqslant
p \leqslant
N)$的左边$N-(K-t)$个区间均包含$K$个$I_{\sigma \ast i},
I_{\sigma \ast (i+1)}, \cdots, I_{\sigma \ast j}$中的区间, 右边的$K-t$个区间均包含$K-1$个$I_{\sigma \ast i},
I_{\sigma \ast (i+1)}, \cdots, I_{\sigma \ast j}$中的区间, 其中非负整数$K, t$满足$j-i+1=K(N-1)+t, t<K$.
下面我们构造$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$.设$M$为满足$M>1+c$的最小整数, 其中$c$见定理2.1和2.2.对任意$k \geqslant 1$, 定义$i_{k}$为:当$2 \leqslant
n_{k}<M$时, $i_{k}=1$; 当$n_{k}\geqslant M$时,
$i_{k}$为满足$M^{i_{k}}\leqslant n_{k}<M^{i_{k}+1}$的正整数.令$m_{0}=0$, $m_{k}=\sum_{j=1}^{k}i_{j}$.令$F_{m_{k}}=E_{k}$对任意$k \geqslant 0$成立,
$F_{m_{k}}$的元素对应$E_{k}$中$E$的$k$阶基本区间, 下面我们对任意$k \geqslant 1$, 在$m_{k-1}\leqslant
m<m_{k}$时定义$F_{m}$.
若$2\leqslant n_{k}<M^{2}$, 则$i_{k}=1$且$m_{k}=m_{k-1}+1$, 不存在满足$m_{k-1}\leqslant m<m_{k}$的$m$, 我们不需要做任何事情, 我们只需考虑$n_{k}\geqslant M^{2}$的情形.若$n_{k}\geqslant M^{2}$, 则$i_{k}\geqslant 2$, 由定义$F_{m_{k-1}}=E_{k-1}$, 从而$F_{m_{k-1}}$有$N_{k-1}$个元素, 即$E$的$N_{k-1}$个$k-1$阶基本区间, 对任意$F_{m_{k-1}}$的元素$I'$都有
|
$
\begin{equation}
|I'|=n_{k}\delta_{k}+(n_{k}-1)g_{k}+\eta_{k, 0}+\eta_{k, n_{k}},
\end{equation}
$
|
(3) |
我们取$I'$的所有$k$阶$M$-构成区间$I'_{1},
\cdots, I'_{M}$, 定义$F_{{m_{k-1}}+1}$为这些闭区间的并,
$F_{{m_{k-1}}+1}$的元素即为这些闭区间, 从而$F_{{m_{k-1}}+1}$有$MN_{k-1}$个元素,
$F_{{m_{k-1}}}$的每个元素都包含$M$个 $F_{{m_{k-1}}+1}$的元素, 且$F_{{m_{k-1}}+1}$最长的元素的长度不超过最短的元素的长度的2倍.若$i_{k}=2$, 则$m_{k}=m_{k-1}+2$, $F_{m_{k}}=E_{k}$, 这就完成了$m_{k-1}\leqslant m<m_{k}$时$F_{m}$的构造; 若$i_{k}>2$, 则$m_{k}> m_{k-1}+2$, 需要继续构造$F_{{m_{k-1}}+2}$, 类似$F_{{m_{k-1}}+1}$的构造, 我们对任意$F_{{m_{k-1}}+1}$的元素 $J'$, 取所有$J'$的$k$阶$M$-构成区间$J'_{1}, \cdots, J'_{M}$,
$F_{{m_{k-1}}+2}$的元素即为这些闭区间, 从而 $F_{{m_{k-1}}+2}$有$M^{2}N_{k-1}$个元素,
$F_{{m_{k-1}}+1}$的每个元素都包含$M$个$F_{{m_{k-1}}+2}$的元素,
$F_{{m_{k-1}}+2}$最长的元素的长度不超过最短的元素的长度的2倍.若$i_{k}=3$, 此时$m_{k}=m_{k-1}+3$, $F_{m_{k}}=E_{k}$; 若$i_{k}>3$, 则同前面一样用取$k$阶$M$-构成区间的方法构造$F_{{m_{k-1}}+3}$, 再分$i_{k}=4$与$i_{k}>4$讨论, 若$i_{k}>4$再类似构造$F_{{m_{k-1}}+4}$, $\cdots$, 实际上对任意$i_{k}$, 上述方法经过$i_{k}-1$步, 就可分别定义$F_{{m_{k-1}}+1}, \cdots, F_{{m_{k-1}}+i_{k}-1}$, 对任意$m_{k-1}\leqslant m<F_{{m_{k-1}}+i_{k}-1}$, $F_{m}$都满足引理3.1的条件1) 到4), 注意到$m_{k-1}+i_{k}=m_{k}$,
$M^{i_{k}}\leqslant n_{k}<M^{i_{k}+1}$, 从而每个$F_{{m_{k-1}}+i_{k}-1}$的元素至多包含$M^{2}$个$E$的$k$阶基本区间即$F_{{m_{k}}}$的元素, 且$F_{{m_{k-1}}+i_{k}-1}$最长的元素的长度不超过最短的元素的长度的2倍,
$F_{m_{k-1}+i_{k}}=F_{m_{k}}=E_{k}$, 这样就完成了$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的构造, 显然 $E=\bigcap_{m=0}^{\infty}{F_{m}}$且$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$满足引理3.1的条件1) 到4).证毕.
为方便起见, 对任意$m \geqslant1$, 我们称$F_{m}$中的元素为$E$的关于$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的$k$阶基本区间, 简称$E$的$k$阶基本区间.
引理3.2 设$E\in \mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\},
\{c_{k}\},
\{\eta_{k, j}\})$为满足定理2.1和定理2.2条件的齐次完全集,
$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$为引理3.1中的序列, 则存在常数$c_{1}>1$使得
|
$
\begin{equation}
l(F_{m_{k}})=
N_{k}\delta_{k} \text{且} \frac{1}{c_{1}}N_{k-1}\delta_{k-1}\leqslant
l(F_{m})\leqslant N_{k-1}\delta_{k-1}
\end{equation}
$
|
(4) |
对任意$m_{k-1}< m<m_{k}$成立, 其中$l(F_{m})$表示$F_{m}(0\leqslant
m<\infty)$的所有元素长度和.
证明 只需证$\frac{1}{c_{1}}N_{k-1}\delta_{k-1}\leqslant l(F_{m})$.因为$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$长度递减, 所以只需证 $\frac{1}{c_{1}}N_{k-1}\delta_{k-1}\leqslant
l(F_{m_{k}-1})$.而$F_{m_{k}-1}$为$F_{m_{k-1}}$移走一个长为$\eta_{k, 0}$的半开半闭区间, 一个长为$\eta_{k, n_{k}}$的半开半闭区间,
$[M-1+M(M-1)+M^{2}(M-1)+\cdots+M^{i_{k}-2}(M-1)]N_{k-1}=(M^{i_{k}-1}-1)N_{k-1}$个长为$g_{k}$的开区间, 注意到$N_{k-1}\delta_{k-1}\geqslant \eta_{k, 0}+\eta_{k, n_{k}}+
g_{k}\geqslant \frac{1+c}{c}(\eta_{k, 0}+\eta_{k, n_{k}})$, 从而由$M^{i_{k}}\leqslant
n_{k}<M^{i_{k}+1}$ (如果存在满足$m_{k-1}< m<m_{k}$的$m$, 则$i_{k}\ge 2$且$M^{i_{k}}\leqslant
n_{k}<M^{i_{k}+1}$) 以及 (3) 式有$l(F_{m_{k}-1})=N_{k-1}\delta_{k-1}-\eta_{k, 0}-\eta_{k, n_{k}}-
(M^{i_{k}-1}-1)N_{k-1}g_{k}\geqslant
(1-\frac{c}{1+c})N_{k-1}\delta_{k-1}-\frac{M^{i_{k}}-M}{M}N_{k-1}
$$ g_{k}\geqslant\frac{1}{1+c}N_{k-1}\delta_{k-1}-\frac{n_{k}-1}{M}N_{k-1}g_{k}\geqslant
\frac{1}{1+c}N_{k-1}\delta_{k-1}-\frac{N_{k-1}\delta_{k-1}}{M} $.取$c_{1}=\frac{1}{1+c}-\frac{1}{M}>0$, 引理得证.
