0 引言

由于非线性偏微分方程在自然科学、工程技术等领域的应用越来越广泛, 因此, 寻找非线性偏微分方程的精确解成为数学家和物理学家的一个重要研究课题.近年来, 有许多方法已用于寻求这类方程的精确解^[1-7], 其中, 李对称分析^[8-10]和Bäcklund变换法^[11-13]也都是研究非线性偏微分方程的常用有效方法.四阶偏微分方程在自然科学领域和工程技术领域中有着非常广泛的应用背景, 它起源于物理学和应用数学的各个方面, 特别是在弹性梁和稳定性理论中具有极其广泛的应用^[14].本文研究如下这类四阶偏微分方程:

$ \begin{equation} u_t+\alpha u_x+\beta u_{xx}+u_x^2+uu_{xx}+\gamma u_{xxxx}=0, \end{equation} $

(1)

其中, $\alpha, \beta, \gamma$是任意常数, 且$\gamma\neq0$.

1 方程的Bäcklund变换及其精确解

设方程(1)具有如下形式的解:

$ \begin{equation} u=\frac{\partial^{m+n}f(h)}{\partial {x^m}\partial {t^n}}+v, \end{equation} $

(2)

其中: $m, n$为非负整数; $f=f(h), h=h(x, t)$为待定函数; $v=v(x, t)$是方程(1)的任意解函数.根据齐次平衡的思想^[15], 平衡非线性项和最高阶线性项, 有

$ m+4=2m+2, n=2n, $

求解可得$m=2, n=0$, 则式(2)具有如下形式的解:

$ \begin{equation} u=f''h_x^2+f'h_{xx}+v. \end{equation} $

(3)

将式(3)代入式(1)可得

$ \begin{align} f'''&h_x^2h_t+f''(2h_xh_{xt}+h_{xx}h_t)+f'h_{xxt}+v_t+\alpha (f'''h_x^3+3f''h_xh_{xx}+f'h_{xxx}+v_x) \nonumber\\ &+\beta(f^{(4)}h_x^4+6f'''h_x^2h_{xx}+3f''h_{xx}^2+4f''h_xh_{xxx}+f'h_{xxxx}+v_{xx})+f'''f'''h_x^6 \nonumber\\ &+6f''f'''h_x^4h_{xx}+2f'f'''h_x^3h_{xxx}+9f''f''h_x^2h_{xx}^2+2f'''h_x^3v_x+6f'f''h_xh_{xx}h_{xxx} \nonumber\\ &+6f''h_xh_{xx}v_x+f'f'h_{xxx}^2+2f'h_{xxx}v_x+v_x^2+f''f^{(4)}h_x^6+6f''f'''h_x^4h_{xx} \nonumber\\ &+f'f^{(4)}h_x^4h_{xx}+f''f''(3h_x^2h_{xx}^2+4h_x^3h_{xxx})+6f'f'''h_x^2h_{xx}^2+f^{(4)}h_x^4v \nonumber\\ &+f'f''(h_x^2h_{xxxx}+3h_{xx}^3+4h_xh_{xx}h_{xxx})+6f'''h_x^2h_{xx}v+f''(h_x^2v_{xx}+3vh_{xx}^2 \nonumber\\ &+4vh_xh_{xxx})+f'f'h_{xx}h_{xxxx}+f'(h_{xx}v_{xx}+vh_{xxxx})+vv_{xx}+\gamma \big[f^{(6)}h_x^6 \nonumber\\ &+15f^{(5)}h_x^4h_{xx}+f^{(4)}(45h_x^2h_{xx}^2+20h_x^3h_{xxx})+f'''(15h_{xx}^3+60h_xh_{xx}h_{xxx} \nonumber\\ &+15h_x^2h_{xxxx})+f''(10h_{xxx}^2+15h_{xx}h_{xxxx}+6h_xh_{xxxxx})+f'h_{xxxxxx}+v_{xxxx}\big]=0, \end{align} $

(4)

并令$h_x^6$的系数为0, 即

$ \begin{equation} \gamma f^{(6)}+f''f^{(4)}+f'''f'''=0, \end{equation} $

(5)

解方程(5)得

$\begin{equation} f(h)=12\gamma \ln|h|. \end{equation} $

(6)

