0 引言

近年来人们对Orlicz空间感兴趣, 因为$L_{p}$空间提供的活动天地和度量标准只适合于处理线性的和充其量是多项式型的非线性问题.随着越来越多非线性问题的出现, 从$L_{p}$空间过渡到Orlicz空间已成为历史的必然, 这正是研究Orlicz空间的意义所在.下面介绍Orlicz空间$L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$(见文献[1]).

定义0.1  设$\Phi(t)$为定义在区间$(0, \infty)$上的凸连续函数, 若$\Phi(t)$满足

$ \lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{\Phi(t)}{t}=0, \quad \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty. $

则称$\Phi(t)$为Young函数.

Young函数$\Phi(t)$的互余Young函数记为$\Psi(t)$.由Young函数$\Phi(t)$的凸性得到

$ \begin{align*} &\Phi(\alpha t)\leqslant \alpha \Phi(t), \alpha\in(0, 1], \\ &\Phi(\alpha t)> \alpha \Phi(t), \alpha\in(1, \infty). \end{align*} $

定义0.2  设$\Phi(t)$为Young函数.若存在常数$t_{0}>0$和$C\geqslant1$, 使得当$t\geqslant t_{0}$时, 有

$ \Phi(2t)\leqslant C\Phi(t), $

则称Young函数$\Phi(t)$满足$\Delta_{2}$-条件(记为$\Phi\in\Delta_{2}$).

定义0.3  设$\Phi(t)$为Young函数. Orlicz类$L_{\Phi} (0, \infty)$为使有限积分

$ \rho(u, \Phi)=\int_{0}^{\infty }\Phi(|u(x)|){\rm{d}}x $

存在的在区间$(0, \infty)$上可测的函数$ u(x)$的全体. Orlicz空间$L_\Phi^*(0, \infty)$为赋予Luxemburg范数

$ \|u\|_{(\Phi)}=\inf\limits_{\lambda>0}\Big\{\frac{1}{\lambda}: \rho (\lambda u, \Phi)\leqslant1\Big\} $

的Orlicz类$L_{\Phi} (0, \infty)$的线性包.有如下性质.

(1) Orlicz空间$L_\Phi^*(0, \infty)$是Banach空间且成立如下的Hölder不等式

$ \Big|\int_{0}^{\infty }u(x)v(x){\rm{d}}x\Big|\leqslant2\|u\|_{(\Phi)}\|v\|_{(\Psi)}. $

(2) $L_\Phi^*(0, \infty)$空间的Orlicz范数定义为

$ \|u\|_{\Phi}= \sup\limits_{\rho(v, \Psi)\leqslant1}\Big|\int_{0}^{\infty } u(x)v(x){\rm{d}}x\Big|, $

它与Luxemburg范数等价, 即

$ \begin{align} \|u\|_{(\Phi)}\leqslant\|u\|_{\Phi}\leqslant 2 \|u\|_{(\Phi)}. \end{align} $

(0.1)

对于$f\in L_\Phi^*(0, \infty)$, 加权函数$\varphi(x)=x$的$K$-泛函与Ditzian-Totik模的定义^[2]为

$ \begin{align*} K_{r, \varphi}(f, t^{r})_{\Phi}&=\inf\limits_{g}\{\|f-g\|_{\Phi}+t^{r}\|\varphi^{r}g^{(r)}\|_{\Phi}:g^{(r-1)}\in A.C._{loc}\}, \\ \omega_{r, \varphi}(f, t)_{\Phi}&=\sup\limits_{0<h\leqslant t}\|\Delta_{h\varphi}^{r}f\|_{\Phi}. \end{align*} $

我们在文献[2]中得到了如下的连续模与$K$-泛函的等价性定理.

定理0.1^[2]  设$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, 则存在常数$C$和$t_{0}$, 使得当$0<t\leqslant t_{0}$时, 有

$ \begin{align} C^{-1}\omega_{r, \varphi}(f, t)_{\Phi}\leqslant K_{r, \varphi}(f, t^{r})_{\Phi}\leqslant C\omega_{r, \varphi}(f, t)_{\Phi}. \end{align} $

(0.2)

本文中$C$表示正常数, 不同的场合其值有所不同.