下面完成概率测度$\mu_{d}$的定义, 设$E=\bigcap_{m=0}^{\infty}{F_{m}}$, 其中$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$为引理3.1中的序列.对任意$m\geqslant 1$, 设$J_{m-1}$为$f(F_{m-1})$中的任意一个$F_{m-1}$的元素的像, 由拟对称映射的性质, 它一定为闭区间, 为方便, 也称$J_{m-1}$为$f(E)$的一个$m-1$阶基本区间, 设$J_{m, 1}, \cdots,
J_{m, N(J_{m-1})}$为包含在$J_{m-1}$中的所有$f(E)$的$m$阶基本区间, 其中$N(J_{m-1})$为包含在$J_{m-1}$中$f(E)$的$m$阶基本区间个数, 则$N(J_{m-1})\leqslant M^{2}$.任给$d\in (0, 1)$, 存在支撑在$f(E)$上的概率测度$\mu_{d}$, 使得对任意$m\geqslant
1$, $1\leqslant i \leqslant N(J_{m-1})$都有$\mu_{d}(f(I_{0}))=1$以及
|
$
\begin{equation}
\mu_{d}(J_{m, i})=\frac{|J_{m, i}|^{d}}{\sum_{j=1}^{N(J_{m-1})}|J_{m, j}|^{d}}\mu_{d}(J_{m-1}).
\end{equation}
$
|
(5) |
3.2 一些引理
设$E$满足定理2.1和2.2的条件,
$E=\bigcap_{m=0}^{\infty}{F_{m}}$, 其中$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$为引理3.1中的序列, 设$\mathcal{F}_{m}$为所有$F_{m}$的元素构成的集族.对任意$k
\geqslant 1$, 设$m \geqslant 1$为满足$m_{k-1}< m\leqslant
m_{k}$的整数, 给出以下记号
|
$
\begin{align*}
&\lambda^{\ast}(m)=\frac{\max_{I \in \mathcal{F}_{m}}|I|}{\min_{I
\in \mathcal{F}_{m-1}}|I|}, \lambda_{\ast}(m)=\frac{\min_{I \in
\mathcal{F}_{m}}|I|}{\max_{I \in \mathcal{F}_{m-1}}|I|},
\end{align*}
$
|
|
$
\begin{align*}
&\gamma^{\ast}(m)=\frac{g_{k}}{\min_{I \in
\mathcal{F}_{m-1}}|I|}, \gamma_{\ast}(m)=\frac{g_{k}}{\max_{I
\in \mathcal{F}_{m-1}}|I|},
\end{align*}
$
|
由引理3.1得$\lambda_{\ast}(m)\leqslant
\lambda^{\ast}(m)\leqslant 4\lambda_{\ast}(m)$, $\gamma_{\ast}(m)
\leqslant \gamma^{\ast}(m)\leqslant 2\gamma_{\ast}(m)$, 以及
|
$
\begin{equation}
l(F_{m})\leqslant \prod_{j=1}^{m}M^{2}\lambda^{\ast}(j),
l(F_{m})\leqslant \prod_{j=1}^{m}(1-\gamma_{\ast}(j)).
\end{equation}
$
|
(6) |
引理3.3 设$\dim_{H}E=1$, 则有下列结论成立.
1)
|
$
\begin{equation}
\lim_{m \rightarrow \infty}(l(F_{m}))^{\frac{1}{m}}=1;
\end{equation}
$
|
(7) |
2) 设$S(m, \epsilon)=\{ j: 1\leqslant j \leqslant m,
\gamma_{\ast}(j)< \epsilon \}$, 其中$\epsilon \in (0, 1)$,
$m\geqslant 1$, card表示集合的基数, 则
|
$
\begin{equation}
\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{{\rm card}S(m, \epsilon)}{m}=1;
\end{equation}
$
|
(8) |
3) 给定$p \in (0, 1]$, 则对充分小的$\epsilon \in (0, 1)$,
|
$
\begin{equation}
\lim_{m \rightarrow \infty}\left(\prod_{j\in
S(m, \epsilon)}(1-(\gamma_{\ast}(j))^{p})\right)^{\frac{1}{m}}=1.
\end{equation}
$
|
(9) |
证明 1) 注意到$\lim_{m \rightarrow
\infty}(l(F_{m}))^{\frac{1}{m}}\leqslant \lim_{m \rightarrow
\infty}(l(F_{m}))^{0}=1$, 所以只需证明 $\lim_{m
\rightarrow \infty}(l(F_{m}))^{\frac{1}{m}}\geqslant 1$.由引理1.1得$1=\dim _{H}E=\liminf_{k\rightarrow \infty}
\frac{\log_{M} N_{k}}{-\log_{M}(
\delta_{k}-\eta_{k+1, 0}-\eta_{k+1, n_{k+1}})}\leqslant
\liminf_{k\rightarrow \infty} \frac{\log_{M} N_{k}}{-\log_{M}
\delta_{k}}\!\leqslant\!1$, 即$1\!=\!\liminf_{k\rightarrow
\infty}\frac{\log_{M} N_{k}}{-\log_{M}
\delta_{k}}\!=\!\liminf_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_{M}
N_{k}}{\log_{M} N_{k}\!-\!\log_{M} N_{k}\delta_{k}}\leqslant
\limsup_{k\rightarrow \infty} \frac{\log_{M} N_{k}}{\log_{M}
N_{k}-\log_{M} N_{k}\delta_{k}}\leqslant 1$.于是$\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_{M} N_{k}}{\log_{M}
N_{k}-\log_{M} N_{k}\delta_{k}}=1$, 从而$\lim_{k\rightarrow \infty}
\frac{\log_{M} N_{k}\delta_{k}}{\log_{M} N_{k}} =0$, 即$\lim_{k\rightarrow \infty}(N_{k}\delta_{k})^{\frac{1}{\log_{M}
N_{k}}}=1$.由$n_{k}< M^{i_{k}+1}$得$\log_{M} N_{k}\leqslant
2m_{k}$, 又因为由引理3.2, 当 $m_{k-1}\!\leqslant\! m
\!<\!m_{k}$时, $\frac{1}{c_{1}}N_{k-1}\delta_{k-1}\leqslant
l(F_{m})$, 从而有$1=\lim_{k \rightarrow
\infty}(N_{k-1}\delta_{k-1})^{\frac{1}{\log_{M} N_{k-1}}}\leqslant
\lim_{m\rightarrow \infty}(l(F_m))^\frac{1}{m}$, 所以 (7) 式成立.
2) 注意到$(l(F_{m}))^{\frac{1}{m}}\leqslant
(\prod_{j=1}^{m}(1-\gamma_{\ast}(j)))^{\frac{1}{m}}\leqslant
1-\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\gamma_{\ast}(j)\leqslant 1$, 由 (7) 式得,
|
$
\begin{equation}
\lim_{m \rightarrow
\infty}\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\gamma_{\ast}(j)=0,
\end{equation}
$
|
(10) |
又$\frac{m-{\rm card}S(m, \epsilon)}{m}=\frac{{\rm card}\{ j:
1\leqslant j \leqslant m, j\notin S(m, \epsilon)\}}{m}\leqslant
\frac{1}{m\epsilon}\sum_{j=1}^{m}\gamma_{\ast}(j)$, 联立 (10) 式即得 (8) 式.
