0 引 言

由于非线性偏微分方程能够描述物理、生物、化学和医学等领域中的复杂现象, 而且越来越多的数学、物理和工程问题要转化为非线性偏微分方程的求解问题.因此, 研究偏微分方程有重要的意义.而非线性偏微分方程的精确解可以更好地解释某些物理现象.经过多年研究, 人们已经提出许多行之有效的方法, 比如经典李群方法^[1-3], Hirota双线性方法^[4-5], 修正的CK直接约化方法^[6-7], 齐次平衡方法^[8-10]等.其中李群方法是研究微分方程的有力工具之一, 寻找方程的李点对称, 由已知解生成新解, 从而建立新解和旧解之间的联系.而且这种方法不仅适用于常系数方程和方程组, 而且适用于变系数方程.考虑以下变系数四阶偏微分方程

$ \begin{equation} u_{t}+\alpha(t)u^{p}u_{x}+\beta u_{xxxx}=0, \end{equation} $

(1)

其中$u=u(x, t), \alpha(t)$为$t$的函数, $\beta$为任意常数, $p=1, 2, 3, \cdots$.此类方程尤其在研究弹性梁的弯曲状况和解的稳定性中有重要的意义^[11].

本文由以下几部分组成:第1节求出方程(1)的李点对称; 第2节, 以$p=3$为例对方程(1)进行约化; 第3节, 结合$(G'/G)$展开法^[12-14], 幂级数展开法^[15-16], 构造辅助方程^[17-18]等方法, 对约化后的常微分方程求其精确解, 进而得到原方程的精确解; 第4节, 给出方程(1)的伴随方程和守恒律^[19-21]; 第5节, 作简要总结.

1 变系数四阶微分方程的对称

设方程(1)的单参数向量场为

$ \begin{equation} V=\xi(x, t, u)\frac{\partial}{\partial x}+\tau(x, t, u)\frac{\partial}{\partial t}+\phi(x, t, u)\frac{\partial}{\partial u}, \end{equation} $

(2)

其中$\xi(x, t, u), \tau(x, t, u), \phi(x, t, u)$为待定函数.若向量场(2)为方程(1)的李点对称, 则

$ \begin{equation} \mathit{\rm{pr}}^{(4)}V(\Delta)|_{\Delta=0}=0, \end{equation} $

(3)

其中$\mathit{\rm{pr}}^{(4)}V=V+\phi^{t}\frac{\partial}{\partial u_{t}}+\phi^{x}\frac{\partial}{\partial u_{x}}+\phi^{xxxx}\frac{\partial}{\partial u_{xxxx}}$, $\Delta=u_{t}+\alpha(t)u^{p}u_{x}+\beta u_{xxxx}$.必须且只需

$ \begin{equation} \phi^{t}+\alpha'(t)\tau u^{p}u_{x}+p\alpha(t)u^{p-1}u_{x}\phi+ \alpha(t)u^{p}\phi^{x}+\beta\phi^{xxxx}=0, \end{equation} $

(4)

其中系数函数为$\phi^{x}=D_{x}\phi-u_{x}D_{x}\xi-u_{t}D_{x}\tau$, $\phi^{t}=D_{t}\phi-u_{x}D_{t}\xi-u_{t}D_{t}\tau$, $\phi^{xxxx}=D^{4}_{x}\phi-u_{x}D^{4}_{x}\xi-4u_{xx}D^{3}_{x}\xi-4u_{xxxx}D_{x}\xi-6u_{xxx}$$D^{2}_{x}\xi -u_{t}D^{4}_{x}\tau-4u_{xt}D^{3}_{x}\tau-4u_{xxxt}D_{x}\tau-6u_{xxt}D^{2}_{x}\tau$.这里$D_{x}, D_{t}$是全微分算子.把这些系数函数代入式(4), 由对称条件可以得到关于$\xi(x, t, u), \tau(x, t, u), \phi(x, t, u)$的方程组

$ \begin{align} u^{2}_{xx}: \phi_{uu}&=0, \nonumber\\ u_{xxxx}:\tau_{x}=0,&\Longrightarrow \tau=\tau(t), \nonumber\\ \cdots& \nonumber\\ u^{p}u_{x}: p\alpha(t)C_{4}+[4t\alpha'(t)+& 3\alpha(t)]C_{1}+\alpha'(t)C_{2}=0. \end{align} $

(5)

解以上方程组得

$ \begin{equation} \xi=C_{1}x+C_{3}, \tau=4C_{1}t+C_{2}, \phi=C_{4}u, \end{equation} $

(6)

其中$C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$为任意常数.

