华东师范大学学报（自然科学版） ›› 2020, Vol. 2020 ›› Issue (2): 41-49.doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201811039

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二阶差分方程周期边值问题正解存在的最优条件

王晶晶, 路艳琼   

  1. 西北师范大学 数学与统计学院, 兰州　730070
  • 收稿日期:2018-09-30 发布日期:2020-03-16
  • 通讯作者: 路艳琼,女,副教授,研究方向为差分方程及其应用.E-mail:luyg8610@126.com E-mail:luyg8610@126.com
  • 基金资助:
    国家自然科学基金青年基金（11801453，11901464）；甘肃省青年科技基金计划项目（1606RJYA232）；西北师范大学青年教师科研能力提升计划一般项目（NWNU-LKQN-15-16）

Optimal conditions for the existence of positive solutions to periodic boundary value problems with second order difference equations

WANG Jingjing, LU Yanqiong   

  1. College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou　730070, China
  • Received:2018-09-30 Published:2020-03-16

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摘要： 运用锥上的不动点指数理论, 获得了格林函数非负时二阶离散周期边值问题
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta^2 y(n-1)+a(n)y(n)=g(n)f(y(n)),}&{n\in[1,N]_{\mathbb{Z}},}\\ {y(0)=y(N), \;\;\;\Delta y(0)=\Delta y(N)}&{} \end{array}} \right.$
正解存在的最优条件, 其中$[1,N]_{\mathbb{Z}}=\{1,2,\cdot\cdot\cdot,N\}, $$\,f:[1,N]_{\mathbb{Z}}\times\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$连续, $a: [1,N]_{\mathbb{Z}}\rightarrow(0,+\infty)$且$\mathop {\max }\limits_{n \in {{[1,N]}_{\mathbb{Z}}}} a(n )\leqslant4\sin^2\left(\frac\pi{2N}\right),\,g\in C([1,N]_{\mathbb{Z}},\mathbb{R}^+),\mathbb{R}^+:=[0,\infty).$

关键词: 周期边值问题, 正解, 非负格林函数, 不动点指数

Abstract: By using the fixed-point index theory of cone mapping, we show the optimal conditions for the existence of positive solutions for second order discrete periodic boundary value problems
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta^2 y(n-1)+a(n)y(n)=g(n)f(y(n)),}&{n\in[1,N]_{\mathbb{Z}},}\\ {y(0)=y(N), \;\;\;\Delta y(0)=\Delta y(N)}&{} \end{array}} \right.$
with vanishing Green’s function, where $[1,N]_{\mathbb{Z}}=\{1,2,\cdot\cdot\cdot, $$N\},\,f:[1,N]_{\mathbb{Z}}\times\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ is continuous, $a: [1,N]_{\mathbb{Z}}\rightarrow(0,+\infty),$ and $\mathop {\max }\limits_{n \in {{[1,N]}_{\mathbb{Z}}}} a(n)\leqslant4\sin^2(\frac\pi{2N}),\,g\in C([1,N]_{\mathbb{Z}},\mathbb{R}^+), $$\mathbb{R}^+:=[0,\infty)$.

Key words: periodic boundary value problem, positive solution, nonnegative Green’s function, fixed-point index

中图分类号: