0 引言

设$N^{n+p}_{p}$表示指标为$p$的$n+p$维完备连通伪黎曼流形, $M^{n}$是等距浸入在$N^{n+p}_{p}$中的$n$维类空子流形, 即$M^{n}$上的诱导度量是正定的.设$h$是$M^{n}$的第二基本形式, $\boldsymbol{H}$是平均曲率向量, $\langle, \rangle$为$N^{n+p}_{p}$的内积, 如果对于$M^{n}$上所有切向量场$X$和$Y$, 存在$M^{n}$上一函数$\lambda$, 使得$\langle h(X, Y), \boldsymbol{H}\rangle=\lambda\langle X, Y\rangle$成立, 则称$M^{n}$是伪脐的.

近年来关于伪黎曼空间型中子流形的研究引起了广泛关注并取得了丰富的成果.许多问题从黎曼流形推广到了伪黎曼流形的情形, 并将结果不断地推广到局部对称伪黎曼的情形, 即曲率张量分量的协变微分$K_{ABCD, E}=0$.因为黎曼度量是伪黎曼度量的一个特殊例子, 所以研究伪黎曼流形中的子流形或许比研究黎曼子流形更有意义, 二者在研究方法上有许多类似之处, 但也有更多不同的地方, 如文献[1]中Minkowski空间中的极大类空超曲面的Bernstein定理.

文献[2]中Goddard猜想指出de Sitter空间$S^{n+1}_{1}(1)$中具有常平均曲率$H$的完备类空超曲面$M^{n}$是全脐的.之后Akutagawa, Montiel等人彻底解决了Goddard猜想, 引起了人们对于黎曼流形和伪黎曼流形中具有常平均曲率或平行平均曲率向量场的类空子流形的研究, 并得到了丰富的结果, 如文献[3-5].自从1967年文献[6]得到了Omori极大值原理之后, 运用Omori极大值原理对子流形的研究取得了长足的进步, 如文献[7-11].文献[10]讨论了常曲率空间中具有平行平均曲率向量的紧致伪脐子流形成为全脐子流形的条件, 并用Ricci曲率的下界刻画了全脐子流形的性质.文献[4]得到了de Sitter空间中具有平行平均曲率向量的紧致类空子流形成为全脐子流形的充分条件.文献[11]更一般地研究了局部对称共形平坦伪黎曼流形中具有平行平均曲率向量场的紧致子流形, 并得到关于子流形第二基本形式模长平方的拼挤定理.从文献[8]我们得到以下两个定理.

定理A   设$N^{n+p}_{p}$为局部对称伪黎曼流形, 其截面曲率$K_{N}$满足$c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$, $c_{1}$, $c_{2}$为实数.若$M^{n}$为$N^{n+p}_{p}$的完备极大类空子流形, 则其第二基本形式模长平方$S$满足

$ 0\leqslant S \leqslant\frac{4(2n-1)}{3\sqrt{2(n-1)}}(c_{2}-c_{1})(p-1)p+np(c_{2}-2c_{1}). $

特别地, 若$N^{n+p}_{p}$是常曲率为$c < 0$的伪黎曼空间形式, 那么$c_{1}=c_{2}=c.$这时定理A的结论可简化为$0\leqslant S\leqslant-npc.$当$c=-1$时, $S=np$当且仅当$M^{n}$是anti-de Sitter空间$H_{p}^{n+p}(-1)$中的双曲Veronese曲面$H_{n_{1}, \cdots, n_{p+1}, }$其中$H_{n_{1}, \cdots, n_{p+1}, }=H^{n_{1}}(\sqrt{\frac{n_{1}}{n}})\times\cdots\times H^{n_{p+1}}(\sqrt{\frac{n_{p+1}}{n}})$, $\sum\limits_{i=1}^{p+1}n_{i}=n$.

定理B  $N^{n+p}_{p}$$(p\geq2)$为$n+p$维局部对称完备伪黎曼流形, 其截面曲率$K_{N}$满足$c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$, $c_{1}$, $c_{2}$为实数.若$M^{n}$为$N^{n+p}_{p}$的紧致极大类空子流形, 且其截面曲率$R_{ijij}$满足

$ R_{ijij}\geqslant\frac{4(2n-1)}{3n\sqrt{2(n-1)}} (c_{2}-c_{1})(p-1)(p+1)+(p+1)c_{2}-(2p+1)c_{1}, $

则$M^{n}$是全测地子流形.

本文的第一个工作就是将文献[8]的定理A和定理B中的极大条件减弱, 研究了具有平行平均曲率向量的伪脐类空子流形, 得到了在完备条件下的第二基本形式模长平方的拼挤定理和在紧致条件下$M^{n}$为全测地的充分条件.

定理0.1   设$N^{n+p}_{p}$为局部对称伪黎曼流形, 其截面曲率$K_{N}$满足$0 < c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$, 若$M^{n}$为$N^{n+p}_{p}$中具有平行平均曲率向量场的完备伪脐类空子流形, 则其第二基本形式模长平方$S$满足

$ 0\leqslant S \leqslant\frac{4(c_{2}-c_{1})^{2}n^{4}H^{2}p} {(3nc_{1}-3nH^{2}-8(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1))^{2}}. $

(1)

特别地, 当$S=\frac{4(c_{2}-c_{1})^{2}n^{4}H^{2}p}{(3nc_{1}-3nH^{2}-8(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1))^{2}}$时, $M^{n}$是全测地的.

若$c_{1}=c_{2}=c>0$, 则此时$N^{n+p}_{p}$的截面曲率$K_{N}=c$, 即de Sitter空间, 由式(1)知$S=0, $从而$M^{n}$是全测地的.另一方面, 若取$H=0, $由式(1)知$S=0, $于是$M^{n}$是全测地的.这两方面的结果即是文献[11]中的定理1.1的结论.

研究子流形的普遍做法是探求关于子流形的曲率(如截面曲率, 平均曲率或Ricci曲率等)或第二基本形式模长平方的拼挤条件, 从而得到关于$M^{n}$的性质, 但文献[12]的定理2与普遍做法有所不同, 从它的证明过程我们看到根据外围空间截面曲率上下界的关系, 保证$\frac{1}{2}\Delta S\geqslant0, $可以得到紧致子流形$M^{n}$是全测地的, 于是根据这样的证明思路得到下面的定理.

定理0.2   设$N^{n+p}_{p}\; ({p\geqslant2})$为局部对称伪黎曼流形, 其截面曲率$K_{N}$满足$0 < c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$.若$M^{n}$为$N^{n+p}_{p}$中具有平行平均曲率向量场的紧致伪脐类空子流形, 则当$c_{1}\geqslant H^{2}$且$c_{2}\leqslant c_{1}+\frac{3n(c_{1}-H^{2})}{2n^{\frac{3}{2}}p^{\frac{1}{2}}+8(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1)}$时, $M^{n}$是全测地的.

特别地, 当$c_{1}=c_{2}=H^{2}>0$时, 由文献[13]知$M^{n}$位于de Sitter空间$S_{p}^{n+p}(c)$中的一个$n+1$维全测地子流形$S_{p}^{n+1}$中.

1 预备知识及其引理

设$N^{n+p}_{p}$表示指标为$p$且截曲率满足$0 < c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$的伪黎曼流形, $M^{n}$为等距浸入到$N^{n+p}_{p}$中的$n$维伪脐类空子流形.在$N^{n+p}_{p}$上选取局部标准正交标架场$e_{1}, \cdots, e_{n+p}$, 使其限制在$M^{n}$上时, $e_{1}, \cdots, e_{n}$与$M^{n}$相切, 并令$\omega_{1}, \cdots, \omega_{n+p}$为其对偶标架.本文约定指标的取值范围如下:

$ 1\leqslant i, j, k, \cdots\leqslant n;\;\;\;n+1\leqslant\alpha, \beta, \gamma, \cdots\leqslant n+p. $

于是$N^{n+p}_{p}$的伪黎曼度量$ds_{N}^{2}$与$M^{n}$的黎曼度量$ds_{M}^{2}$分别是

$ ds_{N}^{2}=\sum\limits_{i}\omega_{i}^{2}-\sum\limits_{\alpha}\omega_{\alpha}^{2}, \quad ds_{M}^{2}=\sum\limits_{i}\omega_{i}^{2}. $