下面根据$\alpha(t)$的取法不同讨论(5), 得到方程(1)的生成元.

情况(ⅰ)

当$\alpha'(t)=0$时, 即$\alpha(t)=k(k$为非零常数),

$ \xi=C_{1}x+C_{3}, \tau=4C_{1}t+C_{2}, \phi=-\frac{3}{p}u, $

则生成元为

$ \begin{equation} V_{1}=\frac{\partial}{\partial t}+x\frac{\partial}{\partial x}-\frac{3u}{p}\frac{\partial}{\partial u}, V_{2}=\frac{\partial}{\partial t}, \quad V_{3}=\frac{\partial}{\partial x}. \end{equation} $

(7)

情况(ⅱ)

(1) 当$4t\alpha'(t)+3\alpha(t)=0$时, 即$\alpha(t)=kt^{-\frac{3}{4}}$($k$为非零常数),

$ \xi=C_{1}x+C_{3}, \tau=4C_{1}t, \phi=0, $

则生成元为

$ \begin{equation} V_{1}=4t\frac{\partial}{\partial t}+x\frac{\partial}{\partial x}, V_{2}=\frac{\partial}{\partial x}. \end{equation} $

(8)

(2) 当$4t\alpha'(t)+3\alpha(t)\neq0$时, 有下列几种子情况.

(a) $\alpha'(t)=kp\alpha(t)$, 即$\alpha(t)=l{\rm{e}}^{kpt}$($k$为非零常数),

$ \xi=C_{3}, \tau=C_{2}, \phi=-kC_{2}u, $

则生成元为

$ \begin{equation} V_{1}=\frac{\partial}{\partial t}-ku\frac{\partial}{\partial u}, V_{2}=\frac{\partial}{\partial x}. \end{equation} $

(9)

(b) $4t\alpha'(t)+3\alpha(t)=k\alpha'(t)$, 即$\alpha(t)=l(4t-k)^{-\frac{3}{4}}$$(k, l$为非零常数),

$ \xi=C_{1}x+C_{3}, \tau=4C_{1}t-kC_{1}, \phi=0, $

则生成元为

$ \begin{equation} V_{1}=(4t-k)\frac{\partial}{\partial t}+x\frac{\partial}{\partial x}, V_{2}=\frac{\partial}{\partial x}. \end{equation} $

(10)

(c) $4t\alpha'(t)+3\alpha(t)=kp\alpha(t)$, 即$\alpha(t)=lt^{\frac{pk-3}{4}}$($k, l$为非零常数),

$ \xi=C_{1}x+C_{3}, \tau=4C_{1}, \phi=-kC_{1}u, $

则生成元为

$ \begin{equation} V_{1}=4t\frac{\partial}{\partial t}+x\frac{\partial}{\partial x}-k\frac{\partial}{\partial u}, V_{2}=\frac{\partial}{\partial x}. \end{equation} $

(11)

(d) $C_{1}=C_{2}=C_{4}=0$, 即$\alpha(t)$为关于$t$的任意函数. $\xi=C_{3}, V=\frac{\partial}{\partial x}$.

2 变系数四阶微分方程的对称约化

前文中我们已经求出了方程(1)的李点对称, 下面以$p=3$为例, 对方程(1)进行约化.

2.1 情况(ⅰ)

当$\alpha'(t)=0$时, 即$\alpha(t)=k$($k$为非零常数), 方程(1)退化为常系数四阶偏微分方程

$ \begin{equation} u_{t}+ku^{3}u_{x}+\beta u_{xxxx}=0. \end{equation} $

(12)

(a) 对于向量场$V_{1}=\frac{\partial}{\partial t}+x\frac{\partial}{\partial x}-\frac{3u}{p}\frac{\partial}{\partial u}$, 对应的群不变解为$u=f(\xi) t^{-\frac{1}{4}}$, 其中$\xi=xt^{-\frac{1}{4}}$, 将其代入方程(12), 得约化方程为

$ \begin{equation} -\dfrac{1}{4}\xi f'-\frac{1}{4}f+kf^{3}f'+\beta f^{(4)}=0, \end{equation} $

(13)

其中$f'={\rm{d}}f/{\rm{d}}\xi$.

