0 引言

将考虑如下一类具有异号源项的高阶波动方程的初边值问题:

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{lr} u_{tt}-\Delta u+\Delta^2u-{\text{div}} (|\nabla u|^{k-2}\nabla u)-\alpha\Delta u_t=a|u|^{p-2}u-b|u| ^{q-2}u, x\in\Omega, t>0, \\ u(x, 0)=u_0(x), u_t(x, 0)=u_1(x), x\in\Omega, \\ u(x, t)=\Delta u(x, t)=0, x\in\partial\Omega, t\geqslant 0, \end{array}\right. \end{align} $

(1)

其中有界区域$\Omega\subset {\mathbb{R}}^n$具有光滑边界, 常数$a, b, \alpha>0$且$p, q, k$满足:

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{l} 2<q<k<p<+\infty\;(n=1, 2), \\ 2<q<k<p<\dfrac{n+2}{n-2}\;(n\geqslant 3), \end{array}\right. \end{align} $

(2)

二阶项${\text{div}}(|\nabla u|^{k-2}\nabla u)$称为$k$阶拉普拉斯算子.

最近, 波动方程整体解的存在性问题受到众多国内学者的关注, 含有正定能量的波动方程$u_{tt}-\Delta u=-|u|^{p-1}u$和含有非正定能量的波动方程$u_{tt}-\Delta u=|u|^{p-1}u$是最重要的两个半线性波动方程.研究表明, 当波动方程含有正定能量时, 利用Galerkin逼近法可以有效解决, 但是当波动方程含有非正定能量时, 仅用该方法无法解决. 1968年Sattinger利用位势井方法研究了非正定能量的波动方程整体解的存在性问题^[1], 1975年Payne和Sattinger讨论了波动方程$u_{tt}-\Delta u=-|u|^{p-1}u$整体解的存在性和爆破条件^[2], 最近刘亚成在文献[3]中讨论了该方程初边值问题的整体解的真空隔离现象, 并在文献[4]中将该现象推广至一类含有强阻尼项的波动方程, 随后许多国内学者开始关注波动方程整体解的真空隔离问题. 2007年徐润章等在文献[5]中给出了一类具有异号源项的波动方程$u_{tt}- \Delta u=a|u|^{p-1}u-b|u|^{q-1}u$, 证明了方程整体解的存在性, 并在文献[6]给出了该方程解在有限时间内爆破的条件, 同时文献[7]也对该方程进行了研究.

由于自然界中的大部分问题都存在着阻尼现象, 如具有表面张力的水波运动, 弹性杆的纵向运动以及导体在变化磁场中的运动等都包含阻尼现象, 所以许多学者一直在关注含有阻尼项的波动方程, 文献[8]和[9]分别讨论了含有弱阻尼项$\alpha u_t$的波动方程, 并得到了整体解的存在性, 文献[10]和[11]研究了具有强阻尼项$\alpha\Delta u_t$时对波动方程整体解性质的影响, 文献[12-14]考虑了含有非线性阻尼项$g(u_t)$的波动方程.最近, 徐润章等在文献[15]中考虑了一类具有强阻尼项的高阶波动方程$u_{tt}-\Delta u+\Delta^2u-\alpha\Delta u_t=f(u)$, 在函数$f(u)$满足一定条件下证明了整体解存在与不存在的最佳门槛结果.但是上述方程都没有考虑$k$阶拉普拉斯算子项对方程的影响.当含有$k$阶拉普拉斯算子项时, 方程的结构将会变得较为复杂, 文献[16]和[17]分别对两种不同类型的$p$阶拉普拉斯方程解的存在性进行了讨论, 文献[12]考虑了一类含有$k$阶拉普拉斯算子项的波动方程的初边值问题, 证明了整体解的存在性, 并在初始能量小于零的情况下, 分析了解的爆破现象, 但是他们既没有考虑初始能量大于零的情况, 也没有考虑方程整体解存在与不存在的最佳门槛结果.另外, 文献[18]和[19]讨论了高阶波动方程的初边值.本文将讨论含有$k$阶拉普拉斯算子项的高阶波动方程(1)的初边值问题, 应用位势井-凸性方法研究这类方程整体解存在与不存在的最佳条件, 据我们所知, 目前还没有这方面的结论.

1 主要引理

首先定义文中用到的一些记号.

$ (u, v)=\int_{\Omega}uv{\text{d}}\mathit{x}, \|u\|_m=\Big(\int_{\Omega}|u|^m{\text{d}}\mathit{x}\Big)^{\frac{1}{m}}, \|u\|_{H^m}=\Big(\sum\limits_{|s|\leqslant m}\|\partial^su\|^2\Big)^{\frac{1}{2}}, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|u\|=\|u\|_2, \|u\|_{H}^2=\|\nabla u\|^2+\|\Delta u\|^2, $

然后给出下面广义泛函和集合.

$ J(u)=\dfrac{1}{2}\|u\|^2_{H}+\dfrac{1}{k}\|\nabla u\|^k_k- \dfrac{a}{p}\|u\|^p_p+\dfrac{b}{q}\|u\|^q_q, $

(3)

$ I(u)=\|u\|^2_{H}+\|\nabla u\|^k_k-a\|u\|^p_p+b\|u\|^q_q, $

(4)

$ E(t)=E(u(t))=\dfrac{1}{2}\|u_t\|^2+J(u), $

(5)

$ W=\{u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega) \mid I(u)>0, J(u)<d\} \cup\{0\}, $

(6)

$ V=\{u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)\mid I(u)<0, J(u)<d\}, $

(7)

$ W'=\{u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)\mid I(u)>0\}\cup\{0\}, $

(8)

$ V'=\{u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)\mid I(u)<0\}, $

(9)

$ N=\{u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)\mid I(u)=0, u\neq 0\}, $

(10)

其中

$ \begin{align} d=\inf\limits_{u\in N} J(u). \end{align} $

(11)

现给出方程(1)弱解的定义如下.

定义1.1  称函数$u(x, t)$是方程(1)的一个弱解, 若$u\in L^{\infty}(0, T;H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega))$及$u_t\in L^{\infty}(0, T;L^2(\Omega))\cap L^2(0, T;H^1_0(\Omega))$, 并且满足下面条件.

(ⅰ) 对任意函数$v\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$, 有

$ \begin{align*} &(u_t, v)+\alpha (\nabla u, \nabla v)+\int_{0}^{t} ((\nabla u, \nabla v)+(\Delta u, \Delta v)+(|\nabla u|^ {k-2}\nabla u, \nabla v)){\text{d}}\tau\\ &=\int_{0}^{t}(a|u|^{p-2}u-b|u|^{q-2}u, v){\text{d}}\tau+(u_1, v)+\alpha(\nabla u_0, \nabla v); \end{align*} $

(ⅱ) $u(x, 0)=u_0(x)\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$, $u_t(x, 0)=u_1(x)\in L^2(\Omega)$;

(ⅲ) 对任意$t\in[0, T)$, $E(t)+\alpha\int^t_0\|\nabla u_{\tau}\|^2{\text{d}}\tau\leqslant E(0)$.

为了利用Galerkin方法得到近似解, 需要借助以下几个引理, 需要注意的是由于方程(1)中同时含有$k$阶拉普拉斯算子项和异号源项, 这些引理的计算过程将会更加精细, 阶数$k$必须满足公式(2).

引理1.1  设$u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$且$u\neq 0$, 则有

(1) $\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}J(\lambda u)=0$, $\lim\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}J(\lambda u)=-\infty$.

(2) 在区间$0<\lambda<+\infty$上, 存在唯一的$\lambda^{*}= \lambda^{*}(u)$满足$\frac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}} \lambda}\big|_{\lambda=\lambda^{*}}=0$.

(3) $J(\lambda u)$在$0\leqslant\lambda\leqslant\lambda^{*}$上单调增加, 在$\lambda^{*}\leqslant\lambda<+\infty$上单调减少, 在$\lambda=\lambda^{*}$处取到最大值.

(4) 当$0<\lambda<\lambda^{*}$时, $I(\lambda u)>0$; 当$\lambda^{*}<\lambda<+\infty$时, $I(\lambda u)<0$, 且$I(\lambda^{*}u)=0$.

证明  (1)利用$J(\lambda u)$的定义可知,

$ \begin{align*} J(\lambda u)&=\dfrac{1}{2}\lambda^2\|u\|^2_H+\dfrac{1}{k} \lambda^k\| \nabla u\|^k_k-\dfrac{a}{p}\lambda^p\|u\|^p_p+ \dfrac{b}{q}\lambda^q\|u\|^q_q\\ &=\lambda^2\Big[\dfrac{1}{2}\|u\|^2_H+\lambda^{k-2}\Big(\dfrac{1}{k}\| \nabla u\|^k_k-\dfrac{a}{p}\lambda^{p-k}\|u\|^p_p+ \dfrac{b}{q}\lambda^{q-k}\|u\|^q_q\Big)\Big], \end{align*} $

由于$p>k>q>2$, 所以$\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0} J(\lambda u)=0$, $\lim\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}J(\lambda u)=-\infty$.