Orlicz空间$L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$具有Hardy-Littlewood性质^[3].对于函数$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$的Hardy-Littlewood函数为

$ \theta(f, x)=\sup\limits_{0< y<\infty, y\neq x}\frac{1}{y-x}\int_{x}^{y}f(t){\rm{d}}t. $

如果$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$时总有$\theta(f, x)\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$，则称$L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$具有Hardy-Littlewood性质(简记为$L_{\Phi}^{*}(0, \infty)\in$HLP).由文献[3]的性质2.1、性质2.2直接得到下面的性质.

性质0.1  对于$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, 若$\Psi\in\Delta_{2}$, 则Orlicz空间$ L_{\Phi}^{*}(0, \infty)\in$HLP, 且

$ \begin{align} \|\theta(f)\|_{\Phi}\leqslant C\| f\|_{\Phi}. \end{align} $

(0.3)

Gamma算子$G_{n}$有两种定义.设$f(x)$为$(0, \infty)$上的可积函数, 则

$ G_{n}(f;x)=\int_{0}^{\infty }g_{n}(x, t)f\Big(\frac{n}{t}\Big){\rm{d}}t, $

其中$g_{n}(x, t)=\frac{x^{n+1}}{n!}\textrm{e}^{-xt}t^{n}, x\in(0, \infty)$.

另一种定义为：

$ G_{n}(f; x)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n}f\Big(\frac{nx}{t}\Big){\rm{d}}t, x\in(0, \infty). $

Müller在文献[4]中介绍过这些Gamma算子.随后在文献[2-3, 5-13]中研究了Gamma算子的逼近性质.我们在文献[2-3]中分别研究了Gamma算子在Orlicz空间$L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$中同时逼近的强逆不等式和加Jacobi权同时逼近的强逆不等式, 得到如下结果.

定理A^[2]  设$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, $n>1$, $\Psi\in\Delta_{2}$, $\varphi(x)=x$, 则存在常数$K>1$, 当$l\leqslant Kn$时, 有

$ \omega_{\varphi}^{2}\Big(f, \dfrac{1}{n}\Big)_{\Phi}\leqslant C\dfrac{l}{n}\Big(\|G_{n}f-f\|_{\Phi}+\|G_{l}f-f\|_{\Phi}\Big), $

其中$C$是与$n$和$x$无关的正常数.

定理B^[3]  设$wf^{(s)}\!\in\! L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, $s\!\in\! \textbf{N}$, $n\!>\!s+1$, $a\geqslant s-2$, $a+b\geqslant s-2$, $\Psi\in\Delta_{2}$, 则存在常数$K>1$, 当$l\geqslant Kn$时, 有

$ K_{\varphi}^{2}\Big(f^{(s)}, \frac{1}{n}\Big)_{w, \Phi}\leqslant C\frac{l}{n}\Big(\|w(G_{n}^{(s)}f-f^{(s)})\|_{\Phi}+ \|w(G_{l}^{(s)}f-f^{(s)})\|_{\Phi}\Big), $

其中$\varphi(x)=x$, $w(x)=x^{a}(1+x)^{b}$.

为了得到更好的逼近性质, Sablonnière在文献[14]中引进了一类所谓的拟中插式算子.从而开始研究算子的拟中插式的逼近性质.设$\Pi_{n}$表示次数至多为$n$的多项式空间, 若$\mathbb{B}_{n}$和$\mathbb{A}_{n}=\mathbb{B}_{n}^{-1}$是$\Pi_{n}$中的线性自同构算子, 并且能够表示成带有多项式系数的微分算子形式$\mathbb{B}_{n}= \sum\limits_{k=0}^{n}\beta_{k}^{n}D^{k}$和$\mathbb{A}_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\alpha_{k}^{n}D^{k}$.这里$D=\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}$, $D^{0}=\textrm{id}$, 则一类拟中插式算子定义如下

$ \mathbb{B}_{n}^{(r)}=\mathbb{A}_{n}^{(r)}\circ\mathbb{B}_{n}, \quad 0\leqslant r\leqslant n, $

这里$\mathbb{A}_{n}^{(r)}=\sum\limits_{k=0}^{n}\alpha_{k}^{n}D^{k}$.通常在$\Pi_{n}$上$\mathbb{B}_{n}^{(0)}=\mathbb{B}_{n}$, $\mathbb{B}_{n}^{(n)}=\textrm{id}$.进而还有, 当$0\leqslant r\leqslant n$时, 对于所有的$P\in\Pi_{n}$, 有$\mathbb{B}_{n}^{(r)}P=P$.

