0 引言

非线性孤子波理论在地球物理、光学、力学、理论物理学等学科中有很重要的应用.例如在地理科学、海洋物理、散射波、燃烧理论等方面, 许多学者作了多方面的研究, 如Salathiel等利用Riccati方程映射方法研究了电晶格孤子行波^[1], Yu等研究了Bose-Einstein冷凝体的孤子波^[2], Chow等研究了$\kappa $-折叠松散的Ricci孤子波^[3], 等等^[4-9].非线性孤子波理论的定量和定性方法已有很多的改进.非线性孤子波解的一种研究方法是扰动理论的近似方法, 主要是用扰动理论的近似展开式将非线性孤子波方程转化为易求解的方程来求解, 这样就摆脱了对于模拟数值方法的依赖.此方法的优点在于思路直接明了, 计算简单, 可得到解的较高近似度.且求得的近似解具有解析性态.故不但能进行定量方面的分析, 而且还能进行定性方面的分析.此方法使用面广, 具有较广的研究前景.

作者等人利用广义变分迭代、同伦映射、微分不等式和不动点理论等方法也研究了一些孤立波理论及有关的非线性问题^[10-15].本文就是研究一类非线性高维扰动KG(Klein-Gordon)方程.对于一般较典型的KG方程已有许多研究, 它代表的是许多自然现象的简化情形.但此类方程已经不完全能满足当前科学发展的要求, 所以需要研究更能反映自然现象的广义非线性高维强迫扰动KG方程.

1 非线性高维扰动KG方程

考虑如下广义非线性扰动KG方程:

$ \begin{aligned} u_{tt} -a\, (u_{xx} +u_{yy} +u_{zz} )-mu+ku^3=f(u, u_z ), \end{aligned} $

(1)

其中$a, \, m, \; k$为正的常数, $f$为非线性强迫扰动项, 它是关于其变量为足够光滑的函数.

近年来, 关于非线性KG方程解的研究大体集中在两个方面.一方面是利用分析方法求出各种方程的精确解, 如He等^[16]利用推广的$F$展开方法求得了某类发展方程的精确解, Zhang等^[17]利用变形映射方法给出了方程的精确解; 另一方面是定性地研究解的性态, 如Zhang等^[18]对KG方程给出波函数和能量方程. Teman^[19]证明了一类KG方程整体吸引子的存在性.近来, 典型的非线性KG方程还有许多研究, 例如文献[20-22]等, 但一般的典型KG方程代表的是各种自然现象的精简和浓缩, 它不能满足当前科学发展的需要, 故有必要来研究更能表示真实自然现象的广义扰动KG方程.显然, 复杂的非线性方程一般不能求出其精确解.本文提出了一类更一般的带有非线性高维扰动KG方程(1)的求近似解方法, 得到的这种近似解又可以继续进行解析分析, 进而能得到更深入的物理性态.

首先作行波变换:

$ \begin{aligned} w=c_1 x+c_2 y+c_3 z+b\, t, \end{aligned} $

(2)

其中$b, c_i \, (i=1, 2, 3)$为不全为零的常数.将行波变换(2)代入原方程(1), 可得

$ \begin{aligned} a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )u_{ww} -mu+ku^3=f(u, u_w ). \end{aligned} $

(3)

先考虑方程(3)当$f=0$的情形:

$ \begin{aligned} a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )u_{ww} -mu+ku^3=0. \end{aligned} $

(4)

我们用双曲函数待定系数的方法来求无扰动方程(4)的孤子波解.