(b) 对于向量场$V=V_{2}+cV_{3}=\partial t+c\partial x$, 对应的群不变解为$u=f(\xi)$, 其中$\xi=x-ct$, 将其代入方程(12), 得约化方程为

$ \begin{equation} -cf'+kf^{3}f'+\beta f^{(4)}=0, \end{equation} $

(14)

其中$f'={\rm{d}}f/{\rm{d}}\xi$.

2.2 情况(ⅱ)

(1) 当$4t\alpha'(t)+3\alpha(t)=0$时, 即$\alpha(t)=kt^{-\frac{3}{4}}$($k$为非零常数), 方程(1)变为

$ \begin{equation} u_{t}+kt^{-\frac{3}{4}}u^{3}u_{x}+\beta u_{xxxx}=0. \end{equation} $

(15)

对于向量场$V_{1}=4t\partial t+x\partial x$, 对应的群不变解为$u=f(\xi)$, 其中$\xi=xt^{-\frac{1}{4}}$, 将其代入方程(15), 得约化方程为

$ \begin{equation} -\frac{1}{4}\xi f'+kf^{3}f+\beta f^{(4)}=0, \end{equation} $

(16)

其中$f'={\rm{d}}f/{\rm{d}}\xi$.

(2) 当$4t\alpha'(t)+3\alpha(t)\neq0$时, 有下列几种子情况.

(a) $\alpha'(t)=kp\alpha(t)$, 即$\alpha(t)=l{\rm{e}}^{kpt}$($k$为非零常数), 方程(1)变为

$ \begin{equation} u_{t}+l{\rm{e}}^{3kt}u^{3}u_{x}+\beta u_{xxxx}=0. \end{equation} $

(17)

对于向量场$V_{1}=\partial t-ku\partial u$, 对应的群不变解为$u=f(\xi){\rm{e}}^{-kt}$, 其中$\xi=x$, 将其代入方程(17), 得约化方程为

$ \begin{equation} kf+lf^{3}f'+\beta f^{(4)}=0, \end{equation} $

(18)

其中$f'={\rm{d}}f/{\rm{d}}\xi$.

(b) $4t\alpha'(t)+3\alpha(t)=k\alpha'(t)$, 即$\alpha(t)=l(4t-k)^{-\frac{3}{4}}$($k, l$为非零常数), 方程(1)变为

$ \begin{equation} u_{t}+l(4t-k)^{-\frac{3}{4}}u^{3}u_{x}+\beta u_{xxxx}=0. \end{equation} $

(19)

对于向量场$V_{1}=(4t-k)\partial t+x\partial x$, 对应的群不变解为$u=f(\xi)$, 其中$\xi=x(4t-k)^{-\frac{1}{4}}$, 将其代入方程(19), 得约化方程为

$ \begin{equation} -\frac{1}{4}\xi f'+lf^{3}f+\beta f^{(4)}=0, \end{equation} $

(20)

其中$f'={\rm{d}}f/{\rm{d}}\xi$.约化后的方程(20)和方程(16)形式相同.

(c) $4t\alpha'(t)+3\alpha(t)=kp\alpha(t)$, 即$\alpha(t)=lt^{\frac{pk-3}{4}}$($k, l$为非零常数), 方程(1)变为

$ \begin{equation} u_{t}+lt^{\frac{3k-3}{4}}u^{3}u_{x}+\beta u_{xxxx}=0. \end{equation} $

(21)

对于向量场$V_{1}=4t\partial t+x\partial x-k\partial u$, 对应的群不变解为$u=f(\xi)t^{-\frac{k}{4}}$, 其中$\xi=xt^{-\frac{1}{4}}$, 将其代入方程(21), 得约化方程为

$ \begin{equation} -\frac{1}{4}\xi f'-\frac{k}{4}f+lf^{3}f+\beta f^{(4)}=0, \end{equation} $

(22)

其中$f'={\rm{d}}f/{\rm{d}}\xi$.