对于$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, 左拟中插式Gamma算子为

$ G_{n}^{(k)}(f):=\mathbb{A}_{n}^{(k)}G_{n}(f)=\sum\limits_{j=0}^{k}\alpha_{j}^{n}D^{j}G_{n}f=\sum\limits_{j=0}^{k}\alpha_{j}^{n}(G_{n}f)^{(j)}, $

其中$\alpha_{j}^{n}$为Laguerre多项式.显然$G_{n}^{(0)}=G_{n}$, $G_{n}^{(n)}=\textrm{id}$, 对于$P\in\Pi_{n}$, 有$G_{n}^{(k)}(P)=P$, $0\leqslant k\leqslant n.$

Müller在文献[15]中给出了左拟中插式Gamma算子, 且在$L_{p}$空间中研究了其逼近性质.我们在文献[16]中研究了拟中插式Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空间$L_{M}^{*}[0, 1]$中的逼近性质, 并得到了等价定理.在文献[2-3, 16]的研究基础上, 本文继续在由Young函数构成的Orlicz空间$L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$中研究左拟中插式Gamma算子的逼近性质, 并得到了正定理、逆定理和等价定理.

1 正定理

为了证明正定理, 需要给出下面几个引理.

引理1.1^[15]  对于$j\in \bf{N}_{0}$, $n\geqslant j$, $x\in(0, \infty)$有

$ \begin{align} \alpha_{j}^{n}=\alpha_{j}^{n}(x)=\Big(\frac{x}{n}\Big)^{j}L_{j}^{(n-j)}(n), \end{align} $

(1.1)

其中$L_{j}^{(\alpha)}(x)=\sum_{r=0}^{j}(-1)^{r}{j+\alpha \choose j-r}\frac{x^{r}}{r!}=\frac{(\alpha+1)_{j}}{j!}\sum_{r=0}^{j}(-1)^{r} {j \choose r}\frac{x^{r}}{(\alpha+1)_{r}}$为$j$阶Laguerre多项式且对于$a\in \bf{R}$, $(a)_{j}:=a(a+1)\cdots(a+j-1)$.特别$\alpha_{0}^{n}=1, \alpha_{1}^{n}=0$.并且有

$ \begin{align} \Big|\frac{1}{n^{j}}L_{j}^{(n-j)}(n)\Big|\leqslant Cn^{-\frac{j}{2}}, \end{align} $

(1.2)

其中$C$为只与$j$有关的正常数.

引理1.2^[15]  对于$m, n, l\in \bf{N}_{0}$, $n\geqslant m$, $x\in(0, \infty)$, 定义

$ T_{m, n, l}(x):=\frac{1}{(n+l)!}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n+1}\Big(\frac{nx}{t}-x\Big)^{m}{\rm{d}}t $

则

$ \begin{align} 0\leqslant T_{m, n, l}(x)\leqslant C\frac{x^{m}}{n^{[\frac{m+1}{2}]}}, \end{align} $

(1.3)

其中$C$为只与$m$有关的正常数.

引理1.3^[3]  设$\int_{0}^{\infty }\Psi\Big(|v(x)|\Big){\rm{d}}x\leqslant \frac{n}{t}$, 则存在常数$C\leqslant1$, 使得

$ \|v\|_{\Psi}\leqslant C\frac{n}{t}. $

引理1.4  对于$k\in \bf{N}_{0}$, $n\geqslant \max\{2, k\}$, $f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, $\varphi(x)=x$, 有

$ \|G_{n}^{(k)}f\|_{\Phi}\leqslant C\|f\|_{\Phi}. $

证明  由文献[2]知

$ \begin{align} \|G_{n}f\|_{\Phi}\leqslant 2\|f\|_{\Phi}. \end{align} $

(1.4)

利用式(1.1)、(1.2)和(1.4), 得到

$ \begin{align} \|G_{n}^{(k)}f\|_{\Phi}&\leqslant\|G_{n}f\|_{\Phi}+\sum\limits_{j=2}^{k}\Big| \frac{1}{n^{j}}L_{j}^{(n-j)}(n)\Big|\cdot \big\|\varphi^{j}(G_{n}f)^{(j)}\big\|_{\Phi} \nonumber\\[1mm] &\leqslant2\|f\|_{\Phi}+\sum\limits_{j=2}^{k}Cn^{-\frac{j}{2}} \big\|\varphi^{j}(G_{n}f)^{(j)}\big\|_{\Phi}. \end{align} $

(1.5)