进而得到如下的关系

$ \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} f''f'''=(-\gamma)f^{(5)}, f'f^{(4)}=(-3\gamma)f^{(5)}, f''f'' =(-2\gamma)f^{(4)}, \\ f'f'''=(-4\gamma)f^{(4)}, f'f''=(-6\gamma)f''', f'f'=(-12\gamma)f''. \end{array} \right. \end{align} $

(7)

将上述式子代入式(4)并利用式(5), 可得

$ \begin{align} f^{(4)}(\beta h_x^4&-3\gamma h_x^2h_{xx}^2+4\gamma h_x^3h_{xxx}+h_x^4v)+f'''(\alpha h_x^3-3\gamma h_{xx}^3 \nonumber\\ &+9\gamma h_x^2h_{xxxx}+6\beta h_x^2h_{xx}+h_x^2h_t+6h_x^2h_{xx}v+2h_x^3v_x) \nonumber\\ &+f''(3\alpha h_xh_{xx}-2\gamma h_{xxx}^2+3\gamma h_{xx}h_{xxxx}+3\beta h_{xx}^2+3vh_{xx}^2 \nonumber\\ &+4\beta h_xh_{xxx}+4vh_xh_{xxx}+6\gamma h_xh_{xxxxx}+2h_xh_{xt}+h_{xx}h_t \nonumber\\ &+h_x^2v_{xx}+6h_xh_{xx}v_x)+f'(\alpha h_{xxx}+\beta h_{xxxx}+\gamma h_{xxxxxx} \nonumber\\ &+h_{xxt}+h_{xx}v_{xx}+vh_{xxxx}+2h_{xxx}v_x)=0. \end{align} $

(8)

令$f^{(4)}, f''', f'', f'$的系数分别为0, 化简可得到

$ \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} &\beta h_x^2-3\gamma h_{xx}^2+4\gamma h_xh_{xxx}+h_x^2v=0, \\ &\alpha h_x+\beta h_{xx}+\gamma h_{xxxx}+h_t+h_{xx}v=0, \\ &8\gamma h_x^2h_{xxxx}+5\beta h_x^2h_{xx}+5vh_x^2h_{xx}+2h_x^3v_x -3\gamma h_{xx}^3=0, \\ &4\beta h_xh_{xxx}-2\gamma h_{xxx}^2+4vh_xh_{xxx} +6\gamma h_xh_{xxxxx} \\ &\quad -2h_{xx}h_t+h_x^2v_{xx}+6h_xh_{xx}v_x=0. \end{array} \right. \end{align} $

(9)

将式(7)代入式(4), 可得到如下定理.

定理  四阶偏微分方程(1)的Bäcklund变换为

$ \begin{equation} u=-12\gamma \frac{h_x^2}{h^2}+12\gamma \frac{h_{xx}}{h}+v, \end{equation} $

(10)

其中, $h$、$v$满足方程组(9).

现在利用式(10)以及Bäcklund变换的条件(9)来求出四阶偏微分方程(1)的精确解.

很显然, $v=c_1$是四阶偏微分方程(1)的平凡解.

设$h(x, t)=A+\text e^{ax+bt+c}, A, a, b, c$为待定常数.将$h(x, t)$代入(9)中第一式得

$ \begin{equation} (\beta a^2-3\gamma a^4+4\gamma a^4+c_1a^2)\text e^{2ax+2bt+2c}=0, \end{equation} $

(11)

整理得$\beta a^2+\gamma a^4+c_1a^2=0$, 可得

$ \begin{equation*} a=0~\mbox{或}~a^2=-\frac{\beta+c_1}{\gamma}.\; \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;(*) \end{equation*} $

将$h(x, t)$代入(9)中第二式得

$ \begin{equation} (\alpha a+\beta a^2+\gamma a^4+b+c_1a^2)\text e^{ax+bt+c}=0, \end{equation} $

(12)

整理得$\alpha a+\beta a^2+\gamma a^4+c_1a^2=0$.若$a=0$, 则$b=0$, 无实际意义.若$a\neq0$, 将式($*$)代入上式, 得

$ \begin{equation} b=\alpha a. \end{equation} $

(13)

将$h(x, t)$代入(9)中第三式得

$ \begin{equation} (8\gamma a^6+5\beta a^4-3\gamma a^6+5c_1a^4)\text e^{3ax+3bt+3c}=0, \end{equation} $

(14)

整理得$\gamma a^2+\beta+c_1=0$, 与($*$)式相吻合.