(d) $C_{1}=C_{2}=C_{4}=0$即$\alpha(t)$为关于$t$的任意的函数.方程(1)的群不变解为$u=f(t)$, 将其代入方程(1)得$f'(t)=0$.易得方程(1)的精确解为$u=C$, 其中$C$为任意常数.

3 变系数四阶偏微分方程的精确解

前文中, 我们通过讨论$\alpha(t)$的不同情况, 已经得到了约化方程.本节中, 我们结合椭圆函数展开法、$(G'/G)$展开法及幂级数展开法等对约化后的方程(13)、(14)、(16)和(18)求其精确解, 进而得到方程(1)的精确解, 包括精确幂级数展开解, 椭圆函数展开解及三角函数解等.

3.1 方程(13)的精确解

对方程(13)积分一次, 得

$ \begin{equation} \xi f-kf^{4}-4\beta f'''=A_{0}, \end{equation} $

(23)

其中$A_{0}$是积分常数.假设方程(23)有以下形式的解

$ \begin{equation} f(\xi)=\sum\limits_{n=0}^{m}a_{m}(\xi)\varphi^{m}(a_{1}(\xi)\neq0), \end{equation} $

(24)

由齐次平衡原理得$m=1$, 故方程(24)有以下形式的解, 且

$ \begin{equation} f(\xi)=a_{1}(\xi)\varphi+a_{0}(\xi), \end{equation} $

(25)

其中$\varphi$是Riccati方程的已知解

$ \begin{equation} \varphi'(\xi)=A+B\varphi(\xi)+C\varphi^{2}(\xi), \end{equation} $

(26)

其中$A=A(\xi), B=B(\xi), C=C(\xi)$.

把式(25)、(26)代入方程(23)中, 比较$\varphi^{i}(i=0, 1, 2, 3, 4)$的同次幂系数得

$ a_{1}=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}C(\xi), a_{0}=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left(\frac{B(\xi)}{2}+\frac{5C'(\xi)}{12C(\xi)}\right), A_{0}=0. $

当$\lambda^{2}-4\mu>0$时, 方程(23)的精确解为

$ f_{1}(\xi)=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left[\frac{\Delta_{1}}{2} \left(\frac{C_{1}\sinh\frac{1}{2}\Delta_{1}\xi+C_{2}\cosh\frac{1}{2}\Delta_{1}\xi}{C_{1}\cosh\frac{1}{2}\Delta_{1}\xi+C_{2}\sinh\frac{1}{2}\Delta_{1}\xi}\right)+\frac{C'}{6C}+\frac{B}{2}\right], $

故方程(12)的精确解为

$ u_{1}(x, t)=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left[\frac{\Delta_{1}}{2} \left(\frac{C_{1}\sinh\frac{1}{2}\Delta_{1}xt^{-\frac{1}{4}}+C_{2}\cosh\frac{1}{2}\Delta_{1}xt^{-\frac{1}{4}}}{C_{1}\cosh\frac{1}{2}\Delta_{1}xt^{-\frac{1}{4}}+C_{2}\sinh\frac{1}{2}\Delta_{1}xt^{-\frac{1}{4}}}\right) +\frac{C'}{6C}+\frac{B}{2}\right]t^{-\frac{1}{4}}. $

其中$\Delta_{1}=\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}$, $C_{1}, C_{2}$均为任意常数, $B=B(\xi), C=C(\xi)$.

当$\lambda^{2}-4\mu<0$时, 方程(23)的精确解为

$ f_{2}(\xi)=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left[\frac{\Delta_{2}}{2} \left(-\frac{C_{1}\sin\frac{1}{2}\Delta_{2}\xi+C_{2}\cos\frac{1}{2}\Delta_{2}\xi}{C_{1}\cos\frac{1}{2}\Delta_{2}\xi+C_{2}\sin\frac{1}{2}\Delta_{2}\xi}\right)+\frac{C'}{6C}+\frac{B}{2}\right], $

故方程(12)的精确解为

$ u_{2}(x, t)=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left[\frac{\Delta_{2}}{2} \left(-\frac{C_{1}\sin\frac{1}{2}\Delta_{2}xt^{-\frac{1}{4}}+C_{2}\cos\frac{1}{2}\Delta_{2}xt^{-\frac{1}{4}}}{C_{1}\cos\frac{1}{2}\Delta_{2}xt^{-\frac{1}{4}}+C_{2}\sin\frac{1}{2}\Delta_{2}xt^{-\frac{1}{4}}}\right) +\frac{C'}{6C}+\frac{B}{2}\right]t^{-\frac{1}{4}}. $

其中$\Delta_{2}=\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}$, $C_{1}, C_{2}$均为任意常数, $B=B(\xi), C=C(\xi)$.

当$\lambda^{2}-4\mu=0$时, 方程(23)的精确解为

$ f_{3}(\xi)=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left(\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}\xi}+\frac{C'}{6C}+\frac{B}{2}\right), $

故方程(12)的精确解为

$ u_{3}(x, t)=-\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left(\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}xt^{-\frac{1}{4}}}+\frac{C'}{6C}+\frac{B}{2}\right)t^{-\frac{1}{4}}, $

其中$C_{1}, C_{2}$均为任意常数, $B=B(\xi), C=C(\xi)$.

3.2 方程(14)的精确解

对方程(14)积分一次得

$ \begin{equation} cf-\frac{k}{4}f^{4}-\beta f'''=B_{0}, \end{equation} $

(27)

其中$B_{0}$为积分常数.假设方程(27)有如下形式的解

$ \begin{equation} f(\xi)=\sum\limits_{n=0}^{m}k_{m}\varphi^{m}, \end{equation} $

(28)

由齐次平衡原理得$m=1$.故方程(27)有如下形式的解

$ \begin{equation} f(\xi)=k_{1}\varphi+k_{0}, \end{equation} $

(29)

其中$k_{1}, k_{0}$为待定常数, $\varphi(\xi)$是Riccati方程的已知解, 且

$ \begin{equation} \varphi'=A+B\varphi+C\varphi^{2}, \end{equation} $

(30)

其中$A$, $B$, $C$是常数.把式(29)、(30)代入方程(27)中, 收集$\varphi^{i}(i=0, 1, 2, 3, 4)$的各项系数, 并且令各项系数为零, 得到关于$k_{1}$, $k_{0}$的代数方程组, 解方程组得

$ k_{1}=\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}C, k_{0}=\frac{B}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}C, B_{0}=\left(\frac{3B^{4}C^{4}\beta^{2}}{2k}+\frac{A^{2}C^{2}k}{2}+\frac{AkCB^{2}}{4}-\frac{BC}{2}\right)\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}. $

我们给出$A$, $B$, $C$取特殊值时的解, 其他情况见文献[22].

当$A=\frac{1}{2}, B=0, C=-\frac{1}{2}$时,

$ \varphi_{1}=\coth\xi\pm \mathit{\rm{csch}}\xi, \varphi_{2}=\tanh\xi\pm \mathit{{\rm{sech}}}\xi, \varphi_{3}=\frac{\tanh \xi}{1\pm \mathit{{\rm{sech}}}\xi}, \varphi_{4}=\frac{\coth \xi}{1\pm \mathit{\rm{csch}}\xi}, $

故方程(27)的解为

$ \begin{align*} &f_{4}(\xi)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}(\coth\xi\pm \mathit{\rm{csch}}\xi), \quad f_{5}(\xi)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}(\tanh\xi\pm \mathit{{\rm{sech}}}\xi), \\[2mm] &f_{6}(\xi)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\Big(\frac{\tanh \xi}{1\pm \mathit{{\rm{sech}}}\xi}\Big), \quad f_{7}(\xi)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\Big(\frac{\coth \xi}{1\pm \mathit{\rm{csch}}\xi}\Big). \end{align*} $

对于方程(14)的解

$ u_{4}(x, t)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}[\coth(x-ct)\pm \mathit{\rm{csch}}(x-ct)], $

借助Maple软件, $u_{4}(x, t)$的图像如图 1所示.

对于方程(14)的解

$ u_{5}(x, t)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left[\tanh(x-ct)\pm \mathit{{\rm{sech}}}(x-ct)\right], $

$u_{5}(x, t)$的图像如图 2所示.

对于方程(14)的解

$ u_{6}(x, t)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left[\frac{\tanh (x-ct)}{1\pm \mathit{{\rm{sech}}}(x-ct)}\right], $

$u_{6}(x, t)$的图像如图 3所示.

对于方程(14)的解

$ u_{7}(x, t)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{24\beta}{k}}\left[\frac{\coth (x-ct)}{1\pm \mathit{\rm{csch}}(x-ct)}\right]. $

$u_{7}(x, t)$的图像如图 4所示.

