0 引言

传染病是一种可以从一个人或其他物种, 经过各种途径传染给另一个人或物种的感染病.每年有大量人口死于传染性疾病.据世界卫生组织报告显示, 每年大约有100万人死于艾滋病^[1], 140万人死于肺结核^[2].在传染病的研究中, 数学模型一直发挥着重要作用.近年来，许多研究人员建立了一些数学模型来研究传染病的传播. 1927年, Kermack等^[3]首次提出了SIR (易感-感染-康复)模型来研究传染病的传播.该模型将人群分为易感人群(S), 感染人群(I)以及康复人群(R).模型中的个体在最初属于易感人群, 在某个时间点感染疾病变为感染人群, 经过一段时间之后变为康复人群并免疫疾病.然而由于大多数疾病并不能完全免疫, 所以不同于SIR模型, 传染病模型中另一个典型的模型为SIS模型.此时疾病的传播方式为:易感者在某个时期感染疾病, 经过治疗后康复重新成为易感者.为研究此类疾病, 1984年, Hethcote和Yorke^[4]提出了如下SIS模型.

$ \begin{eqnarray} \begin{cases} \dfrac{\text{d} S(t)}{\text{d} t}=\mu N-\beta S(t)I(t)+\gamma I(t)-\mu S(t), \\[4mm] \dfrac{\text{d} I(t)}{\text{d} t}=\beta S(t)I(t)-(\mu+\gamma)I(t), \end{cases} \end{eqnarray} $

(1)

其中: $N=S(0)+I(0)$为总人数; $\mu$为死亡率; $\gamma$为治愈率; $\beta$为疾病的传染率.在实际生活中, 由于环境的不确定性, 传染病模型也在发生变化, 这就需要在原有的确定性模型基础上加入环境的随机因素, 使得模型能够更好地反映疾病发展的实际变化情况.对此, 许多研究人员使用布朗运动来描述环境的随机性. 2011年, Gray等^[5]将模型(1)中的参数$\beta$进行随机化

$ \begin{eqnarray} \widetilde{\beta}\text{d} t=\beta \text{d} t+\sigma \text{d} B(t), \end{eqnarray} $

(2)

其中$B(t)$为标准布朗运动, 则上述确定性SIS模型(1)转化成如下随机形式

$ \begin{eqnarray} \begin{cases} \text{d} S(t)=(\mu N-\beta S(t)I(t)+\gamma I(t)-\mu S(t))\text{d} t -\sigma S(t)I(t)\text{d} B(t), \\[1mm] \text{d} I(t)=(\beta S(t)I(t)-(\mu+\gamma)I(t))\text{d} t+\sigma S(t)I(t)\text{d} B(t). \end{cases} \end{eqnarray} $

(3)

模型(3)在几乎处处意义下有全局正解, 且在随机噪声较小时具有唯一的平稳分布; 在随机噪声较大时感染者会以概率1灭绝.然而, 人口数量经常会受到环境因素（例如地震, 洪水, 移民等）的影响而在一瞬间发生剧烈变化.许多实际数据显示, 这种剧烈变化服从一类幂律分布.例如, Richardson^[6]在研究1820年至1945年间世界的战争伤亡人数时发现, 伤亡人数服从一类幂律分布. Brockmann等^[7]发现, 人类的短期旅行行为可以由距离的递减幂律来刻画.令$X_i$表示人口数量第$i$次跳跃的大小.假设$X_i\; (i\geqslant1)$为一列独立同分布的随机变量, 并且其分布为方差无限的幂律分布, 则由广义中心极限定理^[8]可知, $X_i\; (i\geqslant1)$的和趋向于参数为$\alpha$的稳定分布.因此, 为了能够刻画人口的剧烈波动, 我们将模型(3)中布朗运动$B(t)$用$\alpha$-稳定过程$(Z(t))$来代替, 即

$ \begin{eqnarray} \begin{cases} \text{d} S(t)=(\mu N-\beta S(t)I(t)+\gamma I(t)- \mu S(t))\text{d} t-\sigma S(t)I(t)\text{d} Z(t), \\[1mm] \text{d} I(t)=(\beta S(t)I(t)-(\mu+\gamma)I(t)) \text{d} t+\sigma S(t)I(t)\text{d} Z(t). \end{cases} \end{eqnarray} $

(4)

比较模型(4)与模型(3), 人们自然会问第一个问题:在什么条件下, 模型(4)具有与模型(3)相同的一些性质?更进一步, 注意到当$\alpha$趋于$2$时, 稳定过程渐近趋向于布朗运动.因此, 当$\alpha=2$时, 模型(4)即变为模型(3), 则人们会问第二个问题:模型(4)的结果是否可以覆盖模型(3)?本文主要研究以上两个问题.另外, 考虑到一些环境因素会使得疾病突然爆发, 导致感染者数量剧烈增加, 本文研究仅有正跳的$\alpha$-稳定过程$(Z(t))$, 即谱正$\alpha$-稳定过程.其对应的Lévy测度$\nu$为

$ \begin{align*} \nu(\text{d} z)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{C_{\alpha}I_{\{z>0 \}}}{z^{1+\alpha}}\text{d} z, \ \ \ \ \text{若 }{z\neq0, }\\ 0 , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{若 }{z=0, }\\ \end{array} \right. \end{align*} $

其中: $C_{\alpha}=\frac{\alpha2^{\alpha-1}\Gamma((1+\alpha)/2)} {\pi^{1/2}\Gamma(1-\alpha/2)}$; $\Gamma(\cdot)$为Gamma函数, 定义如下.

$ \begin{align*} \Gamma(s)=\int_0^{+\infty}t^{s-1}\text {exp}{(-t)}\text{d} t, \ \ s\in\mathbb{R}_+, \end{align*} $

其中$\mathbb{R}$和$\mathbb{R}_+$分别表示实数集及正实数集.

由于$N=S(t)+I(t)$, 代入式(4)得到

$ \begin{align} \text{d} I(t)=I(t)[(\beta N-\mu-\gamma-\beta I(t))\text{d} t+\sigma(N-I(t)) \text{d} Z(t)]. \end{align} $

(5)

为方便描述, 将$I(t)$替换为$x(t)$, 则有

$ \begin{align} \text{d} x(t)=x(t)(\beta N-\mu-\gamma-\beta x(t))\text{d} t+\sigma(N-x(t))x(t) \text{d} Z(t). \end{align} $

(6)

对于传染病模型, $x(t)$刻画感染者的人数.因此, 现实意义要求$x(t)$为正数.即, 要求对于任意$x(0)=x > 0$, 都有

$ \begin{eqnarray} P(x(t)>0, t\geqslant 0)=1. \end{eqnarray} $

(7)

若一个过程$(x(t))$满足条件(7), 则称该过程具有全局正解.

为了确保所有的样本轨道几乎处处在$(0, N)$内, 整个全文对模型参数与跳分布假设如下.

(A1)$\beta > 0, \mu > 0, \sigma > 0, \alpha\in(0, 2)$;

(A2) 总人数$N$充分大, 且满足$\sigma N > 1$;

(A3) Lévy测度$\nu(z)$的大跳有上界.即跳跃高度$z$满足$0 < z < \frac{1}{2\sigma N}$.

对于研究SIS传染病模型, 一个很重要的内容是基于感染者的历史观测值, 预测感染者的未来人数的区间估计.由于历史数据为时间序列的数据, 一般不相互独立.一个自然的问题是, 在什么条件下这些时间数据近似同分布?精确地说, 这些数据的对应过程是否具有平稳性?进一步, 对应从不同初始值出发, 过程$(x(t))$在什么条件下遍历?注意到, 如果过程$(x(t))$遍历, 则我们可以利用遍历定理来估计过程的参数.此外, 如果过程不是遍历的, 过程是否几乎处处收敛到0?这在传染病模型中, 称之为几乎处处灭绝.

综上所述, 本文的主要目的是研究以下3个问题.

(1) 在什么条件下, 模型(6)有唯一全局正解?

(2) 在什么条件下, 模型(6)有唯一的平稳分布且指数遍历?

(3) 在什么条件下, 当$t$趋近无穷时, $t$时刻的感染者$x(t)$以概率1趋近于灭绝?

本文将部分回答以上3个问题.

1 全局正解

令$(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geqslant 0}, P)$是一个完备的概率空间, 其中域流$\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geqslant 0}$是右连续的且$\mathcal{F}_0$包含所有的$P$-零测集.记$x(t-):=\lim\limits_{s\rightarrow 0^{-}}x(t+s).$

引理1  若假设(A1)—(A3)成立.对于任意初始值$x(0)=x_0\in (0, N)$, 任意跳时刻$t_0$, 若$x(t_0-)\in (0, N)$, 则跳跃后状态$x(t_0)$几乎处处在$(0, N)$内.

证 明  因为$t_0$为稳定过程的一个跳跃时刻, 根据方程(6), 则有

$ \begin{align*} x(t_0)=x(t_0-)+\sigma \left(N- x(t_0-)\right) x(t_0-)\Delta Z(t_0-), \end{align*} $

这里$\Delta Z(t_0-)=Z(t_0)-Z(t_0-)$为时刻$t_0$的跳跃高度.再由基本假设, 知

$\Delta Z(t_0-) <\frac{1}{\sigma N}. $

因此, 几乎处处有

$ \sigma \left(N- x(t_0-)\right) x(t_0-)\Delta Z(t_0-)<N- x(t_0-). $

即$x(t_0) < N$几乎处处成立.又由于$t_0$的任意性, 知引理成立.

定理1  若假设(A1)—(A3)成立, 则对于任意初始值$x(0)\in(0, N)$, 模型(6)存在一个唯一的全局正解$x(t)\in(0, N)$, 即

$ \begin{align*} P\{x(t)\in(0, N), t\geqslant0\}=1. \end{align*} $

证 明  将式(6)视为一个$\mathbb{R}$上的随机微分方程, 注意到该方程的系数满足局部Lipschitz条件.由Mao^[9]知, 对于任意给定的初始值$x(0)\in(0, N)$, 方程在$t\in[0, \tau_e)$上存在唯一的极大局部解$x(t)$, 其中, $\tau_e$为爆炸时间^[10].设$k_1$是充分大的正整数, 并满足条件$\frac{1}{k_1} < x(0) < N-\frac{1}{k_1}$.对任意整数$k\geqslant k_1$, 定义停时

$ \begin{align*} \tau_k=\inf\left\{t\in[0, \tau_e): x(t)\notin\left(\frac{1}{k}, N-\frac{1}{k}\right)\right\}. \end{align*} $

显然, $\tau_k$随着$k\rightarrow\infty$单调递增.令

$ \begin{align*} \tau_\infty=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\tau_k, \end{align*} $

则$\tau_\infty\leqslant\tau_e$几乎必然成立.若可以证明$\tau_\infty=\infty$几乎必然成立, 则有$\tau_e=\infty$几乎必然成立, 进而可得$x(t)\in(0, N), t\geqslant0$, 几乎必然成立.

使用反证法, 假设$\tau_\infty\neq\infty$, 则存在$T > 0, \epsilon\in(0, 1)$, 使得

$ \begin{align*} P\{\tau_\infty\leq T\}>\epsilon. \end{align*} $

即存在整数$k_2\geqslant k_1$, 使得对任意的$k\geqslant k_2$, 有

$ \begin{align}\label{PS10} P\{\tau_k\leq T\}\geqslant\epsilon. \end{align} $

(8)

首先, 考虑如下Lyapunov函数

$ \begin{align*} V(x)=\frac{1}{N-x}+\frac{1}{x}, \ \ x\in(0, N). \end{align*} $

对过程$(x(t))$使用Itô公式^[11], 可得

$ \begin{align} EV(x(t\wedge\tau_k))=V(x(0))+E\int_0^{t\wedge\tau_k} \text{L} V(x(s))\text{d} s, \ \ t\in[0, T], \ k\geqslant k_2, \end{align} $

(9)

其中,

$\begin{align} \text{L} V(x) =\,&\left(\frac{1}{(N-x)^2}-\frac{1}{x^2}\right) x(\beta N-\mu-\gamma-\beta x)+\int_0^{+\infty}\bigg(\frac{1}{x +\sigma x(N-x)z}-\frac{1}{x}\notag\\ &+\frac{1}{N-x-\sigma x(N-x)z}-\frac{1}{N-x}-\frac{\sigma (N-x)}{x}zI_{\{0<z\leqslant1 \}}\notag\\ &+\frac{\sigma x}{N-x}zI_{\{0<z\leqslant1 \}}\bigg)\nu(\text{d} z). \end{align} $

(10)

记

$ \begin{align*} A_1(x) =\,&\int_0^1\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1+\sigma (N-x)z}-1+\sigma (N-x)z\right)\nu(\text{d} z), \\ A_2(x) =\,&\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1+\sigma (N-x)z}-1\right)\nu(\text{d} z), \\ C_1(x) =\,&\int_0^1\frac{1}{N-x}\left(\frac{1}{1-\sigma xz}-1-\sigma xz\right)\nu(\text{d} z), \\ C_2(x) =\,&\int_1^{+\infty}\frac{1}{N-x} \left(\frac{1}{1-\sigma xz}-1\right)\nu(\text{d} z), \end{align*} $