设方程(4)有如下形式的解:

$ \begin{aligned} v =C \tanh (dw)+C_2 \tanh ^2(dw), \end{aligned} $

(5)

这时

$ \begin{aligned} v_{w} =d(1-\tanh ^2(dw))\, (C_1 +2C_2 \tanh (dw)), \end{aligned} $

(6)

$ \begin{aligned} v_{ww} =2d^2(1-\tanh ^2(dw))[C_2 -C_1 \tanh (dw)\, -3C_2 \tanh ^2(dw)]. \end{aligned} $

(7)

将式(5)—(7)代入方程(4)中, 合并关于$\tanh (dw)$的同类项, 且设各次幂的系数等于零, 得到:

$ \begin{aligned} C_1 =\sqrt {\frac{m}{k}} , \quad C_2 =0, \quad d=\frac{a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )\pm \sqrt {a^2(c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )^2-4m} }{2}. \end{aligned} $

(8)

将式(8)的结果代入式(5), 得到方程(4)的两个孤子波解:

$ \begin{aligned} v_1 (w)=\sqrt {\frac{m}{k}} \tanh \Big(\frac{a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )+\sqrt {a^2(c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )^2-4m} }{2}w \Big), \end{aligned} $

(9)

$ \begin{aligned} v_2 (w)=\sqrt {\frac{m}{k}} \tanh \Big(\frac{a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )-\sqrt {a^2(c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )^2-4m} }{2}w \Big). \end{aligned} $

(10)

将变换式(2)代入式(9)、(10), 得到无扰动KG方程(4)的两个孤子波行波解:

$ \begin{aligned} v_1 =\sqrt {\frac{m}{k}} \tanh \Big(\frac{a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )+\sqrt {a^2(c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )^2-4m} }{2}(c_1 x+c_2 y+c_3 z+b\, t)\Big), \end{aligned} $

(11)

$ \begin{aligned} v_2 =\sqrt {\frac{m}{k}} \tanh \Big(\frac{a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )-\sqrt {a^2(c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )^2-4m} }{2}(c_1 x+c_2 y+c_3 z+b\, t)\Big). \end{aligned} $

(12)

注   我们可以根据非线性KG方程的具体物理过程的要求来选取上述得到的两个不同的孤子波作为下面求得孤子波摄动解的出发点.

取$m=k=a=c_1 =c_2 =c_3 =1$, 则非线性无扰动KG方程(4)的解(11)的孤子波曲线如图 1所示.

不失一般性, 上述所列出的孤子波行波解(11)、(12), 在泛函变分迭代方法下, 都可作为扰动KG方程的泛函迭代式的初始近似.本文是利用式(9)作为初始近似, 即$u_0 (z)=v_1 (z)$, 并以此来求出对应的各次近似解.

2 强迫扰动KG方程解的变分迭代

为了求得非线性强迫扰动KG方程(3)具有较好精度的近似解, 现采用泛函分析变分迭代方法^[16].作泛函$F$:

$ \begin{equation} \label{eq13} F[u]=u-\int_{\;0}^{\;w} {\lambda (\xi )} [a\,(b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )u_{\xi \xi } -mu+k\overline {u}^3-\overline {f}(\overline {u},\overline {u}_w )]\mathrm d\xi , \end{equation} $

(13)

这里$\overline {u}, \overline {f}$分别为$u, \; f$的限制变量^[16], $\lambda $为变分待定函数.

计算式(13)的变分$\delta \, F$:

$ \begin{aligned} \delta \, F=\, &\delta \, u-a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )[\lambda (\xi )\delta \, u_\xi ]_{\xi =w}\notag\\ &+\int_{\;0}^{\, w} {\left[ {a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\frac{\mathrm d\lambda }{\mathrm d\xi }\cdot\frac{\mathrm d\, u}{\mathrm d\xi }-m\lambda } \right]} \, \delta u\mathrm d\xi\notag\\ =\, &\delta \, u-a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )[\lambda (\xi )\delta \, u_\xi ]_{\xi =w} \notag\\ &+a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\left[ {\frac{\mathrm d\lambda }{\mathrm d\xi }u} \right]_{\xi =w} \notag\\ &-\int_{\;0}^{\, w} {\left[ {a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\frac{\mathrm d^2\lambda }{\mathrm d\xi ^2}+m^2\lambda } \right]} \, \delta \, u\, \mathrm d\xi . \end{aligned} $