3.3 方程(16)的幂级数解

假设方程(16)有如下形式的幂级数展开解

$ \begin{equation} f(\xi)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_{n}\varphi^{n}, \end{equation} $

(31)

把式(31)代入方程(16)中, 得

$ \begin{array}{l} l\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^k {\sum\limits_{m = 0}^j {(n + 1 - k)} } } {C_m}{C_{j - m}}{C_{k - j}}{C_{n - k}}} \right)} {\xi ^n} - \frac{1}{4}\sum\limits_{n = 1}^\infty n {C_n}{\xi ^n} + lC_0^3{C_1}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + 24\beta {C_4} + \beta \sum\limits_{n = 1}^\infty {(n + 1)} (n + 2)(n + 3)(n + 4){C_{n + 4}}{\xi ^n} = 0, \end{array} $

(32)

比较式(32)中的系数, 可得:当$n=0$时, $C_{4}=-\frac{lC^{3}_{0}C_{1}}{24\beta}$;

当$n\geq1$时,

$ \begin{equation} C_{n+4}=\frac{\frac{1}{4}nC_{n}-l\sum\limits_{k=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{k}\sum\limits_{m=0}^{j}C_{m}C_{j-m}C_{k-j}C_{n+1-k}}{\beta(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}, \end{equation} $

(33)

其中$C_{0}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$为任意常数.由(33)式可得

$ C_{5}=\frac{C_{1}-8lC^{3}_{0}C_{2}+4lC^{2}_{0}C^{2}_{1}+8lC_{0}C^{3}C_{1}+4lC^{2}_{0}C_{1}C_{2}}{480\beta}. $

故方程(16)的解为

$ f_{8}(\xi)=C_{0}+C_{1}\xi+C_{2}\xi^{2}+C_{3}\xi^{3}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_{n+4}\xi^{n+4}, $

因此得原方程(15)的精确幂级数展开解为

$ u_{8}(x, t)=C_{0}+C_{1}(xt^{-\frac{1}{4}}) C_{2}(xt^{-\frac{1}{4}})^{2}+C_{3}(xt^{-\frac{1}{4}})^{3}+ \sum\limits_{n=0}^{\infty}C_{n+4}(xt^{-\frac{1}{4}})^{n+4}, $

其中$C_{0}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$为任意常数, $C_{n+4}$由(33)式确定.

3.4 方程(18)的精确解

假设方程(18)有如下形式的$\frac{G'}{G}$解

$ \begin{equation} f(\xi)=\sum\limits_{n=0}^{m}\alpha_{m}\left(\frac{G'}{G}\right)^{m}, \end{equation} $

(34)

其中$G=G(\xi)$, 且满足二阶线性常微分方程

$ \begin{equation} G''+\lambda G'+\mu G=0. \end{equation} $

(35)

由式(34)和(35)得

$ f^{(4)}=m(m+1)(m+2)(m+3)(m+4)\alpha_{m}\left(\frac{G'}{G}\right)^{m+4}+\cdots, $

(36)

$ f^3=\alpha^{3}_{m}\left(\frac{G'}{G}\right)^{3m}+\cdots, $

(37)

$ f'=-m\alpha_{m}\left(\frac{G'}{G}\right)^{m+1}+\cdots. $

(38)

把式(34)-(38)代入方程(18), 平衡最高阶导数项$f^{(4)}$和最高阶非线性项$f^{3}f'$的次数, 得$m=1$, 故方程(18)有如下形式的解

$ \begin{equation} f(\xi)=\alpha_{1}\left(\frac{G'}{G}\right)+\alpha_{0}, \end{equation} $

(39)

把式(35)-(39)代入方程(18)中, 且令式中$(\frac{G'}{G})^{i}(i=0, 1, 2, 3, 4, 5)$的各项系数为零, 得到关于$\alpha_{0}, \alpha_{1}$的超定方程组, 解方程组得

$ \alpha_{1}=\frac{2\sqrt[3]{3\beta l^{2}}}{l}, \quad \alpha_{0}=\frac{\lambda\sqrt[3]{3\beta l^{2}}}{l}. $