(2) 直接对$J(\lambda u)$关于$\lambda$求导可得

$ \begin{align*} \dfrac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}}\lambda}&= \lambda\|u\|^2_H+\lambda^{k-1}\| \nabla u\|^k_k-a\lambda^{p-1} \|u\|^p_p+b\lambda^{q-1}\|u\|^q_q\\ &= \lambda(\|u\|^2_H+\lambda^{k-2}\| \nabla u\|^k_k-a\lambda^{p-2}\|u\|^p_p+b\lambda^{q-2}\|u\|^q_q). \end{align*} $

令$\frac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}}\lambda}=0$可得$a\lambda^{p-2}\|u\|^p_p-b\lambda^{q-2}\|u\|^ q_q-\lambda^{k-2}\| \nabla u\|^k_k=\|u\|^2_H$.记

$ \begin{align*} h(\lambda)&=a\lambda^{p-2}\|u\|^p_p-b\lambda^{q-2}\|u\|^q_q -\lambda^{k-2}\| \nabla u\|^k_k\\ &=\lambda^{k-2}(a\lambda^{p-k}\|u\|^p_p-b\lambda^{q-k}\|u\| ^q_q-\| \nabla u\|^k_k)=\lambda^{k-2}\tilde{h}(\lambda), \end{align*} $

这里$\tilde{h}(\lambda)=a\lambda^{p-k}\|u\|^p_p-b \lambda^{q-k}\|u\|^q_q-\| \nabla u\|^k_k$在$[0, +\infty)$上单调增加, 且

$ \begin{align*} \lim\limits_{\lambda\rightarrow 0^{+}}\tilde{h}(\lambda)=-\infty, \quad\lim\limits_ {\lambda\rightarrow +\infty}\widetilde{h}(\lambda)= +\infty, \end{align*} $

因此存在唯一的$\lambda_0>0$, 满足$\widetilde{h}(\lambda_0)=0$, 且当$0<\lambda<\lambda_0$时, $\widetilde{h}(\lambda)<0$; 当$\lambda_0<\lambda<+\infty$时, $\widetilde{h}(\lambda)>0$.又因为$h(\lambda)$在$\lambda_0<\lambda<+\infty$上单调增加, 所以对任意的$\|u\|^2_H>0$, 必定存在$\lambda^{*}>\lambda_0$使得$h(\lambda^{*})=\|u\|^2_H$, 于是

$ \begin{align*} \dfrac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}}\lambda}\Big |_{\lambda=\lambda^{*}}=0 . \end{align*} $

(3) 由上面的证明可知$\frac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}}\lambda}=\lambda(\|u\|^2_H-h(\lambda))$.因为当$0<\lambda<\lambda_0$时, $h(\lambda)<0$; 当$\lambda_0<\lambda<\lambda^{*}$时, $0<h(\lambda)<\|u\|^2_H$; 当$\lambda^{*}<\lambda<\infty$时, $h(\lambda)>\|u\|^2_H$.所以当$0<\lambda<\lambda^{*}$时, $\frac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}}\lambda}>0$; 当$\lambda^{*}<\lambda<+\infty$时, $\frac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}}\lambda}<0$.得证.

(4) 利用$I(\lambda u)=\lambda\frac{{\text{d}}J(\lambda u)}{{\text{d}}\lambda}$可以得到结论.

引理1.2  设$u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$, 则有如下结论.

(1) 若$0<\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k<r_0$, 则$I(u)>0$.

(2) 若$I(u)<0$, 则$\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k>r_0$.

(3) 若$I(u)=0$且$u\neq 0$, 则$\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k \geqslant r_0$, 其中$r_0=(\frac{1}{aC^p_*})^{\frac{2}{p-2}}$, 这里$C_*=\sup\limits_{u\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)}\frac{\|u\|_p}{\|u\|_H}$.

证明  (1)因为$0<\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k<r_0$, 所以利用Sobolev嵌入定理可得

$ \begin{align*} a\|u\|^p_p-b\|u\|^q_q&\leqslant a\|u\|^p_p\\ &\leqslant aC^p_{*}\|u\|^p_H\\ &\leqslant aC^p_{*}\|u\|^2_H\|u\|^{p-2}_H\\ &< aC^p_{*}r^{\frac{p-2}{2}}_0(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k)\\ &= \|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k, \end{align*} $

从而$I(u)>0$.