设$\omega_{AB}$为$N_{p}^{n+p}$的联络1-形式, 当限制在$M^{n}$上时, 有

$ \omega_{\alpha}=0, \;\;\;\omega_{\alpha i}=\sum\limits_{j}h_{ij}^{\alpha}\omega_{j}, \;\;\;h_{ij}^{\alpha}=h_{ji}^{\alpha}. $

分别记$h$, $\boldsymbol{H}$, $R_{ijkl}$, $R_{\alpha \beta kl}$, $K_{ABCD}$是$M^{n}$的第二基本形式, 平均曲率向量, 曲率张量, 法曲率张量以及$N^{n+p}_{p}$的曲率张量, 则

$ \begin{align*} h=\sum\limits_{\alpha, i, j}h_{ij}^{\alpha}\omega_{i}\otimes\omega_{j} \otimes e_{\alpha}, \;\;\;\boldsymbol{H}=\frac{1}{n}\sum\limits_{\alpha} \Big(\sum\limits_{i}h_{ii}^{\alpha}\Big)e_{\alpha}, \end{align*} $

$ R_{ijkl}=K_{ijkl}-\sum\limits_{\alpha}(h_{ik}^{\alpha}h_{jl}^{\alpha}-h_{il}^{\alpha}h_{jk}^{\alpha}), $

(2)

$ R_{\alpha\beta kl}=K_{\alpha\beta kl}+\sum\limits_{i}(h_{ik}^{\alpha}h_{il}^{\beta}-h_{il}^{\alpha}h_{ik}^{\beta}), $

(3)

$ R_{ij}=\sum\limits_{k}K_{ikjk}+\sum\limits_{\alpha, k}h_{ik}^{\alpha}h_{kj}^{\alpha}-\sum\limits_{\alpha, k}h_{ij}^{\alpha}h_{kk}^{\alpha}. $

(4)

以下记$S=\|h\|^{2}=\sum\limits_{\alpha, i, j}(h^{\alpha}_{ij})^{2}$, $H= \|\boldsymbol{H}\|=\frac{1}{n}\sqrt{\sum\limits_{\alpha}(\sum\limits_{i}h_{ii}^{\alpha})^{2}}$, $H_{\alpha}=(h_{ij}^{\alpha})_{n\times n}$.

用$h_{ijk}^{\alpha}$和$h_{ijkl}^{\alpha}$分别为$h_{ij}^{\alpha}$的1阶和2阶共变导数, 则Codazzi和Ricci恒等式分别为

$ h_{ijk}^{\alpha}-h_{ikj}^{\alpha}=-K_{\alpha ijk}, $

(5)

$ h_{ijkl}^{\alpha}-h_{ijlk}^{\alpha}=\sum\limits_{m}h_{mi}^{\alpha}R_{mjkl} +\sum\limits_{m}h_{mj}^{\alpha}R_{mikl}-\sum\limits_{\beta}h_{ij} ^{\beta}R_{\beta\alpha kl}. $

(6)

因为$N^{n+p}_{p}$是局部对称的, 从而得到$K_{\alpha ijk}$沿$e_l$方向的共变导数

$ K_{\alpha ijkl}=-\sum\limits_{\beta}K_{\alpha\beta jk}h_{il}^{\beta}-\sum\limits_{\beta}K_{\alpha i\beta k}h_{jl}^{\beta}-\sum\limits_{\beta}K_{\alpha ij\beta}h_{kl}^{\beta}-\sum\limits_{m}K_{mijk}h_{ml}^{\alpha}. $

(7)

定义$h_{ij}^{\alpha}$的Laplace算子为$\Delta h_{ij}^{\alpha}=\sum\limits_{k}h_{ijkk}^{\alpha}$, 由式(2)—(7)及文献[14]可得