可得

$ \begin{align} \delta \, F=\, &\delta {\kern 1pt}u+\left( {-\int_{\;0}^{\, w} {\left[ {a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\frac{\mathrm d^2\lambda }{\mathrm d\xi ^2}+m^2\lambda } \right]} \, \delta \, u\, \mathrm d\xi } \right)(\lambda \delta u_\xi ) \left| {_{\xi =w} } \right.\notag\\ &-\left(-\int_{\;0}^{\, w} {\left[ {a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\frac{\mathrm d^2\lambda }{\mathrm d\xi ^2}+m^2\lambda } \right]\, } \delta u\mathrm d\xi \right)(\lambda _\xi \delta u)\left| {_{\xi =w} } \right. \notag\\ &+\int_{\;0}^{\;z} {[a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\lambda _{\xi \xi } +m^2\lambda ]\delta u\mathrm d\xi } . \end{align} $

(14)

令泛函$\, F$的变分$\delta \, F$为零, 即$\delta \, F=0$, 由式(14), 得:

$ \begin{aligned} &\delta u-a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )(\lambda _\xi\delta u)\left| {_{\xi =w} } \right.=0, \\ &a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )(\lambda \delta u_\xi )\left| {_{\xi =w} } \right.=0, \\ &\int_{\;0}^{\;w} {[a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\lambda _{\xi \xi } +m\lambda ]\delta u\mathrm d\xi } =0. \end{aligned} $

于是由上述诸式可取对应的变分函数$\lambda (\xi)$满足方程

$ \begin{aligned} a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )\frac{\mathrm d^2\lambda }{\mathrm d\xi ^2}+m\lambda =0, \end{aligned} $

及对应的初始条件:

$ \begin{aligned} \lambda (\xi )\left| {_{\xi =w} } \right.=0, \quad \frac{\mbox{d}\lambda }{\mathrm dw}\Big|_{\, \xi =w} =\frac{1}{a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )} . \end{aligned} $

于是可得

$ \begin{aligned} \lambda (\xi )=-\sqrt {\frac{a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )}{m}} \sin \;\left( {\frac{\sqrt m }{\sqrt {a (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )} }(w-\xi )} \right). \end{aligned} $

(15)

由式(14)、(15), 构造强迫扰动KG方程(3)解的迭代表示式:

$ \begin{align} u_{n+1} =\, &u_n +\sqrt {\frac{a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )}{m}} \notag\\ &\times \int_{\;0}^w {\sin \left( {\frac{\sqrt m }{\sqrt {a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )} }(w-\xi )} \right)\, } [a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )(u_{n})_{\xi \xi } \notag\\ &-mu_n +ku_n^3 -{\kern 1pt}f(u_n , b(u_{n}){_{\xi }} )]\mathrm d\xi , \quad n=0, 1, \cdots . \end{align} $

(16)

选取典型的非线性方程(4)的一个孤子波解式(9)作为扰动KG方程的泛函迭代式(16)的初始近似$u_0 (w)$, 即

$ \begin{aligned} u_0 (w)=\sqrt {\frac{m}{k}} \tanh \Big(\frac{a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )+\sqrt {a^2(c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )^2-4m} }{2}w\Big). \end{aligned} $

(17)

将式(17)代入式(16), 得到非线性强迫扰动方程(3)的一次近似解$u_1 (w)$:

$ \begin{align} u_1 (w)=\, &\sqrt {\frac{m}{k}} \tanh \Big(\frac{a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )+\sqrt {a^2(c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 )^2-4m} }{2}w\Big) \notag\\ &-\sqrt {\frac{a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )}{m}} \notag\\ &\times \int_{\;0}^w {\sin \, \left( {\frac{\sqrt m }{\sqrt {a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )} }(w-\xi )} \right)} [a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )(u_{0}){_{\xi \xi }} \notag\\ &-mu_n +ku_0^3 -f(u_0 , b(u_{0}){_{\xi }} )]\mathrm d\xi , \end{align} $

(18)

其中$u_0 $由式(17)决定.

由式(16)—(18)等迭代关系式, 依次可得到$u_n (w)\; \, (n=2, 3, \cdots)$.

现利用微分方程Picard逐次逼近法来证明函数序列$\{u_n (w):\; n= 0, 1, \cdots \}$在$\left| w \right|\le W_0\; (W_0 $为足够大的正常数)上是一致收敛的.

