华东师范大学学报(自然科学版) ›› 2015, Vol. 2015 ›› Issue (6): 53-58.doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.2015.06.008

• 应用数学与基础数学 • 上一篇    下一篇

非线性一阶周期问题的Ambrosetti-Prodi型结果

 马陆一   

  1. 西北师范大学~~数学与统计学院, 兰州 730070)
  • 收稿日期:2014-11-03 出版日期:2015-11-25 发布日期:2015-12-23
  • 通讯作者: 马陆一, 男, 硕士研究生,研究方向为常微分方程边值问题. E-mail: maly0318@126.com. E-mail: maly0318@126.com.
  • 作者简介:马陆一, 男, 硕士研究生,研究方向为常微分方程边值问题. E-mail: maly0318@126.com.
  • 基金资助:

    国家自然科学基金(11361054); 甘肃省自然科学基金(1208RJZA258)

Ambrosetti-Prodi type results of the nonlinear first-order periodic problem

 MA  Lu-Yi   

  • Received:2014-11-03 Online:2015-11-25 Published:2015-12-23

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摘要： 研究了一阶周期问题\left\{\!\!\!\begin{array}{ll} u'(t)=a(t)g(u(t))u(t)-b(t)f(u(t))+s, t\in {\mathbb{R}},\\[2ex]
 u(t)=u(t+T)\end{array}\right.\eqno 解的个数与参数\,s\,(s\in{\mathbb{R}})\,的关系,其中\,a\in C({\mathbb{R}},[0,\infty)), b\in
C({\mathbb{R}},(0,\infty))\,均为\,T\,周期函数, \int_0^T a(t){\rmd}t>0; f, g\in C({\mathbb{R}},[0,\infty)). 当\,u>0\,时,
f(u)>0, 当\,u\geqslant0\,时, 0<l\leqslant g(u)<L<\infty.运用上下解方法及拓扑度理论, 获得结论:存在常数\,s_{1}\in{\mathbb{R}}, 当\, s<s_{1}\,时,
该问题没有周期解;  s=s_{1}\,时, 该问题至少有一个周期解; s>s_{1}\,时, 该问题至少有两个周期解.

关键词: Ambrosetti-Prodi问题;上下解方法, 拓扑度

Abstract: This paper shows the relationship between the parameter~s~and the number of solutions of the first-order
periodic problem \left\{\!\!\!\begin{array}{ll}  u'(t)=a(t)g(u(t))u(t)-b(t)f(u(t))+s,~~\ \ \ t\in {\mathbb{R}},\\[2ex]
 u(t)=u(t+T)\end{array}\right.\eqno  where a\in C({\mathbb{R}},[0,\infty)),~b\inC({\mathbb{R}},(0,\infty)) are T-periodic, \int_0^T a(t){\rm
d}t>0; f, g\in C({\mathbb{R}},[0,\infty)), and f(u)>0 foru>0, 0<l\leqslant g(u)<L<\infty for u\geqslant0. By using the
method of upper and lower solutions and topological degree techniques, we prove that there exists s_{1}\in{\mathbb{R}}, such
that the problem has zero, at least one or at least two periodicsolutions when  s<s_{1}, s=s_{1}, s>s_{1}, respectively.

Key words: Ambrosetti-Prodi problem, upper and lower solutions, topological degree

中图分类号: