0 引言

至2000年第一块超常材料(Metamaterials, MMs)被Smith^[1]等人在实验室制备出来以来, 由于它具备负的折射率^[2]、负的Goos-Hänche位移^[3]、逆多普勒效应等反常物理特性^[4], 越来越多的目光投向了对超常介质的物理性质和潜在应用的研究^[5].随着越来越多的线性和非线性超常介质被发明, 加速了对电磁波在超常介质中传输的研究^[5].这些研究表明了超常介质具有正折射率区(Positive-Index Region, PIR), 吸收区和负折射率区(Negative-Index Region, NIR)^[6-7].Wen^[8]等人利用Drude模型推导了光脉冲在超常介质中传输的非线性薛定谔方程(Non-Linear Schrodinger Equation, NLSE).而Joseph和Porsezian^[9]则利用前者推导的非线性薛定谔方程研究了光脉冲传输的动力学行为.对于超常介质非线性性质的研究则更多, 如自相位调制(Self-Phase Modulation, SPM)、自陡峭(Self-Steepening, SS)^[10-14]等等.尽管有许许多多学者对超常介质中不同特性的研究, 但是对于超常介质, 尤其是负折射率材料中高阶色散对于高斯脉冲传输特性影响的研究仍然很少.本文中, 我们将深入地讨论高阶色散对脉冲传输的影响.并结合分析结果进一步进行了色散补偿的研究.

在常规介质中, 往往只考虑二阶色散对群速色散(Group Velocity Dispersion, GVD)效应的影响.超常介质作为一种人工合成材料, 我们发现其中的各阶色散系数在数量级上高于常规介质中相应的色散系数(本文第2节), 这使得在光脉冲传输中不再能忽略高阶色散的影响.本文将讨论超常介质中三阶色散和四阶色散对高斯脉冲传输的影响, 分析脉冲畸变与色散之间的关系, 这一工作对于了解色散的影响以及对色散进行补偿有一定的实际意义.

1 光脉冲在超常介质中传输模型

光作为一种电磁波, 在超常介质中传输遵循麦克斯韦方程组, 所以基于麦克斯韦方程组可以推导得到脉冲在非线性色散超常介质中的波动方程

$\frac{\partial ^2E}{\partial z^2}=\mu _0 \varepsilon _0\frac{\partial ^2E}{\partial t^2}+\mu _0 \frac{\partial ^2P_\mathrm{NL} }{\partial t^2}.$

(1)

令$E=\frac{1}{2}A(z, t)\exp (\mathrm i(\beta _0 z-\omega t))+$c.c, 其中c.c表示复共轭.对式(1) 做傅里叶变换, 并对传播常数k和相对磁导率$\mu _\mathrm r (\omega )$进行泰勒展开, 且忽略$z$的二阶导数, 最后引入群速度$V_g $的参考系(即所谓的延时系), 可以推导出单光束在超长介质中的传输方程

$\frac{\partial A}{\partial z}=-\frac{\mathrm i}{2}\beta_2 \frac{\partial ^2A}{\partial T^2}+\frac{1}{6}\beta _3\frac{\partial ^3A}{\partial T^3}-\frac{\mathrm i}{24}\beta _4\frac{\partial ^4A}{\partial T^4}-\frac{1}{2}\alpha A+\mathrm i\Gamma _1 \vert A\vert ^2A, $

(2)

其中$\alpha $为损耗系数.第i阶色散系数$\beta _i$和三阶非线性系数$\Gamma _1 $可以分别表示为

$\begin{align} \beta _i =\frac{\mathrm d^ik}{\mathrm d\omega ^i}\Big| _{\omega =\omega _0}\quad (i=1,2,3,\cdots), \end{align}$

(3)

$\begin{align} & \Gamma _1 =\frac{\varepsilon _0 \mu _0 \chi ^{(3)}\omega ^2\mu _\mathrm r (\omega )}{2\beta _0 }, \end{align}$

(4)

其中$\chi^{(3) }$代表三阶电极化率.

超常介质中, 相对介电常数$\varepsilon _\mathrm r $和相对磁导率$\mu_\mathrm r $的频率色散关系一般都采用具有损耗的Drude模型来表示.损耗出现在Drude模型的虚部, 主要影响脉冲的强度, 对色散本身并没有太大的影响.因此, 为了简化计算, 本文忽略了损耗, 也就有传播方程(式(2))中的$\alpha =0$. Drude模型可以表达为

$\varepsilon _\mathrm r =1-\frac{\omega _\mathrm {pe} ^2}{\omega^2}, \quad \mu _\mathrm r =1-\frac{\omega _\mathrm {pm} ^2}{\omega^2}, $

(5)

其中, ${\omega }_\mathrm {pe} $和$ {\omega }_\mathrm {pm}$分别代表电场和磁场的等离子频率, $\omega $代表介质中光波的中心频率.根据折射率定义$n=\sqrt {\varepsilon _\mathrm r \mu _\mathrm r } $.由式(3) 可得一阶色散$\beta _1 $、二阶色散$\beta _2$(群速度色散GVD)、三阶色散$\beta _3 $(TOD)、四阶色散$\beta _4$为

$\begin{align} & \beta _1 =\frac{dk}{d\omega }=\frac{1}{c}\left[{n+\frac{1}{n}\left( {\frac{1+\overline {\omega }_p ^2}{{\overline\omega }^2}}-\frac{2\overline {\omega }_p ^2}{{\overline \omega}^4}\right)}\right], \end{align}$

(6a)

$\begin{align} & \beta _2 =\frac{d\beta _1 }{d\omega }=\frac{1}{c\omega _{pe}}\left[{\frac{1}{n\overline \omega}\left( {-\frac{1}{\overline\omega^2}-\frac{\overline \omega_p ^2}{\overline\omega^2}+6\frac{\overline \omega_p ^2}{\overline \omega^4}}\right)-\frac{1}{n^3\overline \omega}\left( {\frac{1+\overline\omega_p ^2}{\overline \omega^2}-\frac{2\overline \omega_p^2}{\overline \omega^4}} \right)^2} \right], \end{align}$

(6b)

$\begin{align} & \beta _3 =\frac{d\beta _2 }{d\omega }=\frac{1}{c\omega _\mathrm{pe} ^2}\Bigg\{ 3\left[{\frac{1}{n}\left( {-3\frac{1}{\overline\omega^4}-3\frac{\overline \omega_p ^2}{\overline\omega^4}+10\frac{\overline \omega_p ^2}{\overline \omega^6}}\right)-\frac{1}{n^3}\left( {\frac{1+\overline \omega_p^2}{\overline \omega^3}-\frac{2\overline \omega_p ^2}{\overline\omega^5}} \right)^2} \right]\notag\\[2mm] & \ \quad \ +\overline \omega\Bigg[\frac{1}{n}\frac{12\overline \omega_p ^2\overline \omega^2-60\overline \omega_p ^2+12\overline \omega^2}{\overline \omega^7}+\frac{3}{n^5}\left( {\frac{\overline \omega_p ^2\overline\omega^2-2\overline \omega_p ^2 +\overline \omega^2}{\overline\omega^5}} \right)^3 \notag\\[2mm] & \ \quad\ +\frac{3}{n^3}\left( {\frac{\overline \omega_p ^2\overline \omega^2 -2\overline \omega_p ^2+\overline \omega^2}{\overline \omega^5}} \right) \left({\frac{3\overline \omega_p ^2\overline \omega^2-10\overline \omega_p^2 +3\overline \omega^2}{\overline \omega^6}} \right) \Bigg] \Bigg\}, \end{align}$

(6c)

$\begin{align} & \beta _4 =\frac{d\beta _3 }{d\omega }=\frac{1}{c\omega _{pe}^3}\Bigg\{\frac{4\left( {12\overline \omega_p ^2\overline\omega^2-60\overline \omega_p ^2+12\overline \omega^2}\right)}{n\overline \omega^7}-\frac{3\left( {3\overline \omega_p^2\overline \omega^2-10\overline \omega_p ^2+3\overline \omega^2}\right)}{n^3\overline \omega^{11}} \notag\\[2mm] & \ \quad \qquad-\frac{60\overline \omega_p ^2\overline \omega^2-420\overline \omega_p ^2 +60\overline \omega^2) } {n\overline \omega^7}-\frac{15\left( {\overline \omega_p ^2\overline \omega^2 -2\overline \omega_p^2+\overline \omega^2} \right)^4}{n^7\overline \omega^{19}} \notag\\[2mm] & \ \quad \ -\frac{4\left( {\overline \omega_p ^2\overline\omega^2-2\overline \omega_p ^2+\overline \omega^2} \right) \left( {12\overline \omega_p ^2\overline \omega^2-60\overline \omega_p^2+12\overline \omega^2} \right)}{n^3\overline \omega^{11}} \notag\\[2mm] & \ \quad \ -\frac{9\left( {\overline \omega_p ^2\overline\omega^2-2\overline \omega_p ^2+\overline \omega^2} \right)^2\left({6\overline \omega_p ^2\overline \omega^2-20\overline \omega_p^2+6\overline \omega^2} \right)}{n^5\overline\omega^{15}}+\frac{12\left( {\overline \omega_p ^2\overline\omega^2-2\overline \omega_p ^2+\overline \omega^2}\right)^3}{n^5\overline \omega^{15}}\notag \\[2mm] & \ \quad \qquad+\frac{12\left( {\overline \omega_p ^2\overline \omega^2-2\overline \omega_p ^2+\overline \omega^2} \right)\left( {3\overline \omega_p ^2 \overline \omega^2-10\overline \omega_p^2+3\overline \omega^2} \right)}{n^3\overline \omega^{11}} \Bigg\}, \end{align}$

(6d)

其中, 归一化光波中心频率$\overline {\omega }=\frac{\omega }{\omega_\mathrm {pe} }$, 归一化等离子磁频率$\overline {\omega }_p\mbox{=}\frac{\omega _{\mathrm p\mathrm m} }{\omega _\mathrm {pe}}$.通过进一步化简, 三阶非线性系数可以写为

$\begin{equation} \Gamma _1 =\frac{x^{(3)}\overline {\omega }\omega _\mathrm {pe} (1-\frac{\overline {\omega }_p ^2}{\overline {\omega }^2})}{2nc}\quad . \end{equation}$

(7)

2 超常介质中的色散系数和非线性系数

根据色散公式(6) 和三阶非线性系数公式(7) 可以画出色散系数和非线性系数关于归一化频率$\overline {\omega }$的变化图(图 1).图 1中取三阶电极化率$\chi ^{(3) }$为$1.9× 10^{-9}\;\mathrm W^{-1}$, $\omega _\mathrm {pe} $为$1.367\;3× 10^{16}$Hz, $\overline {\omega }_p $为0.8.

图 1(a)为超常介质中折射率n随归一化频率$\overline {\omega}$变化的曲线图, 归一化频率被分为了三个区间段, 其中$0＜\overline{\omega }＜0.8$和$\overline {\omega}>1.0$分别对应负折射率区域和正折射率区域; 在中间区域$0.8\le\overline {\omega }\le 1.0$中, 由于电磁波不能在其中进行传输, 所以该区域为超常介质的反常吸收区域.图 1b给出了三阶非线性系数$\Gamma _1 $随归一化频率$\overline{\omega }$的变化曲线.此外, 从图 1(c)、图 1(d)、图 1(e)和图 1(f)可以看出: $\beta _1$在正、负折射率区域均为正值; 而$\beta _2 $则不同, 其在负折射率区域从负值递增至正值, 正如图 1(d)中子图所示, $\beta _2$在归一化频率$\overline {\omega }_D =0.706\;844$附近趋于零, 且在正折射率区域其值始终为负值; $\beta _3 $和$\beta _1 $一样, 在正、负折射率区域值始终为正, 但是其值在远离反常吸收区的较大区域内变化都很平缓, 而在邻近反常吸收区域边界时变得非常陡峭; $\beta _4$整体变化趋势与$\beta _2 $较相似, 但是$\beta _4$在负折射率区域取值为正.另外, 由于$\omega _\mathrm {pe}$和$\omega _\mathrm {pm} $的值是随着超常介质结构的变化而变化的, 所以图 1中的所有曲线都可以通过人为调节超常介质的结构去改变, 即可以通过调节超常介质的结构来达到通信系统的某种需求.

图 2(a)、图 2(c)取自网络^[15-16], 展现了四种常规介质的$\beta _2 $和$\beta _3 $关于波长的变化曲线, 将图 2(a)、图 2(c)中的横坐标改为频率并以$\omega _\mathrm {pe}$归一化, 并将纵坐标的单位分别化成ps$^2$/km、ps$^3$/km以便与图 1(d)、图 1(e)一致, 可以分别得到图 2(a)、图 2(c)中四种常规介质的色散系数$\beta _2$和$\beta _3 $关于归一化频率$\overline {\omega}$的变化曲线(图 2(b)、图 2(d)).从图 2(b)中可以看出:四种常规的二阶色散系数$\beta _2 $都为负, 它们都随归一化频率$\overline {\omega }$的增大而减小; 并且它们的值都非常小, 只有$10^{-1}$量级.而在图 1(d)中零色散归一化频率$\overline {\omega }_D=0.706\;844$附近二阶色散$\beta _2 $的值为$10^4$量级.虽然图 2(b)与图 1(d)中横坐标的频率范围有一定的差距, 但若按照图 2(b)中曲线的趋势进行延伸, 至$\overline {\omega }_D $时, $\left| {\beta _2 } \right|$也还是应该比图 1(d)的情形小.所以, 超常介质中的二阶色散$\left| {\beta _2 }\right|$比四种常规介质的$\left| {\beta _2 } \right|$大$10^5$量级, 虽然图 1(d)中$\beta _2 $的符号有正有负.同样, 从图 2(d)中可以看出:四种常规介质的三阶色散$\beta _3 $也都为负, 它们也都随着归一化频率$\overline {\omega }$的增大而减小; 并且它们的值都非常小, 只有$10^{-4}$量级.而在图 1(e)中, $\overline {\omega }_D $附近三阶色散$\beta _3 $的值为个位数.虽然图 2(d)与图 1(e)中横坐标的频率范围有一定的差距, 但若按照图 2(d)中曲线的趋势进行延伸, 至$\overline {\omega }_D $时, $\left| {\beta _3 } \right|$也还是应该比图 1(e)的情形小.所以, 超常介质中的三阶色散$\left| {\beta _3 }\right|$比四种常规介质的$\left| {\beta _3 }\right|$大$10^7$量级, 且符号相反.我们没有查到四阶色散的数据, 但据此类推超常介质中的四阶色散应该也比一些常规介质大.鉴于此, 在超常介质中我们有必要充分研究超常介质中高阶色散的影响.

3 脉冲在超常介质中的传输

本文采用BPM(Beam Propagation Method)(光束传播法)进行脉冲传输仿真.入射脉冲采用具有归一化强度的高斯脉冲$U(0, T)=\exp (-\frac{T^2}{2T_0^2})$, $T_0 $为脉冲在光强度峰值的$1/\mathrm e$处半宽度.仿真中, 取半极大全宽度$T_\mathrm {FWHM} =5$ ps, 此时传输比特率为$L=200$Gb/s.根据定义, 二阶色散长度为$L_D =\frac{T_0 ^2}{\vert \beta _2\vert }$, 三阶色散长度为${L}'_D =\frac{T_0 ^3}{\vert \beta _3 \vert}$.

3.1 同时考虑$\beta _2$、$\beta_3$对脉冲传输的影响

从图 1(d)中, 我们找到了零色散归一化频率$\overline {\omega }_D=0.706\;844$.在这个频率, 二阶色散$\beta _2 =0$, 也就是说, 脉冲在传输过程不会出现由于二阶色散所致的展宽.这是负折射率材料所特有的现象, 似乎是一个非常理想的情况, 但我们需要检查这时三阶色散的影响.根据图 1(b), 在$\overline {\omega }_D $附近, 非线性系数$\Gamma _1 $非常小, 因此在下面的仿真中不再特别讨论非线性系数$\Gamma _1 $的影响.

3.1.1 $\beta _2 =0$时, $\beta _3$对脉冲传输的影响

根据图 1(e), 在零色散归一化频率$\overline {\omega }_D =0.706\;844$, 可以获得$\beta _3 =2.069\;8$ ps$^3\cdot$km$^{-1}$.应该说, 三阶色散很大, 以至于三阶色散长度只有${L}'_D =60.39$ km, 很小.但我们知道, 三阶色散效应并不一定要等脉冲传输了60.39 km时才出现.为了了解实际情况, 我们仿真计算了这时脉冲的传输情况(图 3).

从图 3(a)可以看出, 脉冲在出现分裂前($z\le$ 22km)始终保持入射时的形状, 未有展宽.而当脉冲传输了约22 km, 由于$\beta _3 $的作用, 脉冲尾部略有抬起, 并开始出现一个分裂峰.根据图 3(b)中脉冲在$z=0$ km、21 km、22 km、23km处脉冲波形的对比图, 可以清晰地看出, 尽管脉冲在传输了22 km时, 脉冲分裂刚刚开始, 但是当脉冲继续多传输1 km至$z=$23 km, 脉冲后沿却出现了非常明显的分裂峰. 图 3说明, 虽然三阶色散长度为${L}'_D =$60.39 km, 但这并不意味着脉冲要传输到60.39 km附近才会有$\beta _3 $的影响.实际情况是, 在$z=$23 km时, $\beta _3 $已经开始起作用.当脉冲传输到60.39 km, $\beta _3 $对脉冲的影响已经十分剧烈, 甚至已经完全破坏了脉冲原有的形状.我们在分析图 2时指出过超常介质中的$\beta _3$至少比四种常规介质的$\beta _3 $大4个数量级, 正是超常介质中超大的三阶色散使得高斯脉冲仅仅传输了23km就开始出现了脉冲分裂.这也说明, 虽然在零色散归一化频率$\overline{\omega }_D $有着理想的$\beta _2 =0$, 但强烈的$\beta _3$却使得实际有效传输距离很短, 无法实用.因此, 我们需要转换视角, 考虑$\beta _3 $很小, 但$\beta _2 $可以被补偿的情形.我们先考虑负折射率材料在零色散归一化频率$\overline {\omega }_D$附近的情形.

3.1.2 零色散归一化频率左侧, 当$\beta _2＜0$且$\beta _3>0$, $\beta _2 $、$\beta _3 $对脉冲传输的影响

图 1(d)中, 零色散归一化频率$\overline {\omega }_D $的左侧, $\beta_2 ＜0$, 并且$\vert \beta _2 \vert $随着$\overline {\omega}$减小而增大. 图 1(e)中, 在$\overline {\omega }_D $左侧, $\beta _3$始终为正值, 且随着$\overline {\omega }$增大而增大.取两组$\beta_2 ＜0$且$\vert \beta _2 \vert $逐渐增大但$\beta _3$变化很小的色散数据列于表 1.图 4为相应于这两组数据的高斯脉冲在超常介质中的传输图.从图 4(a)中可以看出, 当$\vert \beta _2 \vert $较小时, 二阶色散长度$L_D =19.86$ km, 所以当传输了22km在高斯脉冲出现分裂前, 脉冲始终没有出现严重的展宽, 归一化的峰值保持在0.8以上.但当$\vert \beta _2 \vert$变大一点时, 二阶色散长度下降到$L_D =9.36$ km.在高斯脉冲出现分裂前, 脉冲已开始展宽并伴随着脉冲幅度的下降(图 4(c)); 当脉冲传输到$z=22$ km, 归一化脉冲峰值已经下降到大约0.6, $\beta _2$已经较为严重地影响了脉宽.

从图 4(b)、图 4(d)可以看出, 脉冲在22 km处开始出现分裂.但当脉冲出现分裂后, 脉冲继续传输很短距离, 脉冲就会迅速变坏, 次峰峰值和宽度都会迅速增大.同样的, 在上述两种情况下, 三阶色散长度$L_D'$也都超过了60 km, 但是脉冲分裂都在大约22km处开始出现, 随着脉冲的继续传输, 其分裂会越来越严重, 最终脉冲形状会被完全破坏.比较图 4(b)与图 4(d)可以发现, 如果$\beta _3 $大小相近, 当$\vert \beta _2 \vert $较大时, 脉冲分裂出的次峰的位置相对$\vert \beta _2 \vert$较小时候偏离主峰更远, 且次峰峰值相对小些, 所以$\vert \beta _2\vert $在一定程度上对脉冲分裂有抑制作用.此外, 还可以看出:当$\beta _2 ＜0$时, 脉冲分裂出的次峰出现在脉冲前沿.

比较图 3和图 4(d)可以看出, 图 4(d)中脉冲分裂的情形没有图 3严重, 分裂峰的峰值略小且离脉冲主峰更远, 但其实图 4(d)所对应的$\beta _3$要高于图 3对应的$\beta _3 $.发生这一现象的原因在于图 4(d)所对应的$\vert \beta _2 \vert $要大.这再一次证明了$\vert \beta _2 \vert$在一定程度上对脉冲分裂有抑制作用.

3.1.3 零色散归一化频率右侧, 当$\beta _2>0$且$\beta _3>0$, $\beta _2 $、$\beta _3 $对脉冲传输的影响

图 1(d)中, 零色散归一化频率$\overline {\omega }_D $的右侧, $\beta_2>0$, 且$\beta _2 $随着$\overline {\omega }$增大而增大. 图 1(e)中, 在$\overline{\omega }_D $右侧, $\beta _3 $也始终为正值, 且随着$\overline{\omega }$增大而增大.取两组$\beta _2>0$且$\beta _2 $逐渐增大但$\beta _3 $变化很小的色散数据列于表 2.图 5为根据表 2中色散数据的仿真结果. 图 5(a)与图 4(a)类似, 直到高斯脉冲出现分裂时, 脉冲依然没有出现严重的展宽, 峰值也保持在相对较高水平.但图 5(c)中当$\beta _2 $变大一点时, 二阶色散长度下降到$L_D =8.36$ km, 在脉冲出现分裂前, 脉冲已开始展宽并伴随着脉冲幅度的下降.

从图 5(b)也可以看出, 脉冲在22 km处开始出现分裂, 脉冲继续传输很短距离, 脉冲就迅速变坏, 次峰峰值和宽度都会迅速增大.图 5(d)中, 脉冲分裂也是出现在大约22 km, 但是当脉冲传输到22 km时, 脉冲展宽已经很明显; 与图 4情况相似, 虽然三阶色散长度$L_D'$也都超过了60 km, 但是脉冲分裂都在大约22 km处开始出现.与图 4中情况类似, 当$\beta _3 $大小相近, $\beta _2 $越大, 脉冲分裂峰的位置相对$\beta _2 $较小时候偏离主峰更远, 且次峰峰值相对小, 同样说明$\beta _2$一定程度上对脉冲分裂有抑制作用.但是与图 4中不同的是, 当$\beta _2>0$时, 脉冲分裂不再出现在脉冲前沿, 而是出现在了脉冲后沿.

比较图 3和图 5(d)可以看出, 图 5(d)中脉冲分裂的情形没有图 3严重, 分裂峰的峰值略小且偏离脉冲主峰更远, 但其实图 5(d)所对应的$\beta _3$要高于图 3对应的$\beta _3 $.发生这一现象的原因同样在于图 5(d)所对应的$\vert \beta _2 \vert$要大.这再一次证明了$\vert \beta _2 \vert$在一定程度上对脉冲分裂有抑制作用.

3.2 同时考虑$\beta _2$、$\beta _3$、$\beta _4$对脉冲传输的影响

在常规介质中, 由于$\beta _4 $非常小, 它们对脉冲传输的影响可以忽略不计, 所以通常情况下不予考虑.通过以上的讨论, 已知在超常介质中$\beta _4 $要比常规介质中大一些.不过$\overline {\omega }_D $附近的$\beta _4$大约处在$10^{-3}$量级, 比$\beta _3 $小三个数量级(图 1(f)).可见高阶色散、诸如$\beta _4 $对脉冲传输的作用也是很小的.为了简单说明超常介质中$\beta _4 $对高斯脉冲传输的影响, 根据图 1取两组色散数据如表 3所示.在这两组数据中, $\beta _2$的符号不同, 但$\vert \beta _2 \vert $、$\beta _3 $、$\beta _4$的值相差很小.我们得到了图 6的仿真结果.

图 6中红色为$\beta _2 $、$\beta _3 $同时作用下的脉冲传输图, 蓝色为$\beta _2 $、$\beta _3 $、$\beta _4 $同时作用下的脉冲传输图.从图 6(a)、图 6(c)中可以看出, 考虑$\beta _4 $与不考虑$\beta _4$时, 脉冲传输过程中整体变化趋势大体相同, 即红线和蓝线整体上大致重叠.但当对比两者传输到21km处放大后的细节图(图 6(b)、图 6(d))时可以发现, 对于$\beta _2＜0$和$\beta _4 >0$的情况, 在脉冲半高带宽处, 蓝线在红线内侧, 说明$\beta _2 $对脉冲的展宽起到一定的抑制作用; 而对于$\beta _2>0$, $\beta _4 >0$的情形, 情况则有所不同, 即蓝线出现在了红线的外侧, 说明此时$\beta _4 $加剧了脉冲的展宽.从图 6(a)、图 6(c)也可以看出, $\beta _4$不会对脉冲分裂位置产生影响, $\beta _2 ＜0$时, 脉冲分裂依然出现在前沿; 而$\beta _2 >0$时, 脉冲分裂出现在后沿.

4 色散补偿

据前分析, 超常介质中二阶、三阶色散都是较为严重的问题.即便是能够通过选取归一化频率使得$\beta _2=0$、即完全没有二阶色散所致的脉冲展宽, 但三阶色散所致的脉冲尾部震荡依然在脉冲传输了23 km时就出现了.所以应该寻找是否有二阶、三阶色散都可以得到补偿的情形或$\beta _3$很小使得${L}'_D $很长、但$\beta _2 $可以被补偿的情形.既然超常介质的特性依赖于系数${\omega }_\mathrm {pe} $和${\omega}_\mathrm {pm} $, 这两系数依赖于超常介质的结构, 所以超常介质的所有特性都可以通过人为调节超常介质的结构去改变.如果欲使二阶、三阶色散都得以补偿, 根据色散补偿理论, 应有

$\beta _{21} L_1 +\beta _{22} L_2 =0, \quad {\beta _{31}L_1 +\beta _{32} L_2 =0},$

(8)

其中, $L=L_1 +L_2 $是色散排布周期, $\beta _{2j} $和$\beta _{3j}$分别是长为$L_j $的超常材料的二阶和三阶色散系数(j=1, 2).也就是说需要找到对于同一个归一化频率$\beta _2 $和$\beta _3$既可为正、又可为负的情形.据此要求, 我们研究了超常介质特征参数对结构参数$ {\omega }_\mathrm {pe} $和$ {\omega }_\mathrm{pm} $的依赖关系. 图 7给出了图 1中各参数对于区间$0.1\le \overline{\omega }\le 0.9$和$0\le \overline {\omega }_p \le 2$的曲面图.根据定义, $\overline {\omega }$和$\overline {\omega }_p$的变化即代表了$ {\omega }_\mathrm {pe} $和$ {\omega }_\mathrm{pm} $的变化.