3) 给定$p \in (0, 1]$, 由Jensen不等式得到$
\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}(\gamma_{\ast}(j))^{p}\leqslant
(\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}(\gamma_{\ast}(j)))^{p}$, 由 (10) 得到
|
$
\begin{equation}
\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}(\gamma_{\ast}(j))^{p}=0,
\end{equation}
$
|
(11) |
注意到当$x \in (0, \frac{1}{2})$时, $\log(1-x)\geqslant -2x$, 所以对充分小的$\epsilon \in (0, 1)$, 有
|
$
\begin{align*}
\log \left(\prod_{j\in
S(m, \epsilon)}(1-(\gamma_{\ast}(j))^{p})\right)^{\frac{1}{m}}
&=
\frac{1}{m}\sum_{j\in S(m, \epsilon
)}\log(1-(\gamma_{\ast}(j))^{p})\geqslant \frac{-2}{m}\sum_{j\in
S(m, \epsilon )}(\gamma_{\ast}(j))^{p}
\\
&\geqslant \frac{-2}{m}\sum_{j=1}^{m}(\gamma_{\ast}(j))^{p},
\end{align*}
$
|
上式联立 (11) 式, 可得到 (9) 式.
3.3 定理2.1的证明
设$E\in \mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\}, \{c_{k}\},
\{\eta_{k, j}\})$为满足定理2.1条件的齐次完全集, $\dim_{H}E=1$,
$E=\bigcap_{m=0}^{\infty}{F_{m}}$, 其中$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$为引理3.1中的序列,
$f$为$E$上的任意一维拟对称映射.
引理3.4 对任意$d \in (0, 1)$, 任意$f(E)$的基本区间$J$, 存在与$J$无关的常数$C^{\prime\prime}$, 使得$\mu_{d}(J)\leqslant C^{\prime\prime}|J|^{d}$.
证明 任给$m\geqslant1$, 设$J=J_{m}$为$f(E)$的任意一个$m$阶基本区间, 对任意$0\leqslant j\leqslant m- 1$, 设$J_{j}$为$f(E)$的$j$阶基本区间, 满足$J_{m}\subset
J_{m-1}\subset\cdots\subset J_{1}\subset J_{0}=f(I_{0})$, 不失一般性, 我们总假设$J_{0}\!=\!I_{0}\!=\![0, 1]$, 则由$\mu_{d}$的定义式 (5), 有$\mu
_{d}(J_{m})\!=\!\frac{|J_{m}|^{d}}{\sum_{i=1}^{N(J_{m-1})}|J_{m, i}|^{d}}
\cdots\frac{|J_{1}|^{d}}{\sum_{i=1}^{N(J_{0})}|J_{1, i}|^{d}}|J_{0}|^{d}$, 从而
|
$
\begin{equation}
\frac{\mu
_{d}(J_{m})}{|J_{m}|^{d}}=\prod_{j=0}^{m-1}\frac{|J_{j}|^{d}}{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}.
\end{equation}
$
|
(12) |
为估计$\frac{\mu _{d}(J_{m})}{|J_{m}|^{d}}$的大小, 需要对$\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}} (j=0, \cdots, m-1)$进行估计.任给$\sigma \in \Omega_{k-1}$, 设$I_{\sigma, 0}=(\min(I_{\sigma}), \min(I_{\sigma*1}))$,
$I_{\sigma, n_{k}}=(\max(I_{\sigma*n_{k}}), \max(I_{\sigma}))$; 任给$1\leqslant j\leqslant m$, 由前面定义, $J_{j, 1}, \cdots,
J_{j, N(J_{j-1})}$为包含在$J_{j-1}$中的所有$f(E)$的$j$阶基本区间, 设$G_{j, 1}, \cdots,
G_{j, N(J_{j-1})-1}$为 $J_{j-1}\setminus
J_{j}$后剩下的$N(J_{j-1})-1$个开区间, 称为包含在$J_{j-1}$中的$j$阶间隔; 设$I_{j-1}=f^{-1}(J_{j-1})$, $I_{j, l}=f^{-1}(J_{j, l})$,
$L_{j, l}=f^{-1}(G_{j, l})$, 其中$1\leqslant l\leqslant N(J_{j-1})$, 则$I_{j-1}$为$E$的关于$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的一个$j-1$阶基本区间,
$I_{j, l}$为$E$的关于$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的$j$阶基本区间, 称$L_{j, l}$为$E$的关于$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的$j$阶间隔.由引理1.3可得
|
$
\frac{|J_{j, l}|}{|J_{j-1}|}\geqslant \lambda
\Big(\frac{|I_{j, l}|}{|I_{j-1}|}\Big)^{q}\geqslant\lambda
(\lambda_{\ast}(j))^{q}\geqslant
4^{-q}\lambda(\lambda^{\ast}(j))^{q};
$
|
(13) |
|
$
\begin{align}
&\frac{|G_{j, l}|}{|J_{j-1}|}\leqslant
4\Big(\frac{|L_{j, l}|}{|I_{j-1}|}\Big)^{p}\leqslant4(\gamma^{\ast}(j))^{p}\leqslant
8(\gamma_{\ast}(j))^{p}.