则有

$ \begin{align} \text{L} V(x)=\left(\frac{1}{(N-x)^2}-\frac{1}{x^2}\right)x(\beta N-\mu-\gamma-\beta x)+A_1(x)+A_2(x)+C_1(x)+C_2(x). \end{align} $

(11)

由假设(A1)—(A3), 积分项$A_2(x)\equiv 0, C_2(x)\equiv 0.$

对积分$A_1(x)$作变量代换$y=\sigma (N-x)z$, 根据假设(A1)—(A3), 有

$ \begin{eqnarray} A_1(x) = \frac{\sigma^\alpha (N-x)^\alpha}{x} \int_0^{\frac{N-x}{2N}}\left(\frac{1}{1+y}-1+y\right) \frac{C_\alpha}{y^{\alpha+1}}\text{d} y. \end{eqnarray} $

(12)

令

$ \begin{align*} B_1(y)=\frac{(1+y)^{-1}-1+y}{y^2}, \end{align*} $

则

$ \begin{align*} B_1(y)=\frac{1}{1+y}. \end{align*} $

由函数$B_1(y)$在区间$(0, \frac{N-x}{2N})$单调递减, 则有

$\begin{align} A_1(x)= \frac{\sigma^\alpha (N-x)^\alpha}{x}\int_0^{\frac{N-x}{2N}}B_1(y) \frac{C_{\alpha}}{y^{\alpha-1}}\text{d} y <\frac{1}{x}\cdot\frac{C_\alpha \sigma^\alpha (N-x)^2}{(2-\alpha) (2N)^{2-\alpha}}. \end{align} $

(13)

类似积分项$A_1(x)$, 对积分$C_1(x)$作变量代换$y=\sigma xz$, 根据假设(A1)—(A3), 有

$ \begin{align} C_1(x) =\,&\dfrac{\sigma^\alpha x^\alpha}{N-x} \int_0^{\frac{x}{2N}}\left(\dfrac{1}{1-y}-1 -y\right)\dfrac{C_\alpha}{y^{\alpha+1}}\text{d} y. \end{align} $

(14)

令

$\begin{align*} D_1(y)=\frac{(1-y)^{-1}-1-y}{y^2}=\frac{1}{1-y}, \end{align*} $

则对任意$y\in(0, \frac{x}{2N})$, $x > 0$, 有

$ \begin{align} D_1(y)<\frac{2N}{2N-x}. \end{align} $

(15)

因此,

$ \begin{align*} C_1(x) = \frac{\sigma^\alpha x^\alpha}{N-x}\int_0^{\frac{x}{2N}}D_1(y) \frac{C_\alpha}{y^{\alpha-1}}\text{d} y\leq \frac{1}{N-x}\cdot\frac{C_\alpha \sigma^2 }{(2N)^{1-\alpha}(2-\alpha)}\cdot\frac{x^2}{2N-x}. \end{align*} $

令$g(x)=\frac{x^2}{2N-x}$.易知$g(x)$在区间$(0, N)$单调递增.对任意$x\in (0, N)$, 有

$ \begin{align*} g(x)< g(N)=N. \end{align*} $

因此,

$ \begin{align} C_1(x)\leqslant\frac{1}{N-x}\cdot\frac{C_\alpha \sigma^2N^\alpha }{2^{1-\alpha}(2-\alpha)}. \end{align} $

(16)

将式(13)、(16)代入式(11), 得到

$ \begin{align*} \text{L} V(x)<\frac{\mu+\gamma}{x}+\frac{\beta N}{N-x}+\frac{1}{x}\cdot\frac{C_\alpha \sigma^\alpha N^\alpha}{(2-\alpha)2^{2-\alpha}}+\frac{1}{N-x}\cdot\frac{C_\alpha \sigma^2N^\alpha }{(2-\alpha)2^{1-\alpha}}. \end{align*} $

由上式知, 存在常数$\widetilde{C} > 0$, 使得

$ \begin{align} \text{L} V(x)< \widetilde{C}V(x), \ \ x\in(0, N), \end{align} $

(17)

其中, $\widetilde{C}= (\mu+\gamma)\vee (\beta N)\vee\frac{C_\alpha \sigma^\alpha N^\alpha}{(2-\alpha)2^{2-\alpha}}\vee\frac{C_\alpha \sigma^2N^\alpha }{(2-\alpha)2^{1-\alpha}}$.将式(17)代入式(9), 可得

$ \begin{align} EV(x(T\wedge\tau_k))\leqslant V(x(0))+\widetilde{C}E\int_0^{T\wedge\tau_k}V(x(s))\text{d} s< V(x(0))+\widetilde{C}\int_0^TEV(x(s\wedge\tau_k))\text{d} s. \end{align} $

(18)

再由Gronwall不等式, 知

$ \begin{align*} EV(x(T\wedge\tau_k))< V(x(0))\exp({\widetilde{C}T}). \end{align*} $

令$\Omega_k=\{\tau_k\leq T\}, k\geqslant k_2$, 则由式(8)得到

$ \begin{align} P(\Omega_k)\geqslant\epsilon. \end{align} $

(19)

注意到, 对任意$\omega\in\Omega_k$, 由引理1与$\tau_k$的定义, 有

$ \begin{align*} x(\tau_k, \omega)\leqslant \frac{1}{k} \ \ \text{或}\ \ N-\frac{1}{k}<x(\tau_k, \omega)<N. \end{align*} $

因此,

$ \begin{align*} V(x(\tau_k, \omega))\geqslant k. \end{align*} $

则由式(18)和式(19)得到

$ \begin{align*} V(x(0))\exp(\widetilde{C}T)> E\left[I_{\Omega_k}(\omega)V(x(\tau_k, \omega))\right]\geqslant P(\Omega_k)k \geqslant \epsilon k. \end{align*} $

当$k\rightarrow\infty$时得到矛盾

$ \begin{align*} \infty>V(x(0))\exp{(\widetilde{C}T)}>\infty. \end{align*} $

因此$\tau_\infty=\infty$几乎必然成立.证毕.

2 平稳分布

定义1^[12]  设$(x(t))$是一个马尔可夫过程.令$\pi(x)=P(x(0)\leq x)$.若对任意时间$t$, 过程$(x(t))$的分布为$\pi(x)$不变, 则称$\pi(x)$为过程$(x(t))$的平稳分布.令$P(t, x, A)=P(x(t)\in A|x(0)=x)$为马尔可夫过程$(x(t))$的转移概率函数.若平稳分布$\pi(x)$可微, 则平稳分布$\pi(x)$满足

$ \begin{align*} \pi(A)=P(x(0)\in A)=P(x(t)\in A)= \int_ P(t, x, A)\text{d} \pi(x), \ \ \forall t\geqslant0. \end{align*} $

引理2  若存在一个有界的开区域$U\subset(0, N)$使得其闭包$\bar{U}\subset(0, N)$, 并且满足如下条件.

(B1) $\inf_{x\in{U}}\sigma^2x^2(N-x)^2 > 0, $

(B2) 对任意紧集$G\subseteq(0, N), U\subseteq G$, 有$\sup_{x(0)\in G-U}E\tau_U < \infty$, 其中$\tau_U=\inf\{t \geqslant0, x(t)\in{U}\}$,

则模型(6)有唯一的平稳分布.

证 明  引理的证明类似于文献[13]中定理4.1或文献[14]中引理3.1的证明.基于跳过程的最大值原理与Lévy系统公式^[15-16]，不难证明本引理.此处省略.

定理2  若假设(A1)—(A3)成立且$\beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}} > 0$, 则模型(6)存在唯一的平稳分布.

证 明  在区间$(0, N)$内选取两个正数$a, b$, 即$0 < a < b < N$.令

$ \begin{align*} U = \left\{x\in(0, N):a<x<b\right\}. \end{align*} $

首先, 显然有$\inf_{x\in{U}}\sigma^2x^2(N-x)^2 > 0$满足引理2中条件(B1), 接下来证明条件(B2).考虑非负函数

$ \begin{align} V(x)=x^\theta+x^{-1}, \ \ x\in(0, N), \end{align} $

(20)

其中$\theta\in(0, \min\{1, \alpha\})$.则

$ \begin{align*} \text{L} V(x) =\,&\left(\theta x^{\theta-1}-x^{-2} \right)x(\beta N-\mu-\gamma-\beta x)+\int_0^{ +\infty}\Big((x+\sigma x(N-x)z)^\theta-x^\theta\\ &+(x+\sigma x(N-x)z)^{-1}-x^{-1}-\sigma x(N-x)\left(\theta x^{\theta-1}-x^{-2}\right)zI_{\{0<z\leq1\}}\Big)\nu(\text{d} z). \end{align*} $

令

$ \begin{align*} A(x) =\,&\left(\theta x^{\theta-1}-x^{-2}\right)x(\beta N-\mu-\gamma-\beta x), \\ B(x) =\,&\int_0^1\left((x+\sigma x(N-x)z)^\theta-x^\theta-\sigma x(N-x)\theta x^{\theta-1}z\right)\nu(\text{d} z)\\ &+\int_1^{+\infty}\left((x+\sigma x(N-x)z)^\theta-x^\theta\right)\frac{C_\alpha \text{d} z}{z^{\alpha+1}}, \\ C(x) =\,&\int_0^1\left((x+\sigma x(N-x)z)^{-1}-x^{-1}+\sigma x(N-x)x^{-2}z\right)\nu(\text{d} z)\\ &+\int_1^{+\infty}\left((x+\sigma x(N-x)z)^{-1}-x^{-1}\right)\nu(\text{d} z), \end{align*} $

则有

$ \begin{align} \text{L} V(x)=A(x)+B(x)+C(x). \end{align} $

(21)

对于$B(x)$, 由假设(A1)—(A3)知

$ \begin{align*} B(x) = \int_0^1\left((x+\sigma x(N-x)z)^\theta-x^\theta-\sigma x(N-x)\theta x^{\theta-1}z\right)\nu(\text{d} z). \end{align*} $

由变量代换$y=\sigma z$得到

$ \begin{align} B(x)=\, &x^\theta\sigma^\alpha\int_0^\frac{1}{2N}\left((1+(N-x)y)^ \theta-1-\theta(N-x)y\right)\frac{C_\alpha}{y^{\alpha+1}}\text{d} y \end{align} $

(22)

$ \begin{align} =\, &x^\theta\sigma^\alpha\int_0^\frac{1}{2N}\frac{(1+(N-x)y)^\theta-1 -\theta(N-x)y}{y^2}\cdot\frac{C_\alpha}{y^{\alpha-1}}\text{d} y. \end{align} $

(23)

定义

$ \begin{align} D_2(y)=\frac{(1+(N-x)y)^\theta-1-\theta(N-x)y}{y^2}. \end{align} $

(24)

当$y\rightarrow0$时得到

$ \begin{align*} \lim\limits_{y\rightarrow0}D_2(y)=\frac{\theta(\theta-1)(N-x)^2}{2}. \end{align*} $

因此有$D_2(y)$在$(0, \frac{1}{2N}]$上是有界的, 则存在常数$C_1 > 0$, 使得

$ \begin{align} D_2(y)\leqslant C_1. \end{align} $

(25)

将式(25)代入式(22)得到

$ \begin{eqnarray} B(x) \leqslant x^\theta\sigma^\alpha\int_0^\frac{1}{2N} C_1\frac{C_\alpha}{y^{\alpha-1}}\text{d} y=\frac{C_\alpha\sigma^\alpha x^\theta}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}}C_1. \end{eqnarray} $

(26)

对于$C(x)$, 同样由假设(A1)—(A3)知

$ \begin{align*} C(x) = \int_0^1\left((x+\sigma x(N-x)z)^{-1}-x^{-1}+\sigma x(N-x)x^{-2}z\right)\nu(\text{d} z). \end{align*} $

计算得到

$ \begin{align} C(x)\leqslant\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}}x^{-1}. \end{align} $

(27)

将式(26)和式(27)代入式(21), 得到

$ \begin{align*} \text{L} V(x) \leqslant& \left(\theta x^{\theta}-x^{-1} \right)(\beta N-\mu-\gamma-\beta x)\\ &+\frac{C_\alpha\sigma^\alpha }{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}} x^\theta C_1+\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N) ^{2-\alpha}}x^{-1}\\ =\, &\left((\beta N-\mu-\gamma)\theta+\frac{C_\alpha\sigma^ \alpha }{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}}C_1\right)x^\theta+ \beta-\theta\beta x^{\theta+1}\\ &-\left(\beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}}\right)x^{-1}. \end{align*} $

由假设$\beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}} > 0$得到

$ \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow0^+}\text{L} V(x)=-\infty, \ \ \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\text{L} V(x)=-\infty. \end{align*} $

则存在充分大的$M$, 使得

$ \text{L} V(x)\le -1, \ \ \text{对所有} x\in (0, N)-U. $

(28)

又由Itô公式得到

$ \begin{align} \text{d} V(x(t))=\, &\text{L} V(x(t))\text{d} t+\int_0^{+\infty} \Big((x(t)+\sigma x(t)(N-x(t))z)^\theta\nonumber\\ &+(x(t)+\sigma x(t)(N-x(t))z)^{-1}-x^\theta(t)-x^{-1}(t)\Big)\widetilde{N}(\text{d} t, \text{d} z). \end{align} $

(29)

令$\tau_U=\inf\{t\geq 0: x(t)\in U\}$, 则对任意$x(0)=x_0\in (0, N)-U$, 由式(28)、(29)与邓肯(Dynkin)公式, 得到

$ \begin{align*} 0\leqslant V(x_0)-E(t\wedge\tau_U|x(0)=x_0), \ \ \forall t\geqslant0. \end{align*} $

令$t\rightarrow+\infty$, 对任意$x(0)=x_0\in(0, N)-U$, 得到

$\begin{align*} E(\tau_U|x(0)=x_0)\leqslant V(x_0)<+\infty. \end{align*} $

因此引理2中条件(B2)得证.证毕.