(2) 因为$I(u)<0$, 利用上面类似的证明方法可知

$ \begin{align*} \|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k<a\|u\|^p_p-b\|u\|^q_q\leqslant aC^p_{*}(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k)^{\frac{p-2}{2}}(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k), \end{align*} $

从而, $\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k>r_0$.

(3) 因为$I(u)=0$, 所以

$ \begin{align*} \|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k=a\|u\|^p_p-b\|u\|^q_q\leqslant aC^p_{*}(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k)^{\frac{p-2}{2}}(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k), \end{align*} $

从而, $\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k\geqslant r_0$.

引理1.3  $d\geqslant d_0=\frac{p-k}{kp}r_0$.

证明  对任意$u\in N$, 由引理1.2知$\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k\geqslant r_0$, 所以利用$2<q<k<p$可得

$ \begin{align*} J(u)&=\dfrac{1}{2}\|u\|^2_{H}+\dfrac{1}{k}\|\nabla u\|^k_k- \dfrac{a}{p}\|u\|^p_p+\dfrac{b}{q}\|u\|^q_q\\ &>\dfrac{1}{2}\|u\|^2_{H}+\dfrac{1}{k}\|\nabla u\|^k_k- \dfrac{1}{p}(a\|u\|^p_p-b\|u\|^q_q)\\ &>\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{p}\Big)\|u\|^2_H+\Big(\dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{p}\Big)\|\nabla u\|^k_k+\dfrac{1}{p}I(u)\\ &>\Big(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{p}\Big)(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^ k_k)\\ &\geqslant \dfrac{p-k}{kp}r_0=d_0 . \end{align*} $

利用文献[15]和[20]中类似的方法, 可以得出下面的结论.

命题1.1  设$u_0(x)\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$且$u_1(x)\in L^2(\Omega)$, 如果$E(0)<d$, 则集合$W'$和$V'$在方程(1)-(2)下是不变的.

推论1.1  设$u_0(x)\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$且$u_1(x) \in L^2(\Omega)$, 若$E(0)<d$, 则

(1) 如果$u_0\in W'$, 则方程(1)-(2)的所有弱解$u(x, t)\in W$;

(2) 如果$u_0\in V'$, 则方程(1)-(2)的所有弱解$u(x, t)\in V$.

2 主要结论

首先利用Galerkin逼近法和位势井法相结合证明方程(1)-(2)整体弱解的存在性, 由于方程(1)同时含有$k$阶拉普拉斯算子项和异号源项, 所以在计算过程中, 常数$k$、$p$和$q$需满足公式(2).

定理2.1  设$u_0(x) \in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$且$u_1(x)\in L^2(\Omega)$, 若$E(0)<d$, 且$u_0(x) \in W'$, 则方程(1)-(2)存在一个整体弱解$u(x, t)$, 满足

$ \begin{align*} u\in L^{\infty}(0, \infty; H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)), u_t\in L^{\infty}(0, \infty;L^2(\Omega))\cap L^2(0, \infty;H^1_0(\Omega)), \end{align*} $

而且对任意的$0\leqslant t< +\infty$, 有$u(t)\in W$.

证明  记$\{w_j(x)\}$为空间$\Omega$中使得$-\Delta w=\lambda w, w|_{\partial \Omega}=0$成立的一个基础解系, 根据Galerkin方法构造方程(1)-(2)的近似解为

$\begin{align*} u_l(x, t)=\sum\limits^{l}\limits_{j=1}d^j_l(t)w_j(x)\quad (l=1, 2, 3, \cdots), \end{align*} $

$d^j_l(t)$满足如下常微分方程

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{lr} (u_{ltt}, w_j)+(\nabla u_l, \nabla w_j)+(\Delta u_l, \Delta w_j)+ (|\nabla u_l|^{k-2}\nabla u_l, \nabla w_j)+ \alpha(\nabla u_{lt}, \nabla w_j)\\ \quad =(a|u_l|^{p-2}u_l-b|u_l|^{q-2}u_l, w_j), x\in\Omega, t>0, \\ u_l(x, 0)=\sum\limits^{l}\limits_{j=1}d^j_l(0)w_j(x)\rightarrow u_0(x), \mbox{在}H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)\mbox{中}, \\ u_{lt}(x, 0)=\sum\limits^{l}\limits_{j=1}d^{j'}_l(0)w_j(x) \rightarrow u_1(x), \mbox{在} L^2(\Omega)\mbox{中}. \end{array}\right. \end{align} $

(12)

将方程(12)两边同乘以$(d^{j}_l(t))'$并对$j$求和可得

$ \begin{align} \dfrac{{\text{d}}E(u_l(t))}{{\text{d}}t}+\alpha\| \nabla u_{lt}\|^2=0, \end{align} $

(13)

两边积分可得

$ \begin{align} E(u_l(t))+\alpha\int_{0}^{t}\| \nabla u_{l\tau}\|^2 {\text{d}}\tau=E(u_l(0)). \end{align} $

(14)

由于$E(0)<d$, 所以由上式可知, 对充分大的$l$有$E(u_l(0))<d$, 从而

$ \begin{align} E(u_l(t))+\alpha\int_{0}^{t}\| \nabla u_{l\tau}\|^2 {\text{d}} \tau<d, \end{align} $

(15)

再利用$E(u_l(t))=\frac{1}{2}\| u_{lt}\|^2+J(u_l)$, 所以对充分大的$l$, 有

$ \begin{align} \frac{1}{2}\| u_{lt}\|^2+J(u_l)+\alpha\int_{0}^{t}\| \nabla u_{l\tau}\|^2{\text{d}}\tau<d. \end{align} $

(16)

另外, 由$u_0\in W'$和公式(16)可得, 对充分大的$l$有$u_l(0) \in W'$, 再利用文献[20]类似的方法可得, 对充分大的$l$有$u_l(t)\in W(0\leqslant t<+\infty)$.

仿照引理1.3的证明可得

$ \begin{align} \dfrac{p-k}{kp}(\|u_l\|^2_H+\|\nabla u_l\|^k_k)+\dfrac{1}{p}I(u_l)\leqslant J(u_l), \end{align} $

(17)

于是, 由公式(16)和(17)可得, 对充分大的$l$有

$ \begin{align} \dfrac{1}{2}\| u_{lt}\|^2+\dfrac{p-k}{kp}(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k)+\alpha\int_{0}^{t}\| \nabla u_{l\tau}\|^2 {\text{d}}\tau<d\, (0\leqslant t<+\infty), \end{align} $

(18)

再利用Sobolev嵌入定理和公式(18)可得, 对充分大的$l$有

$ a\|u_l\|^p_p\leqslant aC^p_{*}\|u\|^2_H<aC^p_{*}\dfrac{kp} {p-k}d, 0\leqslant t<+\infty, $

(19)

$ b\|u_l\|^q_q\leqslant aC^q_{*}\|u\|^2_H<aC^q_{*}\dfrac{kp}{p-k}d, 0\leqslant t<+\infty, $

(20)

所以由致密性定理可知, 必定存在$\{u_l\}$的一个子序列$\{u_\nu\}$, 使得当$\nu\rightarrow +\infty$时, 有

$u_\nu\rightarrow u, $ $\mbox{在}L^{\infty}(0, \infty; H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega))\mbox{中弱*收敛}, $$ \mbox{且在} \Omega\times[0, +\infty)\mbox{中几乎处处收敛};$

$u_{\nu t}\rightarrow u_t, $ $\mbox{在}L^\infty(0, \infty; L^2(\Omega))\mbox{中弱*收敛}, $$\mbox{且在}L^2(0, \infty;H^{1}_0 (\Omega))\mbox{中弱收敛};$

$ \nabla u_\nu\rightarrow\nabla u, \quad\mbox{在}\Omega \times[0, +\infty)$中几乎处处收敛;

$| \nabla u_\nu|^{k-2}\nabla u_\nu\rightarrow \gamma, $ $\mbox{在}L^\infty(0, \infty;L^{k'}(\Omega))$$\mbox{上弱*收敛}, \mbox{且在}\Omega\times[0, +\infty)$中几乎处处收敛;

$a|u_\nu|^{p-2}u_\nu\rightarrow \eta, $$\mbox{在}L^\infty( 0, \infty;L^{p'}(\Omega))\mbox{上弱*收敛}, $ $\mbox{且在} \Omega\times[0, +\infty)$中几乎处处收敛;

$a|u_\nu|^{q-2}u_\nu\rightarrow \xi, $$\quad\mbox{在}L^\infty(0, \infty;L^{q'}(\Omega)) \mbox{上弱*收敛}, $$\mbox{且在} \Omega\times[0, +\infty)$中几乎处处收敛.