所以只需估计$\big\|\varphi^{j}(G_{n}f)^{(j)}\big\|_{\Phi}.$由文献[6]知

$ \begin{align} \frac{\partial^{k}}{\partial x^{k}}g_{n}(x, t)=\frac{k!}{x^{k}}g_{n}(x, t)L_{k}^{(n+1-k)}(xt), \end{align} $

(1.6)

且

$ \begin{align} \int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{a}|L_{k}^{(a)}(t)|^{2}{\rm{d}}x=\frac{\Gamma(k+a+1)}{k!}, a>-1. \end{align} $

(1.7)

利用引理1.3, 式(0.1)、(1.6)、(1.7), Hölder不等式和Cauchy-Schwarz不等式得到

$ \begin{align} &\|\varphi^{j}(G_{n}f)^{(j)}\|_{\Phi}=\sup\limits_{\rho(v, \Psi)\leq1} \Big|\int_{0}^{\infty }\Big( \varphi^{j}(x)\int_{0}^{\infty } \frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}}g_{n}(x, u)f \Big(\frac{n}{u}\Big){\rm{d}}u\Big)v(x){\rm{d}}x\Big| \nonumber\\ &=\sup\limits_{\rho(v, \Psi)\leq1}\Big|\int_{0}^{\infty } \frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty } \textrm{e}^{-t}t^{n}L_{j}^{(n+1-j)}(t)f\Big(\frac{nx}{t}\Big) {\rm{d}}tv(x){\rm{d}}x\Big|\nonumber\\ &\leqslant\frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n}|L_{j}^{(n+1-j)}(t)|\sup\limits_{\rho(v, \Psi) \leqslant\frac{n}{t}}\|f\|_{(\Phi)}\|v\|_{\Psi}\frac{t}{n}{\rm{d}}t\nonumber\\ &\leqslant\frac{\|f\|_{\Phi}}{n!}\int_{0}^{\infty }\Big(\textrm{e}^{-t}t^{n+1-j}\Big)^{\frac{1}{2}} |L_{j}^{(n+1-j)}(t)|\Big(\textrm{e}^{-t}t^{n+1-j}\Big)^{\frac{1}{2}}t^{j-1}{\rm{d}}t\nonumber\\ &\leqslant\frac{\|f\|_{\Phi}}{n!}\Big(\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n+1-j}|L_{j}^{(n+1-j)}(t)|^{2}{\rm{d}}t\Big)^{\frac{1}{2}} \Big(\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n+1-j}t^{2j-2}{\rm{d}}t\Big)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ &=\frac{\|f\|_{\Phi}}{\sqrt{j!}}(n+1)n^{\frac{j}{2}-1}\sqrt{\prod\limits_{i=2}^{j-1} \Big(1+\frac{i}{n}\Big)} \leqslant Cn^{\frac{j}{2}}\|f\|_{\Phi}. \end{align} $

(1.8)

结合式(1.5)和式(1.8)就能得到

$ \|G_{n}^{(k)}f\|_{\Phi}\leqslant C\|f\|_{\Phi}. $

定理1.1(正定理)  对于$n\geqslant4r$, $f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, 有

$ \|G_{n}^{(2r-1)}f-f\|_{\Phi}\leqslant C\omega_{2r, \varphi}(f, n^{-\frac{1}{2}})_{\Phi}, $

其中$C$为只与$r$有关的正常数.

证明  设$W_{\Phi}^{2r}=\big\{g: g^{(2r-1)}\in A.C._{loc}, \varphi^{2r}g^{(2r)}\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)\big\}$, 则对于$g\in W_{\Phi}^{2r}$用泰勒公式展开得

$ g(t)=\sum\limits_{j=0}^{2r-1}\frac{1}{j!}(t-x)^{j}g^{(j)}(x)+R_{2r}(g, t, x), $

其中$R_{2r}(g, t, x)=\frac{1}{(2r-1)!}\int_{x}^{t}(t-u)^{2r-1}g^{(2r)}(u){\rm{d}}u$, $x, t\in(0, \infty).$注意到左拟中插式Gamma算子的定义, 式(1.2)及$\alpha_{0}^{n}=1$, $\alpha_{1}^{n}=0$, 就能得到

$ G_{n}^{(2r-1)}(g, x)-g(x)=G_{n}^{(2r-1)}\big(R_{2r}(g, t, x);x\big), $

且

$ \begin{align} &\big\|G_{n}^{(2r-1)}g-g\big\|_{\Phi}=\Big\|\sum\limits_{j=0}^{2r-1}\alpha_{j}^{n}D^{j}G_{n}\big(R_{2r}(g, \cdot, x);x\big)\Big\|_{\Phi} \nonumber\\[1mm] &\leqslant\Big\|G_{n}\big(R_{2r}(g, \cdot, x);x\big)\Big\|_{\Phi}+C \sum\limits_{j=2}^{2r-1}n^{-\frac{j}{2}} \Big\|\varphi^{j}(x)D^{j}G_{n}\big(R_{2r}(g, \cdot, x);x\big)\Big\|_{\Phi}. \end{align} $

(1.9)

先估计$\|G_{n}\big(R_{2r}(g, \cdot, x);x\big)\|_{\Phi}$.由文献[11]知当$u$在$x$与$t$之间时有不等式

$ \frac{|t-u|}{\varphi(u)}\leqslant\frac{|t-x|}{\varphi(x)}, $

且

$ \frac{1}{u}\leqslant\frac{1}{x}+\frac{1}{t}. $

从而有

$ \begin{align} |R_{2r}(g, t, x)|&=\frac{1}{(2r-1)!}\Big|\int_{x}^{t}(t-u)^{2r-1}g^{(2r)}(u){\rm{d}}u\Big| \nonumber\\[1mm] &=\frac{1}{(2r-1)!}\Big|\int_{x}^{t}\Big(\frac{t-u}{\varphi(u)}\Big)^{2r-1}\cdot\frac{1}{u} \varphi^{2r}(u)g^{(2r)}(u){\rm{d}}u\Big|\nonumber\\[1mm] &\leqslant\frac{1}{(2r-1)!}\cdot\frac{|t-x|^{2r-1}}{\varphi^{2r-1}(x)}\Big(\frac{1}{x}+\frac{1}{t}\Big) \Big|\int_{x}^{t}\varphi^{2r}(u)g^{(2r)}(u){\rm{d}}u\Big| \nonumber\\[1mm] &\leqslant\frac{1}{(2r-1)!}\cdot\frac{(t-x)^{2r}}{\varphi^{2r-1}(x)}\Big(\frac{1}{x}+\frac{1}{t}\Big) |\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)}, x)|. \end{align} $

(1.10)

设$T_{m, n}(x):=G_{n}\big((t-x)^{m}, x\big)$, 则由文献[6]知

$ \begin{align} T_{m, n}(x)\leqslant\frac{C x^{m}}{n^{[\frac{m+1}{2}]}}, \end{align} $

(1.11)

其中$C$为只与$m$有关的正常数.利用式(1.11), Cauchy-Schwarz不等式和$G_{n}(t^{-2}, x)\leqslant Cx^{-2}$, 得到

$ \begin{align} &|G_{n}(R_{2r}(g, t, x);x)|\leqslant G_{n}(|R_{2r}(g, t, x)|;x) \nonumber\\[1mm] &\leqslant\frac{1}{(2r-1)!}\Big|\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)}, x)\Big|\Big[\frac{1}{x^{2r}}T_{2r, n}(x)+ \frac{1}{x^{2r-1}}G_{n}\Big(\frac{(t-x)^{2r}}{t}, x\Big)\Big] \nonumber\\[1mm] &\leqslant\frac{1}{(2r-1)!}\Big|\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)}, x)\Big|\Big[\frac{1}{x^{2r}}\cdot \frac{Cx^{2r}}{n^{r}}+\frac{1}{x^{2r-1}}(Cn^{-2r}x^{4r})^ {\frac{1}{2}}(G_{n}(t^{-2}, x))^{\frac{1}{2}}\Big] \nonumber\\[1mm] &\leqslant Cn^{-r}\big|\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)}, x)\big|. \end{align} $

(1.12)

再由式(0.1), 式(0.3)和式(1.12)得

$ \begin{align} &\|G_{n}(R_{2r}(g, t, x);x)\|_{\Phi}\leqslant2\inf\limits_{\lambda>0}\Big\{\lambda:\int_{0}^{\infty }\Phi\Big(\Big| \frac{Cn^{-r}\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)}, x)}{\lambda}\Big|\Big){\rm{d}}x\leqslant1\Big\} \nonumber\\ &\leqslant Cn^{-r}\|\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)})\|_{(\Phi)}\leqslant Cn^{-r}\|\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)})\|_{\Phi} \leqslant Cn^{-r}\|\varphi^{2r}g^{(2r)}\|_{\Phi}. \end{align} $

(1.13)