3 指数遍历性

我们已经证明, 当初始值$x_0$限制在$(0, N)$上, 模型(6)具有唯一的平稳分布.如果将初始值$x_0$取全体实数, 定理1的结论不成立.接下来, 我们讨论收敛速度.为了方便叙述, 先给出如下定义.

定义2  $P(t, x, \text{d} z)$为马尔可夫过程$(x(t))_{t\geqslant0}$的转移概率.若$\forall x\in (0, N), t > 0$, 存在唯一的不变概率测度$\pi(\cdot)$, 常数$k > 0$及正的可测函数$\beta(x)$, 使得

$ \begin{align*} ||P(t, x, \cdot)-\pi(\cdot)||_{\text{Var}}\leqslant \beta(x)\exp{(-kt)}, \end{align*} $

其中$||\cdot||_{\text{Var}}$为全变差范数, 则马尔可夫过程$(x(t))_{t\geqslant0}$被称为是指数遍历的.

引理3^[18]  设$(x(t))_{t\geqslant0}$为一个马尔可夫过程.若存在Lyapunov函数$V\!:(0, N)\rightarrow \mathbb{R}^+$及正常数$K, \xi$, 使得

$ \begin{align*} \text{L} V(x)\leqslant-\xi V(x)+K, \ \ \forall x\in (0, N), \end{align*} $

其中$\text{L} $为过程$(x(t))$对应的无穷小生成元, 则过程$(x(t))$是指数遍历的.

注记  我们的遍历定义对初始值是有限制的.严格来说, 称过程$(x(t))$为"局部指数遍历"更合适.

定理3  若假设(A1)—(A3)成立且$\beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^ \alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}} > 0$, 则模型(6)是指数遍历的.

证 明  考虑非负函数

$ \begin{align*} V(x)=\ln(1+x)+x^{-1}, \ \ x\in(0, N). \end{align*} $

利用定理1和定理2的计算方法, 易证明, 存在一个常数$C > 0$, 使得

$ \begin{align*} \text{L} V(x)\leq\beta N-\mu-\gamma+\beta-\beta x+C-\left(\beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}}\right)x^{-1}. \end{align*} $

由假设$\beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}} > 0$知, 存在常数$\xi > 0$, 使得

$ \begin{align*} \beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}}-\xi>0. \end{align*} $

则存在常数$K > 0$, 对于$x\in(0, N)$, 有

$ \begin{align*} \text{L} V(x)+\xi V(x)\leqslant\, &\beta N-\mu-\gamma +\beta-\beta x+\xi\ln(1+x)+C\\ &-\left(\beta N-\mu-\gamma-\frac{N^2\sigma^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)(2N)^{2-\alpha}}-\xi\right)x^{-1}\\ <\, &\beta N-\mu-\gamma+\beta-\beta x+\xi\ln(1+x)+C\\ \leqslant\,&K. \end{align*} $

即

$ \begin{align*} \text{L} V(x)\leqslant -\xi V(x)+K. \end{align*} $

则由引理3知结论成立.证毕.

4 灭绝性

定义3  假设(A1)—(A3)成立, 若对任意初始值$x(0)=x_0\in (0, N)$, 模型(6)的解$x(t)$满足

$ \limsup\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0\ \ \text{几乎处处成立}, $

(30)

则称$x(t)$以概率1灭绝.

引理4^[19]  令$M(t), t\geqslant 0$, 为一个局部鞅, 定义

$ \begin{align*} \rho_{m}(t)=\int_0^t\frac{\text{d} \langle M, M\rangle(s)}{(1+s)^2}, \ \ t\geqslant 0, \end{align*} $

其中$\langle M, M\rangle(t)$是一个Meyer尖括号过程.若有

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\rho_{m}(t)<\infty\ \ \text{几乎处处成立}, $

则

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{M(t)}{t}=0\ \ \text{几乎处处成立}. $

定理4  假设(A1)—(A3)成立, 则模型(6)的解满足

$ \limsup\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{\ln x(t)}{t}\leqslant \beta N-\mu-\gamma \ \ \text{几乎处处成立}. $