在图 7(d)和图 7(f)中$\beta _2 $和$\beta _4 $有正有负, 可以根据实际需求进行取值.然而值得注意的是, 图 7(e)中$\beta _3$在这个结构参数和归一化频率变化区域内始终为正值.也就是说, 我们无法找到$\beta _3 $为负的值, 也就无法进行三阶色散的补偿.所幸的是, 我们几经搜索, 找到了如表 4所示的一组参数值.这组参数中, 对于同一归一化频率, $\beta _2 $可正可负, 且正值与负值非常接近, 使得二阶色散几乎可以完全补偿.同时$\beta _3 $非常之小, 以至于三阶色散长度可以接近380 km.也就是说, 在二阶色散效应得以补偿之时, 三阶色散效应基本上还未出现.

将表 4中两种超常材料M1和M2交叉周期性排布, 可以得到一个平均GVD很小甚至可以忽略的新型复合超常材料.取M1和M2的长度$L_1 =L_2 =20$ km(复合超常材料的周期即为$L=40$km), 在忽略损耗时, 对高斯脉冲传输的仿真结果如图 8所示.

从图 8(a)可以看出, 脉冲在M1中传输时, 脉冲的宽度随着传输距离增加而展宽, 脉冲的幅值则因为脉冲的展宽而下降.当传输距离为$L_1 =20$ km, 脉冲幅值降为0.8.此时脉冲进入M2继续传输, 随着脉冲传输距离的继续增加, 脉冲高度逐渐增高.而且从图 8(b)也可以看出, 此时脉冲的宽度也逐渐收缩, 即脉冲的GVD效应得到了补偿.当脉冲传输到$Z=L_1 +L_2 =40$ km时, 脉冲的幅值已经恢复到了入射幅值, 即脉冲从宽度和幅度两个方面得到了完全补偿.此后的情况重复第一个周期的情况, 脉冲周期性地被展宽与补偿, 直到传输到更远的距离$Z=120$ km.虽然脉冲传输了一个M1+M2的周期后, $\beta _2 $的GVD效应得到了基本补偿, 但$\beta _3$的作用则仍然留存, 并且随着传输距离的增加而累积.所幸的是, 我们发现M1和M2的三阶色散长度都很长, 接近380 km(表 4).当我们的仿真距离接近140 km时, 三阶色散效应刚刚开始显现, 此时可以在传输链路中加装中继器对脉冲进行整形, 补偿$\beta _3$的作用.

5 结论

本文研究了超常材料中高阶色散与归一化频率的关系, 发现超常材料的二阶色散和高阶色散与一些常规介质相比非常之大, 对脉冲的传输有更为严重的影响.虽然我们找到了$\beta _2\mbox{=}0$脉冲不会展宽的情形, 但却因为$\beta _3$太大致使脉冲仅仅传输了23 km就出现了分裂.通过研究超常介质色散系数与结构参数的关系, 找到了$\beta _2$可以被补偿且$\beta _3 $很小的情形, 使高斯脉冲可以顺利传输120km, 说明超常介质能够用于通信.

从仿真中还可看出, $\vert \beta _2 \vert$不仅像已有研究指出的那样会引起脉冲的展宽, 而且展宽比一些常规介质更为严重, 同时$\beta _2$的符号也会影响脉冲分裂出现的位置; 而$\beta _3$则会比某些常规介质中更为严重地影响脉冲形状, 使得脉冲出现分裂峰, 甚至完全破坏脉冲的完整性; $\beta _4 $的作用则会受到$\beta _2$的符号影响, 如果$\beta_2＜0 $, $\beta _4 $可抑制脉冲展宽, 相反, 当$\beta_2>0 $, $\beta_4$则加剧脉冲展宽.