$ \begin{align} \frac{1}{2}\Delta S&=\sum\limits_{\alpha, i, j, k}(h_{ijk}^{\alpha})^{2}+\sum\limits_{\alpha}\sum\limits_{i, j}h_{ij}^{\alpha}\Delta h_{ij}^{\alpha}\notag\\ &=\sum\limits_{\alpha, i, j, k}(h_{ijk}^{\alpha})^{2}+ \sum\limits_{\alpha, i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{kkij}^{\alpha}+\sum\limits_{ \alpha, \beta}\sum\limits_{i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{kk}^{\beta}K_{\alpha ij\beta}\notag\\ &\;\;\;+4\sum\limits_{\alpha, \beta}\sum\limits_{i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{kj}^{\beta}K_{\alpha\beta ik}+\sum\limits_{\alpha, \beta}\sum\limits_{i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{ij}^{\beta}K_{\alpha k\beta k}+\sum\limits_{\alpha, \beta}[\text{tr}(H_{\alpha}H_{\beta})]^{2}\notag\\ &\;\;\;+2\sum\limits_{\alpha, \beta}[\text{tr}(H_{\alpha}^{2}H_{\beta}^{2})-\text{tr}(H_{\alpha}H_{\beta})^{2}]-\sum\limits_{\alpha, \beta} \text{tr}(H_{\alpha}^{2}H_{\beta}){\rm tr}(H_{\beta})\notag\\ &\;\;\;+2\sum\limits_{\alpha}\sum\limits_{i, j, k, m}h_{ij}^{\alpha}(h_{mk}^{\alpha}K_{mijk}+h_{mi}^{\alpha}K_{mkjk}). \end{align} $

(8)

为了完成主要定理的证明, 需要如下几个引理.

引理1.1^[15]  设$N^{n+p}_{p}$是$n+p$维伪黎曼流形, 其截面曲率$K_{N}$满足$c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$, 则

(1) $|K_{ABCD}|\leqslant\frac{1}{2}(c_{2}-c_{1})$, $A$, $B$互不相同;

(2) $|K_{ABCD}|\leqslant\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})$, $A$, $B$, $C$, $D$互不相同.

引理1.2^{[6, 8]}  设$M^{n}$是Ricci曲率有下界的完备黎曼流形, $f$为$M^{n}$上有下界的$C^{2}$函数, 则对任意的$\varepsilon>0$, 存在点$x\in M^{n}$, 使得在$x$点处成立

$ \left\| {\nabla f} \right\|\left\langle {\varepsilon, \quad \Delta f} \right\rangle-\varepsilon, f(x) < \inf f + \varepsilon . $

2 主要定理的证明

定理0.1的证明  选取平均曲率向量$\boldsymbol{H}$与$e_{n+p}$方向相同, 即$\boldsymbol{H}=He_{n+p}, $则

$ \text{tr}H_{\alpha}=\sum\limits_{i}h_{ii}^{\alpha}=0(\alpha\neq n+p), $

(9)

及

$ \text{tr}H_{n+p}=\sum\limits_{i}h_{ii}^{n+p}=nH, $

(10)

又因$M^{n}$是伪脐的, 故

$ h_{ij}^{n+p}=H\delta_{ij}. $

下面将估计式(8)中的各项

由文献[16]知, 若$M^{n}$具有平行平均曲率向量场, 则$\sum\limits_{k}h_{kki}^{\alpha}=0, $进而$\sum\limits_{k}h_{kkij}^{\alpha}=0, $这说明$H$是常数, 于是

$ \sum\limits_{\alpha, i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{kkij}^{\alpha} =\sum\limits_{i, j}h_{ij}^{n+p}(nH)_{ij}=nH\Delta H=0. $

(11)

注意到

$ \sum\limits_{\alpha, \beta}[\text{tr}(H_{\alpha}^{2}H_{\beta}^{2}) -\text{tr}(H_{\alpha}H_{\beta})^{2}]\geqslant0, $

(12)

且

$ -\sum\limits_{\alpha, \beta}[\text{tr}(H_{\alpha}^{2}H_{\beta})] (\text{tr}H_{\beta})=-nH^{2}S. $

(13)

因$(\text{tr}(H_{\alpha}H_{\beta}))_{p\times p}$是实对称矩阵, 故可选取法标架场$\{e_{\alpha}\}$使之对角化, 即

$ \text{tr}(H_{\alpha}H_{\beta})=\text{tr}(H_{\alpha}^{2})\delta_{\alpha\beta}, $

故

$ \sum\limits_{\alpha, \beta}[\text{tr}(H_{\alpha}H_{\beta})]^{2}= \sum\limits_{\alpha}[\text{tr}(H_{\alpha}^{2})]^{2}\geqslant \frac{1}{p}S^{2}\geqslant0. $

(14)

对固定的$\alpha$, 令$h_{ij}^{\alpha}=\lambda_{i}^{\alpha}\delta_{ij}, $由引理1.1得

$ \begin{align*} 4\sum\limits_{\beta}\sum\limits_{i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{jk}^{\beta}K_{\alpha\beta k i}=&4\sum\limits_{i, k, \beta}\lambda_{i}^{\alpha}h_{ik}^{\beta}K_{\alpha\beta ki}\geqslant-4\sum\limits_{i\neq k\atop\beta(\neq\alpha)}\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})|\lambda_{i}^{\alpha}||h_{ik}^{\beta}|\\ \geqslant&-\frac{4}{3}(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}\sum\limits_{\beta\neq\alpha}\text{tr}H_{\beta}^{2}\\ &-\frac{4}{3}(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1)\text{tr}H_{\alpha}^{2}, \end{align*} $

进一步

$ 4\sum\limits_{\alpha, \beta}\sum\limits_{i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{jk}^{\beta}K_{\alpha\beta ki}\geqslant-\frac{8}{3}(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1)S. $

(15)

同样由引理1.1得

$ \begin{align} \sum\limits_{\alpha, \beta}\sum\limits_{i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{kk}^{\beta}K_{\alpha ij\beta}&=\sum\limits_{\alpha, \beta}\sum\limits_{i, j}h_{ij}^{\beta}K_{\alpha ij\beta}\Big(\sum\limits_{k}h_{kk}^{\beta}\Big)\notag\\ &\geqslant-\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})n|H|\sum\limits_{i, j, \alpha}|h_{ij}^{\alpha}|\notag\\ &\geqslant-\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})n^{2}|H|S^{\frac{1}{2}}. \end{align} $

(16)

另外, 由假设的条件$0 < c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$得

$ \sum\limits_{\alpha, \beta}\sum\limits_{i, j, k}K_{\alpha k\beta k}h_{ij}^{\alpha}h_{ij}^{\beta}=\sum\limits_{\alpha, \beta(\neq\alpha)}\sum\limits_{i, j, k}K_{\alpha k\beta k}h_{ij}^{\alpha}h_{ij}^{\beta}+\sum\limits_{\alpha, i, j, k}K_{\alpha k\alpha k}(h_{ij}^{\alpha})^{2}\geqslant nc_{1}S. $

(17)

同样由假设条件$0 < c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$得

$ \sum\limits_{i, j, k, m}h_{ij}^{\alpha}(h_{mk}^{\alpha}K_{mijk} +h_{mi}^{\alpha}K_{mkjk})\\ =\frac{1}{2}\sum\limits_{i, k}(\lambda_{i} ^{\alpha}-\lambda_{k}^{\alpha})^{2}K_{ikik}\geqslant\frac{1}{2} c_{1}\sum\limits_{i, k}(\lambda_{i}^{\alpha}-\lambda_{k}^{\alpha})^{2}\\ =nc_{1}\text{tr}(H_{\alpha})^{2}-c_{1}(\text{tr}H_{\alpha})^{2}. $

显然

$ 2\sum\limits_{\alpha}\sum\limits_{i, j, k, m}h_{ij}^{\alpha} (h_{mk}^{\alpha}K_{mijk}+h_{mi}^{\alpha}K_{mkjk})\geqslant2nc_{1} (S-nH^{2})\geqslant0. $

(18)

从而将式(11)—(18)代入式(8)得

$ \frac{1}{2}\Delta S\geqslant-\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})n^{2}|H|S^{\frac{1}{2}}-\\ \frac{8} {3}(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1)S-nH^{2}S+nc_{1}S. $

(19)

由定理假设的条件$0 < c_{1}\leqslant K_{N}\leqslant c_{2}$, $H$是常数以及式(4)、(9)、(10)得

$ \begin{align*}\text{Ric}(e_i)&=\sum\limits_{k}K_{ikik}+\sum\limits_{\alpha, k}h_{ik}^{\alpha}h_{ki}^{\alpha}-\sum\limits_{\alpha, k}h_{ii}^{\alpha}h_{kk}^{\alpha}\\ &=\sum\limits_{k}K_{ikik}+\sum\limits_{\alpha, k}(h_{ik}^{\alpha})^{2}-h_{ii}^{n+p}\sum\limits_{k}h_{kk}^{n+p}\\ &\geqslant(n-1)c_{1}-nH^{2}, \end{align*} $

即$M^{n}$的Ricci曲率有下界.

设$\alpha$为任意正常数, 令$f=\frac{1}{\sqrt{S+\alpha}}$, 显然$f$为$M^{n}$上有下界的$C^{\infty}$函数, 通过直接计算得

$ \nabla f=-\frac{1}{2}f^{3}\nabla S $

(20)

及

$ \Delta f=-\frac{1}{2}f^{3}\Delta S+\frac{3}{4}f^{5}|\nabla S|^{2}. $

(21)

因$M^{n}$的Ricci曲率有下界, 故由引理1.2, 存在点$x\in M^{n}$, 使得在$x$点处

$ \frac{1}{4}f^{6}|\nabla S|^{2} < \varepsilon, \;\;\;\Delta f>-\varepsilon, \;\;\;f(x) < \inf f+\varepsilon. $

(22)

由式(21)、(22)得

$ \frac{1}{2}f^{4}\Delta S\leqslant\varepsilon(\inf f+\varepsilon)+3\varepsilon. $

(23)

由此将式(19)代入式(23)得

$ \frac{1}{(S+\alpha)^{2}}\\ \Big(-\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})n^{2}|H|S^{\frac{1}{2}} -\frac{8}{3}(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1)S-nH^{2}S+nc_{1}S\Big)\notag\\ \leqslant\varepsilon(\inf f+\varepsilon)+3\varepsilon. $

(24)

对任意的序列$\{\varepsilon_{m}\}$, $\varepsilon_{m}>0$且$\varepsilon_{m}\rightarrow 0(m\rightarrow\infty), $由于$M^{n}$是完备的, 则存在$M^{n}$上的一点列$\{x_{m}\}, $使得式(22)成立, 于是有$\varepsilon_{m}(\inf f(x_{m})+\varepsilon_{m})+3\varepsilon_{m}\rightarrow0(m\rightarrow\infty)$.由引理1.2可知$f(x_{m}) < \inf f+\varepsilon_{m}, $显然$\{f(x_{m})\}$是一个有界序列, 令$f(x_{m})\rightarrow f(x_{0})(m\rightarrow\infty).$由下确界的定义以及引理1.2可知$f(x_{0})=\inf f, $故$S$可以取到上确界, 当$\varepsilon\rightarrow0$时式(24)右边也趋于零.因此, 若$S\neq0, $则$S\leqslant\frac{4(c_{2}-c_{1})^{2}n^{4}H^{2}p}{(3nc_{1}-3nH^{2}-8(c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1))^{2}}$.等号成立时, 一定有$\frac{1}{2}\Delta S=0, $由式(14)、(18)取等号得$M^{n}$必为全脐, 且为全测地的, 定理0.1得证.

定理0.2的证明  基于定理0.1对$\frac{1}{2}\Delta S$的缩放, 重新估计式(16).因$S\geqslant nH^{2}$, 得

$ \sum\limits_{\alpha, \beta}\sum\limits_{i, j, k}h_{ij}^{\alpha}h_{kk}^{\beta}K_{\alpha ij\beta}\geqslant-\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})n^{2}p^{\frac{1}{2}}|H|S^{\frac{1}{2}}\geqslant-\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})n^{\frac{3}{2}}p^{\frac{1}{2}}S. $

(25)

从而由式(8)、(14)、(19)及(25)得

$ \frac{1}{2}\Delta S\geqslant\\ S\Big(-\frac{2}{3}(c_{2}-c_{1})n^{\frac{3}{2}}p^{\frac{1}{2}}-\frac{8}{3} (c_{2}-c_{1})(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1)-nH^{2}+nc_{1}+\frac{1}{p}S\Big). $

若$c_{1}\geqslant H^{2}$且$c_{2}\leqslant c_{1}+\frac{3n(c_{1}-H^{2})}{2n^{\frac{3}{2}}p^{\frac{1}{2}}+8(n-1)^{\frac{1}{2}}(p-1)}$, 则不难验证

$ \frac{1}{2}\Delta S\geqslant0. $

由于$M^{n}$是紧致的, 由Hopf极大值原理可得$S$为常数, 故$\frac{1}{2}\Delta S=0$, 则一定有$S=0$, 即$M^{n}$是全测地的, 定理0.2得证.