其中$k'=\frac{k}{k-1}, p'=\frac{p}{p-1}, q'=\frac{q}{q-1}$.根据文献[21]的Lions引理可以推出

$ \begin{align*} \gamma=| \nabla u|^{k-2}\nabla u, \eta=a|u|^{p-2}u, \xi=b|u|^{q-2}u. \end{align*} $

关于$k$阶拉普拉斯算子的收敛性的进一步讨论可以参考文献[12].

对方程(12)两边积分并令$\nu\rightarrow +\infty$, 可得

$ \begin{align*} &\quad (u_t, w_j)+\alpha(\nabla u, \nabla w_j)+\int_{0}^{t} [(\nabla u, \nabla w_j)+(\Delta u, \Delta w_j)+(| \nabla u|^ {k-2}\nabla u, w_j)]{\text{d}}\tau\\ &= \int_{0}^{t}(a|u|^{p-2}u-b|u|^{q-2}u, w_j) {\text{d}}\tau+(u_1(x), w_j)+\alpha(\nabla u_0(x), \nabla w_j), \end{align*} $

所以对任意的$v\in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$有

$ \begin{align} &\quad(u_t, v)+\alpha(\nabla u, \nabla v)+\int_{0}^{t} [(\nabla u, \nabla v)+(\Delta u, \Delta v)+(| \nabla u|^{k-2} \nabla u, v)]{\text{d}}\tau\notag\\ &=\int_{0}^{t}(a|u|^{p-2}u-b|u|^{q-2}u, v){\text{d}}\tau+(u_1(x), v)+\alpha(\nabla u_0(x), \nabla v), \end{align} $

(21)

另外利用公式(14)可得

$ \begin{align*} &\dfrac{1}{2}\|u_t\|^2+\dfrac{1}{2}\|u\|^2_{H}+\dfrac{1}{k} \|\nabla u\|^k_k+\alpha\int_{0}^{t}\| \nabla u_\tau\|^2{\text{d}}\tau\\ &\leqslant \liminf\limits_{\nu\rightarrow\infty}\Big( \dfrac{1}{2}\|u_{\nu t}\|^2+\dfrac{1}{2}\|u_\nu\|^2_{H}+ \dfrac{1}{k}\|\nabla u_\nu\|^k_k+\alpha\int_{0}^{t}\| \nabla u_{\nu\tau}\|^2{\text{d}}\tau\Big)\\ &\leqslant \liminf\limits_{\nu\rightarrow\infty}\Big(E(u_\nu(0))+ \dfrac{a}{p}\|u_\nu\|^p_p-\dfrac{b}{q}\|u_\nu\|^q_q\Big)\\ &\leqslant E(u_0(x))+\dfrac{a}{p}\|u\|^p_p-\dfrac{b}{q}\|u\|^ q_q, \end{align*} $

从而

$ \begin{align*} E(u(t))+\alpha\int_{0}^{t}\| \nabla u_\tau\|^2 {\text{d}} \tau\leqslant E(u_0(x)), \end{align*} $

所以$u$为方程(1)-(2)的一个整体弱解, 并且利用推论1.1可知$u\in W$.

现在利用位势井结合凸性的方法讨论方程(1)-(2)整体弱解的不存在性.

定理2.2  设$u_0(x) \in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$, $u_1(x)\in L^2(\Omega)$.若$E(0)<d_0$, 且$I(u_0)<0$, 常数$\alpha$满足

$ \begin{align} \left\{\!\!\begin{array}{l} 0<\alpha<(p-2)\sqrt{1-\dfrac{E(0)}{d_0}}\quad(0<E(0)<d_0), \\ 0<\alpha<p-2, \quad E(0)\leqslant 0, \end{array}\right. \end{align} $

(22)

则方程(1)-(2)不存在任何整体弱解.

证明  记$u(t)$为方程(1)-(2)的任意弱解, 并且$E(0)<d_0$, $I(u_0)<0$, 令常数$T$为解$u(t)$的最大存在时间.设$F(t)=\|u\|^2$, 则它的导数为$F'(t)=2(u_t, u)$, $F''(t)=2\|u_t\|^2+2(u_{tt}, u)$.将方程(1)代入, 经计算可得, 对任意$0\leqslant t<\infty$, 有

$ \begin{align*} F''(t)=2\|u_t\|^2-2I(u)+2\alpha(u_t, \Delta u), \end{align*} $

所以, 利用弱解定义中的(ⅲ)可得

$ \begin{align} F''(t)&\geqslant 2\|u_t\|^2-2\|u\|^2_H-2\|\nabla u\|^k_k+2p\Big( \dfrac{a}{p}\|u\|^p_p-\dfrac{b}{q}\|u\|^q_q\Big)+ 2\alpha(u_t, \Delta u)\nonumber\\ &\geqslant (p+2)\|u_t\|^2+(p-2)\|u\|^2_H+\Big(\dfrac{2p}{k}-2\Big) \|\nabla u\|^k_k-2pE(t)+2\alpha(u_t, \Delta u)\nonumber\\ &\geqslant (p+2)\|u_t\|^2+(p-2)\|u\|^2_H+\Big(\dfrac{2p}{k}-2\Big)\|\nabla u\|^k_k-2pE(0)+2\alpha(u_t, \Delta u). \end{align} $

(23)

下面分情况讨论.

(1) $0<E(0)<d_0$

此时, 由$0<\alpha<(p-2)\sqrt{1-\frac{E(0)}{d_0}}$可知, 存在$\varepsilon\in\Big(0, (p-2)\sqrt{1-\frac{E(0)}{d_0}}\Big)$, 使得$\alpha^2<(p-2-\varepsilon)((p-2)(1-\frac{E(0)}{d_0})- \varepsilon)$, 由于

$ \begin{align} 2\alpha|(u_t, \Delta u)|&\leqslant (p-2-\varepsilon)\|u_t\|^2 +\dfrac{\alpha^2}{p-2-\varepsilon}\|\Delta u\|^2\nonumber\\ &\leqslant (p-2-\varepsilon)\|u_t\|^2+\Big((p-2)\Big(1-\dfrac{E(0)}{d_0}\Big)- \varepsilon\Big)\|u\|^2_H, \end{align} $

(24)

所以利用公式(23)-(24)和$E(0)<d_0$可得

$ \begin{align*} F^{''}(t)&\geqslant (4\!+\!\varepsilon)\|u_t\|^2\!+\! (p\!-\!2\!-\!\varepsilon)\|u_t\|^2\!+\!(p\!-\!2)\|u\|^2_H\!+\! \Big(\dfrac{2p}{k}\!-\!2\Big) \|\nabla u\|^k_k\!-\!2pE(0)\!+\!2\alpha(u_t, \Delta u)\\ &\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+(p-2-\varepsilon) \|u_t\|^2+\dfrac{2(p-k)}{k}\cdot\dfrac{E(0)}{d_0}\|\nabla u\| ^k_k+2\alpha(u_t, \Delta u)\\ &\quad +\Big((p-2)\Big(1-\dfrac{E(0)}{d_0}\Big)-\varepsilon\Big) \|u\|^2_H+\varepsilon\|u\|^2_H+(p-2)\dfrac{E(0)}{d_0}\|u\|^2_H -2pE(0)\\ &\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+\dfrac{2(p-k)}{k}\cdot\dfrac{E(0)}{d_0} \|\nabla u\|^k_k+\varepsilon\|u\|^2_H+(p-2)\dfrac{E(0)}{d_0}\|u\|^2_ H-2pE(0). \end{align*} $

由推论1.1知, 对任意$0\leqslant t<\infty$, 有$u(t)\in V$, 所以利用引理1.2的结论(2)可得, $\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k>r_0$, 再利用$d_0=\frac{p-k}{kp}r_0$可得

$ \begin{align*} &\quad\dfrac{2(p-k)}{k}\cdot\dfrac{E(0)}{d_0}\|\nabla u\|^k_k+ \varepsilon\|u\|^2_H+(p-2)\dfrac{E(0)}{d_0}\|u\|^2_H\\ &\geqslant \dfrac{2(p-k)}{k}\cdot\dfrac{E(0)}{d_0}(\|u\|^2_H+ \|\nabla u\|^k_k)\\ &\geqslant \dfrac{2(p-k)}{k}\cdot\dfrac{E(0)}{d_0}r_0=2pE(0), \end{align*} $

所以

$ \begin{align} F''(t)\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+\varepsilon\|u\|^2_H. \end{align} $

(25)

取$\chi=\frac{\|u\|^2_H}{\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k}$, 于是$0<\chi<1$, 利用$\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k>r_0$可得

$ \begin{align} F''(t)\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+\varepsilon\chi(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k)\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+\varepsilon\chi r_0. \end{align} $

(26)