\end{align}
$
|
(14) |
从而由 (13) 式得
|
$
\begin{equation}
\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}\geqslant
4^{-dq}\lambda^{d}(\lambda^{\ast}(j))^{dq}.
\end{equation}
$
|
(15) |
当$j\in S(m, \epsilon)$时, 我们用另一种方法估计$\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}$.设$m_{k-1}\leqslant j<m_{k}$, 其中$\{m_{k}\}_{k=1}^{\infty}$来源于引理3.1的证明, 由 (14) 式以及$N(J_{j})\leqslant M^{2}$得
|
$
\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|}{|J_{j}|}\geqslant
\frac{|J_{j}|-\sum_{i=1}^{N(J_{j})-1}|G_{j+1, i}|-|f(I_{\sigma, 0})|-|f(I_{\sigma, n_{k}})|}{|J_{j}|}\geqslant
1-8(M^{2}+c)(\gamma_{\ast}(j))^{p},
$
|
从而
|
$
\begin{equation}
\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}\geqslant
\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{(\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|)^{d}}
(1-8(M^{2}+c)(\gamma_{\ast}(j))^{p})^{d},
\end{equation}
$
|
(16) |
若$j\in S(m, \epsilon)$, $\epsilon \in (0, \frac{1}{M^{2}-1+c})$, 则由引理3.1, 对任意$1\leqslant j \leqslant N(J_{j-1})$,
$\frac{|I_{j, l}|}{|I_{j-1}|}\geqslant
\frac{1-(M^{2}-1+c)\epsilon}{2M^{2}}$, 从而由引理1.3, $\lambda
\Big( \frac{1-(M^{2}-1+c)\epsilon}{2M^{2}}\Big)^{q}\leqslant
\frac{|J_{j, l}|}{|J_{j-1}|}\leqslant 1$.注意到对任意$x_{1}, \cdots, x_{k}\in (0, 1]$, 有$1+x_{1}^{d}+\cdots+x_{k}^{d}\geqslant 1+x_{1}+\cdots+x_{k}$, 从而
|
$
\frac{1+x_{1}^{d}+\cdots+x_{k}^{d}}{(1+x_{1}+\cdots+x_{k})^{d}}\geqslant
(1+x_{1}+\cdots+x_{k})^{1-d}\geqslant
(1+\max\{x_{1}, \cdots, x_{k}\})^{1-d}.
$
|
令$\beta=\max_{1\leqslant
i\leqslant N(J_{j})}|J_{j+1, i}|$, 则
|
$
\begin{equation}
\dfrac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{(\sum_{i=1}^{N(J_{j})}
|J_{j+1, i}|)^{d}}\geqslant
\dfrac{\dfrac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{\beta^{d}}}
{\dfrac{(\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|)^{d}}{\beta^{d}}}\geqslant
\Big(1+ \lambda \Big(
\dfrac{1-(M^{2}-1+c)\epsilon}{2M^{2}}\Big)^{q}\Big)^{1-d} \triangleq
\alpha,
\end{equation}
$
|
(17) |
由 (16) 式与 (17) 式得, 对所有$j\in
S(m, \epsilon)$有$\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}\geqslant
\alpha (1-8(M^{2}+c)(\gamma_{\ast}(j))^{p})^{d}$.取整数$M'$满足$M'> 8M^{2}+c$, 则当$x$充分小时,
$1-(8M^{2}+c)x \geqslant (1-x)^{M'}$, 从而对充分小的$\epsilon>0$, 对所有$j\in S(m, \epsilon)$有
|
$
\begin{equation}
\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}\geqslant
\alpha (1-(\gamma_{\ast}(j))^{p})^{M'd}.