事实上, 迭代式(16)可写为:

$ \begin{aligned} u_{n+1} =\, &u_n +\sqrt {\frac{a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 )}{m}} \; \\ &\times \int_{\;0}^{\;w} {\sin \left( {\frac{\sqrt m }{\sqrt {a\, (b^2-c_1^2 -c_2^2 -c_3^2 } )\;{\kern 1pt}}(w-\xi )} \right)} \\ &\times [L(u_n (\xi ))-ku_n^3 -\, f(u_n (\xi ), b(u_{n}){_{\xi }} )]\mathrm d\xi , \end{aligned} $

其中

$ \begin{aligned} L(\, u(w))=a\, (c_1^2 +c_2^2 +c_3^2 -b^2)u_{ww} -mu_w . \end{aligned} $

由非线性强迫扰动KG方程(1)的假设和泛函分析变分原理及其Euler方程的变分原理极值理论, 若$f$在$\left| w \right|\le W_0 $上为充分光滑的, 再由迭代式(16)可依次决定的序列函数$\{u_n (w)\}\; (n=0, 1, \cdots)$及其各阶导数在$\left| w \right|\le W_0 $上充分光滑且有界.可得$[L(u)+ku^3-\, f]$在$\left| w \right|\le W_0 $上满足Lipschitz条件:存在充分大的常数$K>0$, 使得

$ \begin{aligned} \left| {\;(L(w_1 )-kw_1^3 -\, f)-(L(w_2 )-kw_2^3 -\, f)\;} \right|\le K\left| {w_1 -w_2 } \right| \end{aligned} $

对于一切的$w_1, \; w_2\, $在$\left| w \right|\le W_0 $上成立.由迭代式(16), 通过积分关系式的估计, 可用归纳法依次得到不等式:

$ \begin{aligned} \left| {u_j (w)-u_{j-1} (w)} \right|\le \frac{\sqrt {1-a^2} K}{\, j!\cdot m}W_0^j , \quad \left| w \right|\le W_0 , \;\, j=1, 2, \cdots , \end{aligned} $

其中$K$为足够大的正常数.故由Weierstrass判别法, 级数$u_0 (w)+$ $\sum\limits_{j=1}^\infty [u_j (w)-u_{j-1} (w)]$在$\left| w \right|\le W_0 $上绝对收敛且一致收敛.

于是可得如下结论.

定理   在方程(1)中, 设$a$, $m$, $k$为正的常数, $f$为非线性强迫扰动项, 它是关于其变量为足够光滑的函数, 则函数列$\left\{ {u_n (w)} \right\}\; $在$\left| w \right|\le W_0 $上绝对收敛且一致收敛.

由式(16)知,

$ \begin{aligned} u(w)=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } u_n (w) \end{aligned} $

(19)

就是非线性强迫扰动KG方程(3)的精确解.而$u_n (w)\; (n= 0, 1, \cdots)$为方程(3)的第$n$次近似解.

将行波变换(2)代入式(19): $u(t, x, y, z)=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } u_n (t, x, y, z)$.则$u(t, x, y, z)$就是非线性强迫扰动KG方程(1)的精确行波解$u_{\rm {exa}} (t, x, y, z)$, 而$u_n (t, x, y, z)\; (n=1, 2, \cdots)$为方程(1)的第$n$次近似的行波解$u_{n{\rm app}} (t, x, y, z) \; (n=1, 2, \cdots)$.

3 举例

为方便起见, 在非线性强迫扰动KG方程(1)中取扰动项函数$f(u)=\varepsilon \, \exp (-u^2)$ (这里$\varepsilon $为正的小参数).则强迫扰动KG方程(1)为:

$ \begin{aligned} u_{tt} -2(u_{xx} +u_{yy} +u_{zz} )-u+u^3=\varepsilon \exp (-u), \quad 0<\varepsilon \ll 1. \end{aligned} $

(20)

在行波变换

$ \begin{aligned} w=x+y+z+2t \end{aligned} $

(21)

下, 对应的非线性扰动方程(20)为:

$ \begin{aligned} 4u_{ww} -u+u^3=\varepsilon \exp (-u), \quad 0<\varepsilon \ll1. \end{aligned} $

(22)

由式(17), 方程(22)的初始迭代$u_0 (w)$选为

$ \begin{aligned} u_0 (w)=\tanh \big ((3+2\sqrt 2 )w \big). \end{aligned} $

即强迫扰动方程(22)的孤子波微扰解$u(z, \varepsilon)$的零次近似解$u_{\rm 0app} (z)$为

$ \begin{aligned} u_{\rm 0app} (w)=\tanh \big((3+2\sqrt 2 )w\big). \end{aligned} $

(23)

由迭代式(16)和(18), 得到强迫扰动方程(22)的孤子波微扰解$u(z, \varepsilon)$的一次近似解$u_{1{\rm app}} (z)$:

$ \begin{align} u_{1{\rm app}} (w)=\, &\tanh \big((3+2\sqrt 2 )w\big) \notag\\ &-\sqrt 2 \varepsilon \int_{\;0}^w {\sin \left[ {\frac{1}{\sqrt 2 }(w-\xi )} \right]{\kern 1pt}} \exp \big(-\tanh \big((3+2\sqrt 2 )\xi \big)\big){\kern 1pt}{\kern 1pt}\mathrm d\xi . \end{align} $

(24)

取$\varepsilon =0.5$, 由式(23)、(24)得到非线性扰动KG方程(21)的孤子波解的一次微扰方程近似解$u_{\rm 1app} (w)$与模拟精确解的曲线比较, 如图 2所示.

再将行波变换(21)代入式(24)式, 便得到强迫微扰KG方程(29)的一次近似孤子波微扰行波解$u_{1{\rm app}} (t, x, y, z)\; $为

$ \begin{aligned} u_{\rm 1app} (t, x, y, z)=\, &\tanh \big((3+2\sqrt 2 )(x+y+z+2t)\big) \\ &-\sqrt 2 \int_{\;0}^{x+y+z+2t} \sin \left[ {\frac{1}{\sqrt 2 }(x+y+z+2t-\xi )} \right]\exp \left[ {-\tanh \Big(\frac{3+2\sqrt 2 }{2}\xi \Big)} \right]\mathrm d\xi . \end{aligned} $

因非线性强迫扰动KG方程(20)是摄动方程, 利用摄动理论^{[23, 25]}可以证明, 强迫微扰KG方程(22)的一次近似孤子波微扰行波解$u_{\rm 1app} (t, x, y, z)\; $具有精度:

$ \begin{aligned} u_{\rm {exa}} (t, x, y, z)=u_{\rm 1app} (t, x, y, z)+O(\varepsilon ), \quad 0<\varepsilon \ll 1. \end{aligned} $

还可用相同的方法得到强迫微扰KG方程(20)的孤子波微扰解$u(t, x, y, z, \varepsilon)$精度更高的近似行波解.

4 强迫扰动KG方程近似行波解的意义

本文选取的初始近似$u_0 $是采用典型KG方程的孤子波解.它能较快求出对应于有扰动项情形下的KG方程在所要求精度范围内的近似解.

由泛函变分迭代方法得到的非线性强迫扰动KG方程的孤子波近似解$u_{\rm app} (t, x, y, z)$是近似的解析关系式, 还可通过解析运算, 譬如进行微分、积分等运算, 继续对非线性强迫扰动KG方程的孤子波解作进一步研究而得到其他相关的物理性态.例如, 可以通过解析式$u_{\rm app} (t, x, y, z)$用微分运算计算出非线性扰动KG方程的孤子波解$u_{\rm app} (t, x, y, z)$的关于$x, y, z$或$t$的变化率的分布情况, 以此了解对应孤子波的相关特性.再如, 由近似函数$u_{\rm app} $算出强迫扰动KG方程的孤子波解的波峰值、波谷值、拐点等.还可得到有关非线性强迫扰动KG方程在大气、海洋物理、散射波、量子力学、燃烧理论等等的其他物理量的预测.而且还可采取适当措施, 改变强迫扰动KG方程的非线性扰动项, 以得到所要求的大气、物理、地理等方面的性状.