(2) $E(0)\leqslant 0$

由$0<\alpha<p-2$可知, 存在$\varepsilon\in(0, p-2)$, 使得$\alpha<p-2-\varepsilon$.又因为

$ \begin{align*} 2\alpha|(u_t, \Delta u)|\leqslant (p-2-\varepsilon)\|u_t\|^2+\dfrac{\alpha^2}{p-2-\varepsilon}\| \Delta u\|^2\leqslant (p-2-\varepsilon)\|u_t\|^2+(p-2-\varepsilon)\|u\|^2_H, \end{align*} $

利用上面类似的方法可得

$ \begin{align*} F^{''}(t)&\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+(p-2-\varepsilon) \|u_t\|^2+(p-2-\varepsilon)\|u\|^2_H+\varepsilon\|u\|^2_H\\ &\quad+\dfrac{2(p-k)}{k}\|\nabla u\|^k_k-2pE(0)+2\alpha(u_t, \Delta u)\\ &\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+\varepsilon\|u\|^2_H+ \dfrac{2(p-k)}{k}\|\nabla u\|^k_k-2pE(0)\\ &\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+\min\Big\{\varepsilon, \dfrac{2(p-k)}{k}\Big\}(\|u\|^2_H+\|\nabla u\|^k_k)-2pE(0)\\ &\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+\min\Big\{\varepsilon, \dfrac{2(p-k)} {k}\Big\}r_0-2pE(0). \end{align*} $

于是, 利用上式和公式(26)可得, 存在$\delta_0>0$, 使得对任意的$E(0)<d_0$有

$ \begin{align} F^{''}(t)\geqslant (4+\varepsilon)\|u_t\|^2+ \delta_0, (0\leqslant t<\infty), \end{align} $

(27)

因此, 由$F(t)=\|u\|^2$和$F'(t)=2(u_t, u)$可得

$ \begin{align*} F(t)F''(t)-\dfrac{4+\varepsilon}{4}(F'(t))^2\geqslant (4+\varepsilon)(\|u_t\|^2\|u\|^2-(u_t, u)^2)\geqslant 0, \end{align*} $

且经求导运算可得

$ [F^{-\beta}(t)]'=-\beta F^{-\beta-1}(t)F'(t), $

(28)

$ [F^{-\beta}(t)]''=\dfrac{-\beta}{F^{\beta+2}(t)}(F(t)F'' (t)-(\beta+1)(F'(t))^2)\leqslant 0, \quad \beta=\dfrac{\varepsilon}{4}, 0\leqslant t\leqslant\infty. $

(29)

另外, 对公式(27)两边积分可得$F'(t)\geqslant \delta_0t+F'(0)$, 所以必定存在一个$t_0\geqslant 0$, 使得

$ \begin{align} F'(t)>F'(t_0)>0\, (t_0<t<\infty). \end{align} $

(30)

对其积分后可得

$ \begin{align} F(t)\geqslant F'(t_0)(t-t_0)+F(t_0)\geqslant F'(t_0)(t-t_0)>0\, (t_0<t<\infty). \end{align} $

(31)

由公式(28)、(30)、(31), 可得$[F^{-\beta}(t)]'<0(t_0<t<\infty)$, 所以函数$F^{-\beta}(t)$在区间$t_0<t<\infty$上是单调递减的凸函数.

另一方面, 从公式(30)和(31)可得, 存在常数$t_1\geqslant t_0$, 使得

$ \begin{align*} F(t_1)>0\ \mbox{且}\ F^{'}(t_1)>0. \end{align*} $

所以必定存在一个常数$T_1>0$, 使得$\lim\limits_{t\rightarrow T_1}F^{-\beta}(t)=0$, 于是$\lim\limits_{t\rightarrow T_1}F(t)=+\infty$, 这显然与$T=+\infty$矛盾.

注2.1  文献[12]中仅讨论了初始能量$E(0)<0$的情况, 没有考虑$0\leqslant E(0)<d$, 定理2.2进一步完善了方程(1)的解存在性问题的相关理论, 另外定理2.2中的条件(22)可以去掉, 感兴趣的读者可以参考文献[18]和[19]的证法.

最后, 利用定理2.1和2.2可以得到方程(1)-(2)整体解存在与不存在的最佳门槛结果.

推论2.1  设$u_0(x) \in H^2(\Omega)\cap H^{1, k}_0(\Omega)$和$u_1(x)\in L^2(\Omega)$, 假定$E(0)<d_0$且$\alpha$满足公式(22), 则当$I(u_0)>0$时, 方程(1)-(2)存在一个整体弱解; 当$I(u_0)<0$时, 方程方程(1)-(2)不存在任何整体弱解.