再估计$\big\|\varphi^{j}(x)D^{j}G_{n}\big(R_{2r}(g, \cdot, x);x\big)\big\|_{\Phi}$.利用式(1.6)可以得到

$ \begin{align} &\big|\varphi^{j}(x)D^{j}G_{n}\big(R_{2r}(g, \cdot, x);x\big)\big|=\frac{j!}{n!}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n}|L_{j}^{(n+1-j)}(t)|\Big|R_{2r}\Big(g, \frac{nx}{t}, x\Big)\Big|{\rm{d}}t \nonumber \\[1mm] &\leqslant\frac{j!}{n!(2r-1)!}|\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)}, x)|\Big(\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n}|L_{j}^{(n+1-j)}(t)|\frac{(\frac{nx}{t}-x)^{2r}}{x^{2r}}{\rm{d}}t \nonumber\\[1mm] &\quad +\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n+1}|L_{j}^{(n+1-j)}(t)|\frac{(\frac{nx}{t}-x)^{2r}}{x^{2r}}{\rm{d}}t\Big) \nonumber\\[1mm] &:=\frac{j!}{n!(2r-1)!}|\theta(\varphi^{2r}g^{(2r)}, x)|\big(I_{1}(x)+I_{2}(x)\big). \end{align} $

(1.14)

由Cauchy-Schwarz不等式, 式(1.3), 式(1.7), 得

$ \begin{align} &I_{1}(x)=\frac{1}{x^{2r}}\cdot\frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty }(\textrm{e}^{-t}t^{n+j-1})^{\frac{1}{2}} \Big(\frac{nx}{t}-x\Big)^{2r}(\textrm{e}^{-t}t^{n+1-j})^{\frac{1}{2}}|L_{j}^{(n+1-j)}(t)|{\rm{d}}t \nonumber\\[1mm] &\leqslant\frac{1}{x^{2r}}\Big(\frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n+j-1} \Big(\frac{nx}{t}-x\Big)^{4r}{\rm{d}}t\Big)^{\frac{1}{2}} \Big(\frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n+1-j}|L_{j}^{(n+1-j)}(t)|^{2}{\rm{d}}t\Big)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\[1mm] &\leqslant\frac{1}{x^{2r}}\Big(\frac{(n+j-1)!}{n!}T_{4r, n, j-1}(x) \Big)^{\frac{1}{2}}\Big(\frac{n+1}{j!}\Big)^{\frac{1}{2}} \leqslant Cn^{-r+\frac{j}{2}}. \end{align} $

(1.15)

同理可得

$ \begin{align} I_{2}(x)\leqslant Cn^{-r+\frac{j}{2}}. \end{align} $

(1.16)

结合式(0.3), 式(1.9), 式(1.13)--(1.16), 得到

$ \begin{align} \|G_{n}^{(2r-1)}g-g\|_{\Phi}\leqslant Cn^{-r}\|\varphi^{2r}g^{(2r)}\|_{\Phi}. \end{align} $

(1.17)

对于任何$g\in W_{\Phi}^{2r}$, 由引理1.4, 式(1.17)、(0.2)得

$ \begin{align*} \|G_{n}^{(2r-1)}f-f\|_{\Phi}&\leqslant \|G_{n}^{(2r-1)}(f-g)-(f-g)\|_{\Phi}+\|G_{n}^{(2r-1)}g-g\|_{\Phi}\\ &\leqslant C(\|f-g\|_{\Phi}+n^{-r}\|\varphi^{2r}g^{(2r)}\|_{\Phi})\leqslant C\omega_{2r, \varphi}(f, n^{-\frac{1}{2}})_{\Phi}. \end{align*} $

2 等价定理

引理2.1  设$r, m\!\in\!\bf{N}_{0}$, $\varphi(x)\!=\!x, $ $I\!=\!(0, \infty)$, $ U:=U_{p}^{2r}(\varphi, I):=\{g:g^{(2r-1)}\in A.C._{loc}(I),$$g^{(2r)}, \varphi^{2r}g^{(2r)}\in L_{\Phi}^{*}(I)\} $为$L_{\Phi}^{*}(I)$的一个线性流形, 则对于$f\in U$, $n\geqslant2r+m$, 有

$ \begin{align} \|\varphi^{2r+m}(G_{n}f)^{(2r+m)}\|_{\Phi}\leqslant Cn^{\frac{m}{2}}\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}, \end{align} $

(2.1)

其中$C$为只与$r$, $m$有关的正常数.