将$h(x, t)$代入(9)中第四式得

$ \begin{equation} (4\beta a^4-2\gamma a^6+4c_1a^4+6\gamma a^6-2a^2b)\text e^{2ax+2bt+2c}=0, \end{equation} $

(15)

整理得

$ \begin{equation} b=2\beta a^2+2\gamma a^4+2c_1a^2. \end{equation} $

(16)

比较式(13)与式(15), 得$a=\pm\sqrt{\frac{\beta+c_1}{\gamma}}, b=\alpha a$, $A$, $c$为任意常数.将$h(x, t)$代入式(10), 得四阶偏微分方程(1)的解为

$ \begin{equation}\label{18} u=-12\gamma\frac{a^2\text e^{2ax+2bt+2c}}{{ A+\text e^{ax+bt+c}}^2}+12\gamma\frac{a^2\text e^{2ax+2bt+2c}}{ A+\text e^{ax+bt+c}}+c_1, \end{equation} $

(17)

其中$a, b$满足$a=\pm\sqrt{\frac{\beta+c_1}{\gamma}}, b=\alpha a$, $A, c$为任意常数.

另外, 设$h_{xx}=0$, 则条件(9)可简化为

$\begin{eqnarray}\label{19} \alpha h_x+h_t = 0, \end{eqnarray} $

(18)

$ \beta h_x^2+h_x^2v = 0. $

(19)

由(19)可得

$ \begin{equation}\label{20} h_x=0, h_t=0, \end{equation} $

(20)

或

$ \begin{equation}\label{21} v=-\beta, h(x, t)=x-\alpha t. \end{equation} $

(21)

由式(20)可知, 这时$u=v$, 方程(1)无Bäcklund变换.由式(21)和式(10)可得方程(1)的一组精确解

$ \begin{equation} u(x, t)=-\frac{12}{(x-\alpha t)^2}-\beta. \end{equation} $

(22)

2 方程的李对称分析

假设方程(1)的单参数向量场为

$ \begin{equation} V=\xi(x, t, u)\frac{\partial}{\partial x}+ \tau(x, t, u)\frac{\partial}{\partial t}+\phi(x, t, u)\frac{\partial}{\partial u}, \end{equation} $

(23)

其中, $\xi(x, t, u), \tau(x, t, u)$以及$\phi(x, t, u)$为待定的函数.

如果向量场(23)为方程(1)的一个李对称, 则$V$就必须要满足如下的李对称条件:

$ \begin{equation}\label{24} Pr^{(4)}V(\Delta)|_{\Delta=0}=0. \end{equation} $

(24)

其中, $Pr^{(4)}V$为$V$的四阶延拓, 且$\Delta=u_t+\alpha u_x+\beta u_{xx}+u_x^2+uu_{xx}+\gamma u_{xxxx}$.由方程(24)知, 方程(1)的向量场可写为如下形式

$ \begin{equation}\label{25} Pr^{(4)}V=V+\phi_t+\alpha\phi^x+\beta\phi^{xx}+2u_x\phi^x+u\phi^{xx}+u_{xx}\phi+\gamma\phi^{xxxx}. \end{equation} $

(25)

它的系数函数可表示为$\phi^t=D_t\phi-u_xD_t\xi-u_tD_t\tau, $ $\phi^x=D_x\phi-u_xD_x\xi-u_tD_x\tau$, $\phi^{xx}=D^2_x(\phi-\xi u_x-\tau u_t)+\xi u_{xxx}+\tau u_{xxt}, $ $\phi^{xxxx}=D^4_x(\phi-\xi u_x-\tau u_t)+\xi u_{xxxxx}+\tau u_{xxxxt}, $其中, $D_x$和$D_t$是全导数算子.

结合上述方程和李对称条件, 可得到$\xi(x, t, u), \tau(x, t, u)$以及$\phi(x, t, u)$的决定方程组, 并使用Maple求解可得

$ \begin{equation} \xi(x, t, u)=\frac{1}{4}(3\alpha t+x)c_1+c_3, \quad \tau(x, t, u)=c_1t+c_2, \quad \phi(x, t, u)=-\frac{1}{2}(\beta+u)c_1, \end{equation} $

(26)

其中$c_1, c_2, c_3$为任意常数.

进而得到方程(1)对应的向量场

$ \begin{equation} V_1=\frac{\partial}{\partial x}, \quad V_2=\frac{\partial}{\partial t}, \quad V_3=x\frac{\partial}{\partial x}+(1-2u)\frac{\partial}{\partial u}. \end{equation} $

(27)

很容易验证$V_1, V_2, V_3$关于李括号运算是封闭的, 结果如下.