当$\lambda^{2}-4\mu>0$时, 方程(18)的精确解为

$ f_{9}(\xi)=\frac{\sqrt[3]{3\beta l^{2}}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}}{l} \left(\frac{C_{1}\sinh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}\xi+C_{2}\cosh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}\xi}{C_{1}\cosh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}\xi+C_{2}\sinh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}\xi}\right), $

故方程(17)的精确解为

$ u_{9}(x, t)=\frac{\sqrt[3]{3\beta l^{2}}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}}{l} \left(\frac{C_{1}\sinh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}x+C_{2}\cosh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}x}{C_{1}\cosh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}x+C_{2}\sinh\frac{1}{2}\sqrt{\lambda^{2}-4\mu}x}\right){\rm{e}}^{-kt}, $

当$\lambda^{2}-4\mu<0$时, 方程(18)的精确解为

$ f_{10}(\xi)=\frac{\sqrt[3]{3\beta l^{2}}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}}{l} \left(\frac{-C_{1}\sin\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}\xi+C_{2}\cos\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}\xi}{C_{1}\cos\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}\xi+C_{2}\sin\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}\xi}\right), $

故方程(17)的精确解为

$ u_{10}(x, t)=\frac{\sqrt[3]{3\beta l^{2}}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}}{l} \left(\frac{-C_{1}\sin\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}x+C_{2}\cos\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}x}{C_{1}\cos\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}x+C_{2}\sin\frac{1}{2}\sqrt{4\mu-\lambda^{2}}x}\right){\rm{e}}^{-kt}, $

当$\lambda^{2}-4\mu=0$时, 方程(18)的精确解为

$ f_{11}(\xi)=\frac{2\sqrt[3]{3\beta l^{2}}C_{2}}{l(C_{1}+C_{2}\xi)}, $

故原方程(17)的精确解为

$ u_{11}(x, t)=\frac{2\sqrt[3]{3\beta l^{2}}C_{2}{\rm{e}}^{-kt}}{l(C_{1}+C_{2}x)}, $

其中$C_{1}$, $C_{2}$均为常数.

4 变系数四阶微分方程的伴随方程和守恒律

在这一部分, 我们将给出方程(1)的伴随方程和守恒律.

方程(1)的伴随方程为

$ \begin{equation} F^{*}=v_{t}+\alpha(t)u^{p}v_{x}-\beta v_{xxxx}=0, \end{equation} $

(40)

设$v=\psi(x, t, u)$, 且$\psi(x, t, u)\neq0$.根据Ibragimov给出的定义

$ \begin{equation} F^{*}\mid_{v=\psi}=\lambda(x, t, u, \cdots)F, \end{equation} $

(41)

其中$F=u_{t}+\alpha(t)u^{p}u_{x}+\beta u_{xxxx}=0$.把式(40)、(41)入方程(1), 得

$ \psi_{t}+\beta \psi_{xxxx}+(\psi_{u}+\lambda)u_{t}+\alpha(t)u^{p}\psi_{x}-4\beta \psi_{uxxx}u_{x}-6\beta \psi_{uuxx}u^{2}_{x} -6\beta \psi_{uxx}u_{xx} $

$ -4\beta \psi_{uuux}u^{3}_{x}+12\beta \psi_{uux}u_{x}u_{xx}-\beta \psi_{uuuu}u^{4}_{x}-6\beta \psi_{uuu}u^{2}_{x}u_{xx} -4\beta \psi_{ux}u_{xxx} $

$ -4\beta \psi_{uu}u_{x}u_{xxx}+\beta(\lambda- \psi_{u})u_{xxxx}-3\beta \psi_{uu}u^{2}_{xx}+\alpha(t)\lambda u^{p}u_{x}=0. $

比较$u_{x}, u_{t}, u^{2}_{x}, \cdots$的系数得, $\psi=\rho$, 其中$\rho$为非零常数.

$ L=v(u_{t}+\alpha(t)u^{p}u_{x}+\beta u_{xxxx}), $

利用Ibragimov给出的结论, 守恒向量为

$ \begin{align} C^{i}=&\xi^{i}L+W^{\alpha}\left[\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}}-D_{i}D_{k}D_{m}\left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{ijkm}}\right)\right]+D_{i}(W^{\alpha}) \left[D_{k}D_{m}\left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{ijkm}}\right)\right] \nonumber\\[2mm] &+D_{j}D_{k}(W^{\alpha})\left[-D_{m}\left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{ijkm}}\right)\right]+D_{j}D_{k}D_{m}(W^{\alpha})\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{ijkm}}, \end{align} $

(42)

其中$W^{\alpha}=\eta^{\alpha}-\xi^{j}u^{\alpha}_{j}$.