证明  当$m=0$时由式(1.8)知式(2.1)成立.当$m>0$时, 由文献[15]知

$ (G_{n}f)^{(2r)}(x)=\frac{n^{2r}}{n!}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n-2r}f^{(2r)}\Big(\frac{nx}{t}\Big){\rm{d}}t =\frac{n^{2r}(n-2r)!}{n!}\int_{0}^{\infty }g_{n-2r}(x, u)f^{(2r)}\Big(\frac{n}{u}\Big){\rm{d}}u. $

对于$x\in(0, \infty)$, $n\geqslant 2r+m$, 由式(1.6)得

$ \begin{align*} [(G_{n}f)^{(2r)}]^{(m)}(x)&=\frac{n^{2r}(n-2r)!}{n!}\int_{0}^{\infty }\frac{\partial^{m}}{\partial x^{m}} g_{n-2r}(x, u)f^{(2r)}\Big(\frac{n}{u}\Big){\rm{d}}u \\[1mm] &=\frac{n^{2r}(n-2r)!}{n!}\cdot\frac{m!}{x^{m}}\int_{0}^{\infty } g_{n-2r}(x, u)L_{m}^{(n-2r+1-m)}(xu)f^{(2r)}\Big(\frac{n}{u}\Big){\rm{d}}u \\[1mm] & =\frac{m!}{n!x^{2r+m}}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t} t^{n}L_{m}^{(n-2r+1-m)}(t)\Big(\frac{nx}{t}\Big)^{2r}f^{(2r)} \Big(\frac{nx}{t}\Big){\rm{d}}t. \end{align*} $

利用Hölder不等式, 引理1.3及Cauchy-Schwarz不等式, 得

$ \begin{align*} &\|\varphi^{2r+m}(G_{n}f)^{(2r+m)}\|_{\Phi} \\ &=\sup\limits_{\rho(v, \Psi)\leqslant1}\Big|\int_{0}^{\infty }\frac{m!}{n!} \int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n}L_{m}^{(n-2r+1-m)}(t) \Big(\frac{nx}{t}\Big)^{2r}f^{(2r)}\Big(\frac{nx}{t}\Big){\rm{d}}tv(x){\rm{d}}x\Big| \\ &\leqslant\frac{m!}{n!}\int_{0}^{\infty } \textrm{e}^{-t}t^{n}|L_{m}^{(n-2r+1-m)}(t)|{\rm{d}}t \sup\limits_{\rho(v, \Psi)\leqslant1}\Big|\int_{0}^{\infty } \Big(\frac{nx}{t}\Big)^{2r}f^{(2r)}\Big(\frac{nx}{t}\Big)v(x){\rm{d}}x\Big| \\ &=\frac{m!}{n!}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n}\frac{t}{n}|L_{m}^{(n-2r+1-m)}(t)|{\rm{d}}t \sup\limits_{\rho(v, \Psi)\leqslant\frac{n}{t}} \Big|\int_{0}^{\infty }\varphi^{2r}(u)f^{(2r)}(u)v(u){\rm{d}}u\Big|\\ &\leqslant\frac{m!}{n!}\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n}|L_{m}^{(n-2r+1-m)}(t)|{\rm{d}}t \\ &=\frac{m!}{n!}\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}\Big(\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t}t^{n-2r+1-m} |L_{m}^{(n-2r+1-m)}(t)|^{2}{\rm{d}}t\Big)^{\frac{1}{2}}\Big(\int_{0}^{\infty }\textrm{e}^{-t} t^{n+2r-1+m}{\rm{d}}t\Big)^{\frac{1}{2}} \\ &=\frac{m!}{n!}\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}\Big[\frac{(n-2r+1)!}{m!}\Big]^{\frac{1}{2}}\Big[(n+2r+m-1)!\Big]^{\frac{1}{2}} \\ &\leqslant Cn^{\frac{m}{2}}\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}. \end{align*} $

引理2.2  对于$\varphi(x)=x$, $n\geqslant4r$, 有

$ \|\varphi^{2r}(G_{n}^{(2r-1)}f)^{(2r)}\|_{\Phi}\leqslant C n^{r}\|f\|_{\Phi}, \quad f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty), $

(2.2)

$ \|\varphi^{2r}(G_{n}^{(2r-1)}f)^{(2r)}\|_{\Phi}\leqslant C \|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}, \quad f\in U. $

(2.3)