$ \begin{equation*} [V_{1}, V_{2}]=0, \quad [V_{1}, V_{3}]=V_{1}, \quad [V_{2}, V_{3}]=\frac {3}{4}\alpha V_{1}+V_{2}. \end{equation*} $

3 方程的对称约化

第2节中已经得到四阶偏微分方程(1)的向量场, 本节主要是求得每一种情形相应的不变量, 进而对方程进行对称约化.

情形1  对于向量场$V_1=\frac{\partial}{\partial x}$, 得到下面的相似变换

$ \begin{equation} \xi=t, u=\omega. \end{equation} $

(28)

方程的群不变解为$\omega=f(\xi)$, 那么

$ \begin{equation} u(x, t)=f(\xi). \end{equation} $

(29)

将式(29)代入方程(1)可得如下的约化方程

$ \begin{equation}\label{30} f'=0. \end{equation} $

(30)

很容易求得方程(30)的解为$f=c$, 其中$c$为任意常数.

情形2  对于向量场$V_2=\frac{\partial}{\partial t}$, 得到下面的相似变换

$ \begin{equation}\label{31} \xi=x, u=\omega. \end{equation} $

(31)

方程的群不变解为$\omega=f(\xi)$, 那么

$ \begin{equation}\label{32} u(x, t)=f(\xi). \end{equation} $

(32)

将式(32)代入方程(1)可得如下的约化方程

$ \begin{equation}\label{33} \alpha f'+\beta f''+f'^2+ff''+\gamma f^{(4)}=0. \end{equation} $

(33)

情形3  对于向量场$cV_1+V_2=c\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}$, 得到下面的相似变换

$ \begin{equation}\label{34} \xi=x-ct, u=\omega. \end{equation} $

(34)

方程的群不变解为$\omega=f(\xi)$, 那么

$ \begin{equation}\label{35} u(x, t)=f(\xi). \end{equation} $

(35)

将式(35)代入方程(1)可得如下的约化方程

$ \begin{equation}\label{36} -cf'+\alpha f'+\beta f''+f'^2+ff''+\gamma f^{(4)}=0. \end{equation} $

(36)

4 基于幂级数法的方程的幂级数解

在这一节中, 运用幂级数展开法对约化后的方程分别求其精确解, 进而求得方程(1)的精确解.通过第3节的分析注意到, 方程(33)和(36)具有相似的结构, 均为四阶非线性非自治常微分方程, 除特殊形式外, 一般不能直接求得该类方程的解析解.但是该类方程的解在非线性理论及物理应用中十分重要.所以, 这一节主要运用幂级数展开法来求解方程(36).由于幂级数的各项均为最简单的多项式函数, 因此在工程及近似计算中有广泛的应用.

假设方程(36)有如下的幂级数解

$ \begin{equation}\label{37} f(\xi)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}\xi^{n}, \end{equation} $

(37)

将式(37)代入方程(36)可得

$ \begin{align} (\alpha-c)&\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{\infty} (k+1)(n-k+1)c_{k+1}c_{n+1-k}\notag\\ &+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(n+1-k) (n+2-k)c_{k}c_{n+2-k} + \beta\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)c_{n+2}\notag\\ &+\gamma\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)c_{n+4}=0. \end{align} $

(38)

由式(30)可得

$ \begin{align} c_{n+4}=\ &\Big\{(n+1)[(\alpha-c)c_{n+1}+\beta(n+2)c_{n+2}]+ \sum\limits_{k=0}^{n}(n+1-k)[(n+2-k)c_kc_{n+2-k}\notag\\ &+(k+1)c_{k+1} c_{n+1-k}]\Big\}\cdot[{-\gamma (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}]^{-1}, \end{align} $

(39)

其中, $n\geq0$.当$n=0$时,

$ \begin{equation} c_4=-\frac{1}{24\gamma}[(\alpha-c)c_1+2\beta c_2+c_1^2+2c_0c_2], \end{equation} $

(40)

于是方程(36)的级数解有如下形式

$ \begin{align} f=\ &c_0+c_1\xi+c_2\xi^2+c_3\xi^3\notag\\ &+\sum\limits_{n=0}^{\infty} \Big\{(n+1)[(\alpha-c)c_{n+1}+\beta(n+2)c_{n+2}]+\sum\limits_{k=0}^{n} (n+1-k)[(n+2-k)c_kc_{n+2-k}\notag\\ &+(k+1)c_{k+1}c_{n+1-k}]\Big\}\cdot [-\gamma (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]^{-1}\cdot\xi^{n+4}, \end{align} $

(41)

其中: $c_1, c_2, c_3$为任意常数; $\xi=x-ct$.