特别地, 若$\beta N-\mu-\gamma < 0$, 则有

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}x(t)=0\ \ \text{几乎处处成立}. $

证 明  由Itô公式得到

$ \begin{align*} \text{d} \ln(x(t))=\, &(\beta N-\mu-\gamma-\beta x(t)) \text{d} t+\int_0^{+\infty}(\ln (x(t)+\sigma x(t)(N-x(t))z)\\ &-\ln x(t))\widetilde{N}(\text{d} t, \text{d} z)+\int_0^{+\infty} \left[\ln (x(t)+\sigma x(t)(N-x(t))z)\right.\\ &\left.-\ln x(t)-\sigma(N-x(t))zI_{\{0<z\leqslant1\}} \right]\nu(\text{d} z)\text{d} t. \end{align*} $

对上式两侧积分, 得到

$ \begin{align} \ln (x(t)) =\,&\ln (x(0))+\int_0^t(\beta N-\mu-\gamma -\beta x(s))\text{d} s+M(t)\notag\\ &+\int_0^t\int_0^{+\infty}\left(\ln (1+\sigma (N-x(t))z)-\sigma(N-x(t))zI_{\{0<z\leqslant1\}}\right)\nu(\text{d} z)\text{d} s\notag\\ =\, &\ln (x(0))+\int_0^t(\beta N-\mu-\gamma-\beta x(s))\text{d} s+M(t)\notag\\ &+\int_0^t\int_0^1\left(\ln (1+\sigma (N-x(t))z)-\sigma(N-x(t))z\right)\nu(\text{d} z) \text{d} s, \end{align} $

(31)

其中

$ \begin{align*} M(t)=\int_0^t\int_0^{+\infty}\ln (1+\sigma (N-x(s))z)\widetilde{N}(\text{d} s, \text{d} z) \end{align*} $

是一个局部鞅.一方面, 由基本不等式

$ \ln(1+t)\leqslant t, \ \ \forall t>0, $

可得

$ \begin{align}\label{Ext6} \int_0^t\int_0^1\left(\ln (1+ \sigma (N-x(t))z)-\sigma(N-x(t))z\right)\nu(\text{d} z)\text{d} s\leqslant0, \end{align} $

(32)

将式(32)代入式(31)得到

$ \begin{align} \ln (x(t))\leqslant \ln (x(0))+\left(\beta N-\mu-\gamma\right)t+M(t). \end{align} $

(33)

另一方面, $M(t)$的Meyer尖括号过程为

$ \begin{align*} \langle M, M\rangle(t)=\, &\int_0^t\int_0^{+\infty}(\ln(1+\sigma (N-x(s))z))^2\nu(\text{d} z)\text{d} s\\ \leqslant&\int_0^t\int_0^{+\infty}(\ln(1+\sigma Nz))^2\nu(\text{d} z)\text{d} s. \end{align*} $

令$y=\sigma Nz$, 则

$ \begin{align} \nonumber\int_0^{+\infty}(\ln(1+\sigma Nz))^2\nu(\text{d} z) =\,&(\sigma N)^\alpha\int_0^{+\infty}(\ln(1+y))^2\nu(\text{d} y)\\ \nonumber\leqslant&(\sigma N)^\alpha\int_0^\frac{1}{2}\frac{C_\alpha}{y^{\alpha-1}}\text{d} y\\ \nonumber=\, &\frac{(\sigma N)^\alpha C_\alpha}{(2-\alpha)2^{2-\alpha}}\\ <&+\infty. \end{align} $

(34)

因此

$ \begin{align*} \int_0^t\frac{\text{d} \langle M, M\rangle(s)}{(1+s)^2}\leqslant\frac{t}{1+t}\int_0^{+\infty}(\ln(1+\sigma Nz))^2\nu(\text{d} z)<+\infty. \end{align*} $

由引理4得到

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{M(t)}{t}=0 \ \ \text{几乎处处成立}. $

(35)

将式(31)两侧同时除以$t$, 得到

$ \begin{align*} \frac{\ln x(t)}{t}\leqslant \frac{\ln(x(0))}{t}+\beta N-\mu-\gamma+\frac{M(t)}{t}. \end{align*} $

当$t\rightarrow+\infty$时有

$ \limsup\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{\ln x(t)}{t}\leqslant \beta N-\mu-\gamma \ \ \text{几乎处处成立}. $

特别地, 若

$\begin{align*} \beta N-\mu-\gamma<0, \end{align*} $

则有

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}x(t)=0\ \ \text{几乎处处成立}. $

证毕.