证明  先证式(2.2).由式(1.2)和式(1.8)得

$ \begin{align*} &\|\varphi^{2r}(G_{n}^{(2r-1)}f)^{(2r)}\|_{\Phi}=\Big\|\varphi^{2r}\Big(\sum\limits_{j=0}^{2r-1}\frac{1}{n^{j}}L_{j}^{(n-j)} (n)\varphi^{j}(G_{n}f)^{(j)}\Big)^{(2r)}\Big\|_{\Phi}\\ &=\Big\|\varphi^{2r}(G_{n}f)^{(2r)}+\sum\limits_{j=2}^{2r-1}\frac{1}{n^{j}}L_{j}^{(n-j)}(n)\varphi^{2r}\sum\limits_{k=0}^{j} {2r \choose k}k!{j \choose k}\varphi^{j-k}(G_{n}f)^{(2r-k+j)}\Big\|_{\Phi}\\ &\leqslant\|\varphi^{2r}(G_{n}f)^{(2r)}\|_{\Phi}+C \sum\limits_{j=2}^{2r-1}n^{-\frac{j}{2}}\sum\limits_{k=0}^{j} \|\varphi^{2r+j-k}(G_{n}f)^{(2r-k+j)}\|_{\Phi}\\ &\leqslant C\Big(n^{r}\|f\|_{\Phi}+\sum\limits_{j=2}^{2r-1}n^{-\frac{j}{2}}\sum\limits_{k=0}^{j}n^{r+\frac{j-k}{2}}\|f\|_{\Phi}\Big) \\[-1mm] &\leqslant Cn^{r}\|f\|_{\Phi}. \end{align*} $

再证式(2.3).由式(2.1)得

$ \begin{align*} &\|\varphi^{2r}(G_{n}^{(2r-1)}f)^{(2r)}\|_{\Phi}\leqslant\|\varphi^{2r}(G_{n}f)^{(2r)}\|_{\Phi}+C \sum\limits_{j=2}^{2r-1}n^{-\frac{j}{2}}\sum\limits_{k=0}^{j} \|\varphi^{2r+j-k}(G_{n}f)^{(2r-k+j)}\|_{\Phi}\\[-2mm] &\leqslant C\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}+C\sum\limits_{j=2}^{2r-1}n^{-\frac{j}{2}}\sum\limits_{k=0}^{j} n^{\frac{j-k}{2}}\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi} \leqslant C\|\varphi^{2r}f^{(2r)}\|_{\Phi}. \end{align*} $

定理2.1(逆定理)  设$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, $\varphi(x)=x$, $n\geqslant4r$, $0<\alpha<r$, 且$ \|G^{(2r-1)}_{n}f-f\|_{\Phi}=O(n^{-\alpha})(n\rightarrow\infty)$, 则

$ \omega_{2r, \varphi}(f, t)_{\Phi}=O(t^{2\alpha})\hspace{3.5mm}(t\rightarrow0^{+}). $

证明  由式(2.2), 式(2.3), $\|G_{n}^{(2r-1)}f-f\|_{\Phi}=O(n^{-\alpha})$, 得

$ K_{2r, \varphi}(f, n^{-r})_{\Phi}\leqslant C_{1}n^{-\alpha}+ C_{2}\Big(\frac{k}{n}\Big)^{r}K_{2r, \varphi}(f, k^{-r})_{\Phi}, \quad k\geqslant4r. $

由Berens-Lorentz引理及$K$-泛函与光滑模的等价性便得到

$ \omega_{2r, \varphi}(f, n^{-\frac{1}{2}})_{\Phi}=O(n^{-\alpha}). $

即

$ \omega_{2r, \varphi}(f, t)_{\Phi}=O(t^{2\alpha}). $

利用定理1.1和定理2.1, 就能得到如下等价定理.

定理2.2(等价定理)  设$f\in L_{\Phi}^{*}(0, \infty)$, $\varphi(x)=x$, $n\geqslant4r$, $\Psi\in\Delta_{2}$, $0<\alpha<r$, 则

$ \|G^{(2r-1)}_{n}f-f\|_{\Phi}=O(n^{-\alpha})\hspace{3.5mm}(n\rightarrow\infty)\Leftrightarrow \omega_{2r, \varphi}(f, t)_{\Phi}=O(t^{2\alpha})\hspace{3.5mm}(t\rightarrow0^{+}). $

注2.1  定理2.2的逼近结果比定理A和定理B的结果好.这表明拟中插式Gamma算子与Gamma算子相比较其优点在于逼近速度更快, 逼近阶更高.