下面来证明方程(36)的幂级数解(41)的收敛性.

由(39)可知,

$| c_{n+4} | \leq M[| c_{n+1} | +| c_{n+2} | + \sum\limits_{k=0}^{n} ( | c_kc_{n+2-k} | +| c_{k+1}c_{n+1-k} |)], n=0, 1, 2, \cdots, $

其中$M=\max\{\mid\!\frac{\alpha-c}{\gamma}\!\mid, \mid\!\frac{\beta} {\gamma}\!\mid, \mid\!\frac{1}{\gamma}\!\mid\}$.定义一个新的幂级数

$ \mu=P(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}p_nz_n, $

其中: $p_0=|c_0|; p_1=|c_1|; p_2=|c_2|; p_3=|c_3|;$

$ p_{n+4}=M\left[|c_{n+1}|+|c_{n+2}|+\sum\limits_{k=0}^n(|c_kc_{n+2-k}| +|c_{k+1}c_{n+1-k}|)\right], n=0, 1, 2, \cdots. $

很容易可以看出, $|c_{n}|\leq p_n, n=0, 1, 2, \cdots$.

换句话说，上面构造的级数

$ \mu=P(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}p_nz_n $

是幂级数(41)的一个优级数.下面, 只需要证明该幂级数具有正的收敛半径即可.事实上，通过级数的运算, 有

$ \begin{eqnarray*} P(z)&=&p_0+p_1z+p_2z^2+p_3z^3+\sum\limits_{n=0}^\infty p_{n+4}z^{n+4} \\ &=&p_0+p_1z+p_2z^2+p_3z^3+M\left[|c_{n+1}|+|c_{n+2}|+ \sum\limits_{k=0}^n(|c_kc_{n+2-k}|+|c_{k+1}c_{n+1-k}|)\right]z^{n+4}\\ &=&M\left[\left(2P^2(z)+P(z)-3p_0P(z)-p_1P(z)z+p_0^2-p_0\right) z^2-p_1z^3+P(z)z^3-p_0z^3\right]\\ &&+p_0+p_1z+p_2z^2+p_3z^3. \end{eqnarray*} $

考虑如下隐函数

$ F(z, \mu)= \mu-p_0-p_1z-p_2z^2-p_3z^3-M[(2P^2(z)+ P(z)-3p_0P(z)-p_1P(z)z\\ +p_0^2-p_0)z^2-p_1z^3+P(z)z^3-p_0z^3]\\ = 0. $

很显然, $F$是解析的，并且有$F(0, p_0)=0, F_{\mu}^{'}(0, p_0)\neq0.$根据隐函数存在定理可知，级数$\mu=P(z)$在点$(0, p_0)$的领域内是解析的，故存在正的收敛半径.于是方程(36)的级数解可由式(41)的形式给出，进而方程(1)的幂级数行波解也可以写成如下的形式

$ f(x, t)= c_0+c_1(x-ct)+c_2(x-ct)^2+c_3(x-ct)^3\\ \ \ \ \ +\sum\limits_{n=0}^{\infty}\Big\{(n+1)[(\alpha-c)c_{n+1} +\beta(n+2)c_{n+2}]+\sum\limits_{k=0}^n(n+1-k)[(n+2-k) c_kc_{n+2-k}\\ \ \ \ \ +(k+1)c_{k+1}c_{n+1-k}])\Big\}\cdot [{-\gamma(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}]^{-1}, $

其中$c_i(i=0, 1, 2, 3)$是任意常数，其他的系数$c_n(n\geq4)$可以由式(39)给出.

5 结论

齐次平衡法与李对称分析都是求解非线性偏微分方程精确解的有效可行方法, 具有广泛的应用.本文分别利用齐次平衡法和李对称分析研究了一类四阶偏微分方程, 不但得到方程的Bäcklund变换，并求得方程的部分精确解, 而且得到方程的对称性, 然后运用相似约化的思想, 将偏微分方程转化为常微分方程, 结合幂级数法求解约化方程, 进而得到原偏微分方程具有很强收敛性的幂级数解.