根据Ibragimov给出的结论, 给出向量场的通式

$ V=\xi^{1}(x, t, u)\frac{\partial}{\partial t}+\xi^{2}(x, t, u)\frac{\partial}{\partial x}+\phi \frac{\partial}{\partial u}, $

那么方程(1)的守恒律由下式决定

$ D_{t}(C^{1})+D_{x}(C^{2})=0, $

向量场$C=(C^{1}, C^{2})$由下式决定

$ C^{1}= \xi ^{1}L+W\left(\frac{\partial L}{\partial u_{t}}\right), $

(43)

$ \begin{align} C^{2}=&\xi ^{2}L+W\left[\frac{\partial L}{\partial u_{x}}-D_{xxx}\left(\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}\right)\right]+D_{x}(W)\left[D_{xx}\left(\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}\right)\right] \nonumber\\[2mm] &+D_{xx}\left[-D_{x}\left(\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}\right)\right] +D_{xxx}\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}. \end{align} $

(44)

以下面情况(ⅰ)和情况(ⅱ)为例, 可分别求出显式守恒律.

情况(ⅰ)

考虑方程(12), 对于向量场

$ V_{1}=4t\frac{\partial}{\partial t}+x\frac{\partial}{\partial x}-u\frac{\partial}{\partial u}, $

有$W=-(u+4tu_{t}+xu_{x})$,

$ \begin{array}{l} {C^1} = {\xi ^1}L + W\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {u_t}}}} \right)\\ \;\;\;\; = \rho (4kt{u^3}{u_x} + 4\beta t{u_{xxxx}} - x{u_x}), \end{array} $

(45)

$ \begin{align} C^{2}=&\xi ^{2}L+W\left[\frac{\partial L}{\partial u_{x}}-D_{xxx}\left(\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}\right)\right]+D_{x}(W)\left[D_{xx}\left(\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}\right)\right] \nonumber\\[1mm] =&\rho (xu_{t}-ku^{4}-4ktu^{3}u_{t}-4\beta u_{xxx}-4\beta tu_{xxxt}).\quad\quad\quad\quad \quad\quad \end{align} $

(46)

情况(ⅱ)

考虑方程(17), 对于向量场

$ V_{1}=\frac{\partial}{\partial t}-ku\frac{\partial}{\partial u}, $

有$W=-(ku+u_{t})$,

$ \begin{align} C^{1}=&\xi ^{1}L+W\left(\frac{\partial L}{\partial u_{t}}\right) \nonumber\\[1mm] =&\rho (l{\rm{e}}^{3kt}u^{3}u_{x}+\beta u_{xxxx}-ku), \end{align} $

(47)

$ \begin{align} C^{2}=&\xi ^{2}L+W\left[\frac{\partial L}{\partial u_{x}}-D_{xxx}\left(\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}\right)\right]+D_{x}(W)\left[D_{xx}\left(\frac{\partial L}{\partial u_{xxxx}}\right)\right] \nonumber\\[1mm] =&-\rho (kl{\rm{e}}^{3kt}u^{4}+l{\rm{e}}^{3kt}u^{3}u_{t}+k\beta u_{xxx}+\beta u_{xxxt}). \end{align} $

(48)

以上守恒向量$C=(C^{1}, C^{2})$包含了伴随方程(40)的任意解$\rho$, 因此给出了方程的无穷多个守恒律.

5 结 论

本文运用李群分析研究了一类变系数四阶偏微分方程, 把复杂的偏微分方程约化成常微分方程, 通过求常微分方程的精确解, 得到原方程的精确解, 包括三角函数解, 幂级数展开解, 椭圆函数解等.进而可以建立新解和旧解之间的关系, 能更好地解释复杂的物理现象.李群是研究微分方程的有力工具之一, 无论是研究常系数偏微分方程还是变系数偏微分方程, 都具有广泛的应用.另外, 我们给出了四阶变系数方程的伴随方程和显式守恒律.