\end{equation}
$
|
(18) |
对充分小的$\epsilon>0$, 对$j\notin
S(m, \epsilon)$使用 (15) 式, 对$j\in
S(m, \epsilon)$使用 (18) 式, 利用 (6) 式得
|
$
\begin{align*}
\prod_{j=0}^{m-1}\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}&
\!\geqslant \prod_{0\leqslant j\leqslant m-1, j\notin
S(m, \epsilon)}4^{-dq}\lambda^{d}(\lambda^{\ast}(j))^{dq}\prod_{ j\in
S(m, \epsilon)}\alpha (1-(\gamma_{\ast}(j))^{p})^{M'd}
\\
&\!\geqslant ((4M^{2})^{-dq}\lambda^{d})^{m-{\rm card}S(m, \epsilon)}
(l(F_{m}))^{dq}\alpha^{{\rm card}S(m, \epsilon)}\!\prod_{ j\in S(m, \epsilon)}\! (1\!-\!(\gamma_{\ast}(j))^{p})^{M'd},
\end{align*}
$
|
利用引理3.3得$\liminf_{m \rightarrow
\infty}\Big(\prod_{j=0}^{m-1}\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}
|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}\Big)^{\frac{1}{m}}\!\geqslant\!
\alpha$, 从而由$\alpha\!>\!1$我们可以得到 $\liminf_{m
\rightarrow\infty}\Big(\prod_{j=0}^{m-1}\frac{\sum_{i=1}^{N(J_{j})}|J_{j+1, i}|^{d}}{|J_{j}|^{d}}\Big)=\infty$, 再由 (12) 式得到引理3.4成立.
下面我们完成定理2.1的证明.设$J\subset[0, 1]$为任意闭区间,
$m$为满足$\min_{I\in \mathcal{F}_{m}}|I|\leqslant
|f^{-1}(J)|<\min_{I\in \mathcal{F}_{m-1}}|I|$的唯一整数, 则$f^{-1}(J)$至多与2个$E$的关于$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的$m-1$阶基本区间相交, 从而至多与$2M^{2}$个$E$的关于$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$的$m$阶基本区间相交, 从而$J$至多与$2M^{2}$个$f(E)$的$m$阶基本区间相交, 设这些$f(E)$的$m$阶基本区间分别为$J_{1}, \cdots, J_{l}(1\leqslant
l\leqslant 2M^{2})$, 由引理3.4,
|
$
\begin{equation}
\mu_{d}(J)\leqslant\sum_{i=1}^{l}\mu_{d}(J_{i})\leqslant
C^{\prime\prime}\sum_{i=1}^{l}|J_{i}|^{d}.
\end{equation}
$
|
(19) |
对任意$1\leqslant i\leqslant l$, 注意到$\min_{I\in
\mathcal{F}_{m}}|I|\leqslant |f^{-1}(J)|$且$\max_{I\in
\mathcal{F}_{m}}|I|\leqslant 2\min_{I\in \mathcal{F}_{m}}|I|$, 我们有$|f^{-1}(J_{j})|\leqslant 2\min_{I\in
\mathcal{F}_{m}}|I|\leqslant 2|f^{-1}(J)|$.又因为$J$与$J_{j}$相交, 所以$f^{-1}(J_{j})\subset
6f^{-1}(J)$, 其中$6f^{-1}(J)$表示长为$6|f^{-1}(J)|$、中心与$f^{-1}(J)$相同的闭区间.由引理1.3有$|J_{j}|\leqslant |f(6f^{-1}(J))|\leqslant
K_{6}|J|$, 联立 (19) 式得$\mu_{d}(J)\leqslant
2M^{2}C^{\prime\prime}K_{6}^{d}|J|^{d}$.取$C=2M^{2}C^{\prime\prime}K_{6}^{d}$, 则对任意闭区间$J\subset[0, 1]$, $\mu_{d}(J)\leqslant C|J|^{d}$, 由引理1.2得$\dim_{H}f(E)\geqslant d$, 由$d\in
(0, 1)$的任意性, 有$\dim_{H}f(E)=1$.
3.4 定理2.2的证明
设$E\in \mathcal{J}(I_{0}, \{n_{k}\}, \{c_{k}\},
\{\eta_{k, j}\})$为满足定理2.2条件的齐次完全集, $\dim_{P}E=1$,
$E= \bigcap_{m=0}^{\infty}{F_{m}}$, 其中$\{F_{m}\}_{m=0}^{\infty}$为引理3.1中的序列,
$f$为$E$上的任意一维拟对称映射, 由引理1.1得
|
$
\limsup_{k\rightarrow
\infty}\frac{\log_{M}N_{k+1}}{-\log_{M}\Big(\dfrac{\delta_{k}}{n_{k+1}}\Big)}\geqslant
\limsup_{k\rightarrow \infty}\dfrac{\log_{M}N_{k+1}}{-\log_{M}
\Big(\dfrac{\delta_{k}-\eta_{k+1, 0}-\eta_{k+1, n_{k+1}}}{n_{k+1}}\Big)}\\=\dim_{P}E=1,
$
|
从而$\limsup_{k\rightarrow
\infty}\frac{\log_{M}N_{k}}{\log_{M}N_{k}-\log_{M}N_{k-1}\delta_{k-1}}=1$, 即$\limsup_{k\rightarrow
\infty}(N_{k-1}\delta_{k-1})^{\frac{1}{\log_{M}N_{k}}}=1$, 又因为 $\log_{M} N_{k}\leqslant 2m_{k}$,
$m_{k}-1\geqslant \frac{1}{2}m_{k}$,
$\frac{1}{c_{1}}N_{k-1}\delta_{k-1}\leqslant l(F_{m})$, 从而有$\limsup_{k \rightarrow
\infty}(l(F_{m_{k}-1}))^{\frac{1}{m_{k}-1}}\geqslant \limsup_{k
\rightarrow \infty}(N_{k-1}\delta_{k-1})^{\frac{1}{\log_{M}
N_{k}}}=1$, 而$\limsup_{k \rightarrow
\infty}(l(F_{m_{k}-1}))^{\frac{1}{m_{k}-1}}\leqslant \limsup_{k
\rightarrow \infty}(l(F_{m_{k}-1}))^{0} =1$, 所以
|
$
\begin{equation}
\limsup_{k \rightarrow
\infty}(l(F_{m_{k}-1}))^{\frac{1}{m_{k}-1}}=1.
\end{equation}
$
|
(20) |
用$\{a_{k}\}_{k=1}^{\infty}$表示序列$\{m_{k}-1\}_{k=1}^{\infty}$, 类似引理3.3的证明方法, 利用 (20) 式可得, 对任意$\epsilon \in
(0, 1)$,
|
$
\begin{equation}
\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{{\rm card}S(a_{k}, \epsilon)}{a_{k}}=1,
\end{equation}
$
|
(21) |
给定$p \in (0, 1]$, 则对充分小的$\epsilon \in (0, 1)$,
|
$
\begin{equation}
\lim_{k \rightarrow \infty}\Big(\prod_{j\in
S(a_{k}, \epsilon)}(1-(\gamma_{\ast}(j))^{p})\Big)^{\frac{1}{a_{k}}}=1.
\end{equation}
$
|
(22) |
由 (20)-(22) 式, 利用引理3.4的证明方法 (将引理3.4证明中的$m$用$a_{k}$代替), 可得到对任意$d\in(0, 1)$, $k\geqslant 1$, 任意$f(E)$的$a_{k}$阶基本区间$J$, 存在与$J$、$K$无关的常数$C^{\prime\prime\prime}$, 使得$\mu_{d}(J)\leqslant C^{\prime\prime\prime}|J|^{d}$, 由引理1.2可得$\dim_{P}f(E)\geqslant d$.由$d\in
(0, 1)$的任意性, 有$\dim_{P}f(E)=1$.
致谢:
作者衷心地感谢审稿人, 感谢他们提出的意见与建议.
